Lagebeziehung Gerade - Ebene

21.02.2012, 18:53	nuncinini	Auf diesen Beitrag antworten »
Lagebeziehung Gerade - Ebene Meine Frage: Ich habe eine allgemeine Frage: Wann wende ich welches Lösungsverfahren an? Gegeben sind eine Gerade g und eine Ebene E. Ich soll die Lagebeziehung bestimmen. Meine Ideen: 1. Lösungsverfahren: Ich schaue, ob E und g einen/mehrere gemeinsame Punkte haben. Daszu setzt ich die x1-Zeile von g als x1 der Koordinatengleichung von E ein, dasgleiche mit x2 und x3. Drei Lösungsmöglichkeiten: - unendlich viele Lösungen: liegt in E - eine Lösung: schneidet E - keine Lösung: parallel/windschief (-> Test mit Normalenvektor * Richtungsvektor = 0 ???? -> oder gibt es eine leichtere Testmöglichkeit?) 2. Lösungsverfahren: Ich schaue als 1. ob Normalenvektor * Richtungsvektor = 0 -> wenn ja, dann parallel/ g liegt in E (-> Test mit Punktprobe) -> wenn nein, dann windschief/schneiden sich (-> Test mit g in E einsetzen -> s.o.) Also wenn ich jetzt ne Gerade und Ebene gegeben hab, seh ich des denen ja nicht an, wie sie liegen, und ich weiß einfach nicht welches Verfahren da schneller geht. Hat da jemand Tipps?
21.02.2012, 21:41	Gualtiero	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lagebeziehung Gerade - Ebene Zumindest mir ist keine schnellere Möglichkeit bekannt, die Lage zwischen Gerade und Ebene zu bestimmen. Wenn auf den ersten Blick kein Hinweis zu sehen ist, halte ich Dein 2. Lösungsverfahren für empfehlenswert, denn das Skalarprodukt ist ja wirklich nicht aufwändig. Aber auch wenn nicht durch einen seltenen Zufall die Lagebeziehung bereits auf den ersten Blick erkennbar ist - z. B. wenn der Normalvektor der Ebene parallel zum Richtungsvektor der Geraden liegt usw. - kann einem in der Praxis meistens die Entscheidung durch die Aufgabenstellung bereits abgenommen werden. Z. B. bei der Berechnung des Start- oder Landepunktes eines Flugzeugs auf dem Flugfeld kann man gleich mit dem Schnittverfahren beginnen, denn man kann davon ausgehen, dass die Flugbahn beim Starten und Landen sicher nicht parallel zum Flugplatz ist. Oder in Beispielen aus der Architektur, wo man von parallelen Flächen und rechwinkligen Konstruktionslinien ausgehen kann (und es nicht anders definiert ist), kann man sich einen Schritt sparen. Übrigens: die Eigenschaft windschief trifft meiner Meinung nach nur auf zwei Geraden in R³ zu, nicht auf Ebene und Gerade.
21.02.2012, 22:10	GG	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lagebeziehung Gerade - Ebene Vielleicht wäre noch wichtig zu erwähnen, dass wenn du die Ebenengleichung in Parameterform gegeben hast, dann als erstes prüfst, ob der Geradenrichtungsvektor kollinear zur Summe der Ebenenspannvektoren ist. 1) Ja: Dann ist g parallel zu E oder liegt sogar in E. Nimm den Ebenenortspunkt und setze ihn in die Geradengleichung ein. Bei falschen Aussagen ist g parallel zu E, bei wahren liegt g in E. 2) Nein, dann schneidet g E. Berechne falls nötig den Schnittpunkt durch gleichsetzen von Geraden- und Ebenengleichung, indem du dass entstehende LGS löst. Wenn du zusätzlich prüfen musst, ob g E orthogonal schneidet, dann bildest du z.B. das Vektorprodukt der beiden Ebenenspannvektoren und erhälst den Ebenennormalenvektor und untersuchst den Richtungsvektor von g auf Kollinearität zum Ebenennormalenvektor. Falls sie kollinear sind, schneidet g E orthonal, falls nicht dann nicht.
22.02.2012, 11:37	nuncinini	Auf diesen Beitrag antworten »
Lagebeziehung Ebene - Gerade in Parameterform Danke für die Antworten! Ich glaub ich werde aber doch das Lösungsverfahren 1 einsetzen, weil ich dann mit einer Rechnung auf jeden Fall die Lagebeziehung herausbekomme und gleich noch den Schnittpunkt mitgeliefert. Zur Parameterform: kann ich das nicht auch mit der Variante lösen? Also dass ich dann die x1 Zeile aus g in x1 bei E einsetze, das gleiche mit x2 und 3 und dann hab ich ja wieder ein LGS mit drei Variablen und drei Zeilen. Für die Lösungen gilt wieder dasselbe wie bei der Koordinatengleichung. Falls es einen S gibt berechne ich ihn, indem ich entweder r und s in E einsetze oder t in g.
22.02.2012, 11:53	Gualtiero	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lagebeziehung Ebene - Gerade in Parameterform Natürlich kannst Du auch so rechnen; musst sogar, wenn die Ebene in Parameterform vorliegt. Denn die Parameterform der Ebene in die Koordinatengleichung umzuformen und dann so vorzugehen wie beim "1. Lösungsverfahren", führt auch ans Ziel, ist aber deutlich umständlicher. Ich glaube, Du solltest mal ein paar Beispiele durchrechnen, dann kommst Du auf Vieles selber drauf. Selbstverständlich kannst Du dazu auch fragen, wenn noch etwas unklar ist.
22.02.2012, 11:57	nuncinini	Auf diesen Beitrag antworten »
danke! ja ich werd auch noch n paar aufgaben rechnen.
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