Formel parallele Geraden Beweisen und anwenden

21.02.2012, 19:40

Asmodea

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Formel parallele Geraden Beweisen und anwenden

Meine Frage:
Hallo zusammen, ich kämpf mich immer noch durch die Vektorengeometrie. Bei manchen Aufgaben erging es mir wesentlich besser als bei der folgenden:

g und h seien zwei parallele Geraden in Richtung $\begin{eqnarray*} \vec{v}. \vec{a} \end{eqnarray*}$ sei ein Vektor, der einen beliebigen Punkt von h mit einem beliebigen Punkt von g verbindet.

A) Begründen Sie, dass der Abstand d der beiden Geraden gegeben ist durch die Formel $\begin{eqnarray*} d= \frac{|\vec{a}x\vec{v}|}{v} \end{eqnarray*}$

Beweise ist echt eine Achillesferse von mir, ich bin froh hat jemand die Formeln schon bewiesen und ich kann sie einfach anwenden *g*

Meine Ideen:
Na ja was kann ich also machen, ich zeichne mir mal diese Geraden hin und den Vektor v sowie a und ergänze das ganze Konstrukt zu einem Parallelogramm.

Dann würde ich eigentlich gerne einen Normalenvektor bestimmen der Senkrecht steht damit ich den Abstand wirklich berechnen kann. DAfür bräuchte ich den Vektor b = Vektor AC.

also $\begin{eqnarray*} \vec{a}+\vec{v} = \vec{b} \end{eqnarray*}$

Aber selbst wenn ich den Normalenvektor bestimme wie beweise ich denn diese Formel. :-(

21.02.2012, 19:44

Leopold

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Wenn dir schon bekannt ist, daß $\begin{eqnarray*} \left| \vec{a} \times \vec{v} \right| \end{eqnarray*}$ den Flächeninhalt des von $\begin{eqnarray*} \vec{a}, \vec{v} \end{eqnarray*}$ aufgespannten Parallelogramms angibt, dann ist die Sache leicht. Sonst wird es etwas aufwendiger ...

21.02.2012, 19:54

Asmodea

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Huhu Leopold, ja diese Formel kenn ich.

Ach sooo....

dann kann ich eigentlich die ganze Vektorformel in die Formel des Parallelogramms "übersetzen"

dann entspricht die gesuchte Formel jener allgemeinen für das Parallelogramm ha = A/a. Wollen die darauf hinaus?

21.02.2012, 19:56

Leopold

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Die wollen, daß du die Abstandsformel beweist. Aber im Kern hast du das schon. Du mußt nur noch deine Gedanken in die richtige Reihenfolge bringen. Berechne den Flächeninhalt des Parallelogramms auf zwei Arten: mit der Kreuzprodukt-Formel und der Formel aus der Elementargeometrie. Es ist aber derselbe Flächeninhalt. Macht's klick?

21.02.2012, 20:10

Asmodea

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edit: hier stand völliger Käse... ich rechnes gerade nochmals durch.

21.02.2012, 20:32

Asmodea

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Tut mir leid für den Doppelpost ich kannte diese Bearbeitungsregel nicht. Gott

Gott

$\begin{eqnarray*} A= \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} \otimes \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} (a_2v_3) -(a_3v_2) \\ -(a_1v_3)-(a_3v_1)\\ (a_1v_2)-(a_2v_1) \end{pmatrix} <br /> <br /> v = {\sqrt{v_1^2+v_2^2+v_3^2} }<br /> <br /> d= \frac{\begin{pmatrix} (a_2v_3) -(a_3v_2) \\ -(a_1v_3)-(a_3v_1)\\ (a_1v_2)-(a_2v_1) \end{pmatrix} }{\sqrt{v_1^2+v_2^2+v_3^2} } <br /> h_v = \frac{A}{v}\Rightarrow d=\frac{|\vec{a}\otimes \vec{v}|}{v} \end{eqnarray*}$

Buh ich krieg die Krise traurig

traurig

Wollen die noch mehr? Oder ist damit genug Beweis erbracht. verwirrt

verwirrt

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21.02.2012, 20:38

Leopold

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Wozu die Koordinatenrechnung? Die ist doch völlig überflüssig. Komm auf das Wesentliche!

