Funktionsterm mit Lineardarstellung aufstellen |
| 21.02.2012, 19:08 | nuncinini | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| Funktionsterm mit Lineardarstellung aufstellen Ich habe eine Aufgabe gerechnet und weiß nicht, was falsch ist. Die Aufgabe lautet: geg: g(1)=2, g(2)=0, g'(1)=0, g'(2)=0. g ist Funktion 3. Grades -> g(x) = ax³+bx²+cx+d -> g'(x) = 3ax²+2bx+c Ich könnte jetzt ne Matrix mit 4 Zeilen und 4 Unbekannten. Aber ich dacht, ich mach des schneller durch die Linearstellung von g', da ich ja zwei Nullstellen von g' weiß (oder sind das evtl. nicht alle?). Auf jeden Fall hab ich dann diese Gleichung aufgestellt: g'(x)=(1-x)(2-x)=x²-3x+2 Dann hab ich g' integriert, dann kam das raus: g(x) = (1/3)x³-(3/2)x²+2x+c Dann hab ich den Punkt P(1/2) eingesetzt dann kam für c = (7/6) raus. Das ist eine falsche Funktion. In den Lösungen steht: g(x)=4x³-18x²+24x-8. Oder gibt's da mehrere richtige Gleichungen und ich hab halt ne andere herausbekommen? Wo ist denn mein Fehler? Oder darf ich die Lineardarstellung in diesem Fall nicht benutzen oder allgemein bei Ableitungen nicht? Danke schonmal! Meine Ideen: Meine Ansätze stehen schon oben. |
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| 21.02.2012, 19:42 | Dopap | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Funktionsterm mit Lineardarstellung aufstellen
und wo sind die Variablen a,b,c geblieben?
Insgesamt: fragwürdig bis unnötig. Die Koeffizienten des Polynoms sind eindeutig. |
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| 22.02.2012, 01:12 | nuncinini | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
okey danke, aber ich habs leider nicht so ganz verstanden. stimmt: quadratische Gleichung hat 2 Nullstellen. aber die koeffizienten, a,b und c "entstehen" ja indem ich die Linearkombination ausmultipliziere. -> g'(x)=x²-3x+2 (a=1, b=-3, c=2) eigentlich müsste ich doch auch die Lineardarstellung f(x)=(n1-x)(n2-x) bei der 1. Ableitung anwenden können. Ich versteh nicht, was falsch an dem Lösungsweg sein soll. Ja, er ist ziemlich kompliziert, aber meiner Meinung nach richtig, aber leider kommt halt das falsche Ergebnis raus. /= Weil die Lineardarstellung kann man ja nutzen um eine Funktionsgleichung aufzustellen, wenn man z.B. ein Schaubild hat und da die Nullstellen ablesen kann, dann stellt man ja die Gleichung am schnellsten auf, indem man die NS in die Lineardarstellung einsetzt. Sieht jemand den Fehler? |
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| 22.02.2012, 02:14 | Dopap | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
und du glaubst ernsthaft, dass diese Koeffizienten mit denen von g(x) übereinstimmen? und noch Eines : da steht kein Doppelpfeil! Aus den Nullstellen kannst du nicht auf die ( Ableitungs -)Funktion schliessen. sonst noch Meinungen? |
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| 22.02.2012, 11:02 | nuncinini | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| Lineardarstellung von Funktionen .. naja ich habs jetzt mal mit einer anderen Funktion versucht und irgendwie hat es auch nicht geklappt. Ich versteh irgendwie halt einfach nicht was falsch dran sein soll... Und die Koeffizienten von g'(x) stimmen nicht mit denen von g(x) überein, ich habe g'(x) noch integriert, so dass dann andere Koeffizienten für a, b und c herauskamen und d hab ich dann mit Einsetzen eines Punktes herausbekommen. Was das mit dem Doppelpfeil zu bedeuten hat versteh ich leider gar nicht. also auch was das x1, x2 da soll.... Irgendwie hat mich das alles total verwirrt, aber ich würde es gerne trotzdem verstehen. Deswegen erstmal allgemein zur Lineardarstellung von Funktionen: Wie funktioniert diese? Ich dacht immer die Formel geht: f(x) = a* (n1-x)(n2-x) oder f(x) = a* (x-n1)(x-n2) Die Funktionen sind glaub ich nämlich dieselben... (aber ich versteh da auch wieder nicht warum die zwei Funktionen die selben sind... man kann doch nich einfach die Zahlen in den Klammern vertauschen! -> oder doch?) Wenn ich jetzt ein Schaubild von f gegeben habe, würde ich die Nullstellen ablesen und wenn es z.B. für eine Funktion 3.Grades 3 NS gibt, dann dann diese in die Formel einsetzen. 2. a durch einsetzen eines beliebigen Punktes ausrechnen. Oder wie geht die Lineardarstellung? Ich bekomm es irgendwie nicht hin... |
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| 22.02.2012, 15:26 | Dopap | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
1.) die sind deine 2.) richtig, die Nullstellen bestimmen die Funktion bis auf einen Faktor a. Das gilt aber nur, wenn maximal viele Nullstellen vorliegen. Beispiel: f(x)=2x^3-2x^2+4x-16 hat nur einen linearen Term: (x-2) , der genügt aber nicht zur zur Rekonstruktion der Funktion. Mittels Polynomdivision ergibt sich: f(x)=(x-2)(2x^2+2x+8), den quadratischen Term kann man nicht in Linearfaktoren zerlegen. Wierum du die linearen Terme hinschreibst ist egal, das a bügelt das wieder hin. Du musst aber dann bei der einmal gewählten Schreibweise bleiben. |
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| 22.02.2012, 15:41 | nuncinini | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
gut, das hab ich jetzt verstanden=) 1) muss ich echt bei der schreibweise bleiben, die ich einmal auswähle? kann ich nicht einfach f(x) = (x+1)(x-1) = x²-1 ausklammern und dann mit der x²-1 Darstellung weiter arbeiten? 2) und ich hab jetzt auch rausgefunden dass die richtige formel der linearfaktordarstellung so lautet: f(x)=a*(x-n1)(x-n2)(x-n3)... Aber ich versteh nicht, warum sie nicht auch f(x) = a*(n1-x)(n2-x)(n3-x) lauten kann, weil wenn ich die nullstellen einsetze kommt durch die linearfaktoren ja bei BEIDEN funktionsgleichungen 0 heraus. begründung: x-n1=n1-x für x = n1 |
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| 22.02.2012, 19:38 | Dopap | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Unter Schreibweise verstehe ich die Art, welche Linearterme man umdreht. Deines ist auch richtig. Der Unterschied besteht darin: ist im Original z.B. a=7, dann ist bei dir a=-7. Grund: das Original wurde 3 mal mit -1 multipliziert was insgesamt -1 ausmacht. Deshalb muss das a das wieder ausbügeln. Drehst du aber eine geradzahlige Anzahl von Lineartermen herum, dann sind die beiden a's identisch. |
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| 22.02.2012, 21:06 | nuncinini | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
danke!! jetzt ist alles logisch=) Also wenn ichs richitg verstanden hab sind beide linearfaktordarstellungen richtig oder? |
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| 22.02.2012, 21:11 | Dopap | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
aber sicher! |
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