Du weißt doch

einerseits
$\begin{eqnarray*} A = \left| \vec{a} \times \vec{v} \right| \end{eqnarray*}$

und andererseits
$\begin{eqnarray*} A = \ldots \end{eqnarray*}$

Folgerung?

21.02.2012, 20:48

Asmodea

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$\begin{eqnarray*} <br /> A=h_{v}\cdot v<br /> <br /> |\vec{a}\otimes \vec{v}|= h_{v}\cdot v \end{eqnarray*}$

21.02.2012, 20:54

Leopold

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Anscheinend meinst du mit $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ den Betrag von $\begin{eqnarray*} \vec{v} \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} \left| \vec{v} \right| \end{eqnarray*}$ . Sei's drum. Aber was soll $\begin{eqnarray*} h_v \end{eqnarray*}$ sein?

Ganz unter uns: Ich weiß natürlich, was du mit $\begin{eqnarray*} h_v \end{eqnarray*}$ meinst. Dennoch ist dieser Bezeichner hier völlig unangebracht. Niemals sollte man eine Formel aus der Formelsammlung abschreiben. Man muß sie in allem (!) sofort (!) den Gegebenheiten anpassen. Was ist also nach Aufgabenstellung der Bezeichner für das, was du $\begin{eqnarray*} h_v \end{eqnarray*}$ genannt hast?

21.02.2012, 21:05

Asmodea

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mhmm na dann mein ich wohl damit. Also einfach die Höhe welche Senkrecht zur Geraden steht. traurig

traurig

Vektoriell entspräche dies dann wohl dem Normalenvektor. Oder bin ich jetzt völlig Banane?

$\begin{eqnarray*} |\vec{n}|\cdot |\vec{v}| \end{eqnarray*}$

21.02.2012, 21:07

Leopold

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Zitat:

Original von Asmodea
Oder bin ich jetzt völlig Banane?

Nein, aber du stehst dir selber im Weg. Was ist denn eigentlich die Höhe in einem Parallelogramm? Doch nichts anderes als der Abstand der zwei parallelen Geraden. Und der hat in dieser Aufgabe einen anderen Namen als $\begin{eqnarray*} h_v \end{eqnarray*}$ .

21.02.2012, 21:09

Asmodea

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ach d!

$\begin{eqnarray*} d\cdot |\vec{v}| \end{eqnarray*}$

21.02.2012, 21:12

Leopold

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Wie heißt nun also die Gleichung, die man aus den beiden Darstellung für $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ bekommt? Im vorvorvorigen Beitrag hattest du die schon, nur das unvermittelte $\begin{eqnarray*} h_v \end{eqnarray*}$ störte. Das ist nämlich $\begin{eqnarray*} d \end{eqnarray*}$ .
Löse zum Schluß die Formel nach $\begin{eqnarray*} d \end{eqnarray*}$ auf.

21.02.2012, 21:22

Asmodea

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Buh ich weiss nicht warum ich bei solchen "allgemein formulierten" Geschichten immer solche Geburten hab:

$\begin{eqnarray*} d=\frac{|\vec{a}\times \vec{v}| }{|\vec{v}|\ } respektive A/{|\vec{v}|\ } \end{eqnarray*}$

21.02.2012, 21:26

Leopold

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Laß das hinter "respektive" weg. Das verdunkelt nur den Beweisgang. Es hat an dieser Stelle nichts mehr verloren.

21.02.2012, 21:34

Asmodea

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Also mal alles schön geordnet und "Druckfertig"

$\begin{eqnarray*} A= |\vec{a}\times \vec{b}| \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A=d\cdot|\vec{v}| \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} |\vec{a}\times \vec{b}| =d\cdot|\vec{v}| \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} d= \frac{|\vec{a}\times \vec{v}|}{|\vec{v}| } \end{eqnarray*}$

21.02.2012, 21:37

Leopold

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Perfekt! Und war doch gar nicht so schwer ...

21.02.2012, 21:42

Asmodea

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Na ja ich machs mir irgendwie schwer. Hammer

Hammer

Vielen Dank für deine Engelsgeduld. Freude

Freude

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