Geraden und Ebenen

21.02.2012, 21:31

mathe01

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Geraden und Ebenen

Meine Frage:
Gegeben: Gerade g: x=\begin{pmatrix} 5 \\ -4,5 \\ 2 \end{pmatrix} + r\begin{pmatrix} 7 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix}
Gerade h: x=\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 8 \end{pmatrix} +s\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}
Punkt A(4/-1/6)
Durch Gerade h und Punkt A wird eine Ebene E eindeutig festgelegt.
a)Geben sie eine Parametergleichung und eine Normalengleichung für Ebene E an.
b)Prüfen sie ob die Punkte: P(3/0/2) und Q(5/-1/4) in E liegen
c)Welchen Winkel schließen die beiden Richtungsvektoren der Ebene E ein?
d)Bestimmen der Punkte X,Y,Z in denen Ebene E von den Koordinatenachsen durchstoßen wird.Berechne das Volumen der Pyramide und zeichne ein Schrägbild
e)zeige,dass E und g sich schneiden.Berechne den Schnittpunkt.Berechne den Schnittwinkel von g und E.
f)Bestimme die Gleichung der Spurgeraden von E in der x-y-Ebene.

Ich habe leider gar keine Ahnung von Mathe und bräuchte dringend Hilfe bei dieser Aufgabe.

Meine Ideen:
Habe leider keine Ansätze, da ich, wie bereits erwähnt keine wirkliche Ahnung von Mathe habe. Ich hoffe, dass mir jemand soweit sagen kann, wie man vorgeht um die einzelnen Aufgaben zu lösen. Vielen dank schonmal im Voraus.

21.02.2012, 21:37

Dopap

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RE: Analytische Geometrie

Zitat:

Original von mathe01
Meine Frage:
Gegeben: Gerade $\begin{eqnarray*} g: \vec x=\begin{pmatrix} 5 \\ -4,5 \\ 2 \end{pmatrix} + r\begin{pmatrix} 7 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Gerade $\begin{eqnarray*} h: \vec x=\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 8 \end{pmatrix} +s\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Punkt A(4/-1/6)
Durch Gerade h und Punkt A wird eine Ebene E eindeutig festgelegt.
a) Geben sie eine Parametergleichung und eine Normalengleichung für Ebene E an.
b) Prüfen sie ob die Punkte: P(3/0/2) und Q(5/-1/4) in E liegen
c) Welchen Winkel schließen die beiden Richtungsvektoren der Ebene E ein?
d) Bestimmen der Punkte X,Y,Z in denen Ebene E von den Koordinatenachsen durchstoßen wird. Berechne das Volumen der Pyramide und zeichne ein Schrägbild
e) zeige,dass E und g sich schneiden.Berechne den Schnittpunkt.Berechne den Schnittwinkel von g und E.
f) Bestimme die Gleichung der Spurgeraden von E in der x-y-Ebene.
---Latex editiert---

Was ist denn so grob dein Wissensstand in Analytischer Geometrie?

21.02.2012, 21:44

mathe01

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Mein Wissensstand ist so ziemlich auf 0 - würde ich behaupten
Mir bereitet immer wieder das Aufstellen der Gleichungen
und die (Schnitt)winkel und schnittpunkte probleme.
man könnte auch behaupten das es relativ viele Lücken gibt, was das
Thema angeht. Deswegen frag ich nach Hilfe

21.02.2012, 22:02

Dopap

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RE: Analytische Geometrie
Gerade $\begin{eqnarray*} h: \vec x=\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 8 \end{pmatrix} +s\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Punkt A(4/-1/6)
Durch Gerade h und Punkt A wird eine Ebene E eindeutig festgelegt.
a) Geben sie eine Parametergleichung und eine Normalengleichung für Ebene E an.

für die Ebene in Paraform braucht man einen Punkt und 2 Richtungsvektoren. Einer fehlt noch, wie könnte der heissen?

21.02.2012, 22:19

mathe01

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RE: Analytische Geometrie
Könnte man da Punkt A nehmen?
Also: ...+s $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 4 \\ -1 \\ 6 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Das hätte ich jetzt vermutet.

21.02.2012, 22:51

Dopap

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RE: Analytische Geometrie

Zitat:

Original von Dopap
Gerade $\begin{eqnarray*} h: \vec x=\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 8 \end{pmatrix} +s\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Punkt A(4/-1/6)
Durch Gerade h und Punkt A wird eine Ebene E eindeutig festgelegt.
a) Geben sie eine Parametergleichung und eine Normalengleichung für Ebene E an.

für die Ebene in Paraform braucht man einen Punkt und 2 Richtungsvektoren. Einer fehlt noch, wie könnte der heissen?

leider nicht, der Zeigt vom Ursprung nach A.

Wir brauchen als Richtungsvektor den vom Stützvektor der Geraden zum Ortsvektor von A zeigenden Vektor

$\begin{eqnarray*} \vec w = \begin{pmatrix} 4 \\ -1 \\ 6 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 8 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und nun die Ebene E: $\begin{eqnarray*} \vec x =.... \end{eqnarray*}$

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21.02.2012, 23:12

mathe01

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RE: Analytische Geometrie
Ich bin ehrlich gesagt total überfordert.
Welche der beiden nehme ich denn um so umzustellen,dass null rauskommt?
Nehme ich für E x oder w und warum wurde das jetzt mit w bezeichnet(optional?)

21.02.2012, 23:33

Dopap

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ich habe dem neuen Richtungsvektor nur einen ( beliebigen ) Namen gegeben.

die Gerade h wird dadurch zur Ebene E:

$\begin{eqnarray*} \vec x=\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 8 \end{pmatrix} +s\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}+ r \cdot \vec w \end{eqnarray*}$

oder ausgeschrieben:

$\begin{eqnarray*} \vec x=\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 8 \end{pmatrix} +s\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}+ r \begin{pmatrix} 2 \\ -1\\ -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

hier scheint vieles im Argen zu liegen, wie soll es weitergehen?

22.02.2012, 00:14

mathe01

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Ich hab jetzt mal versucht die Normalengleichung aufzustellen:
E: $\begin{eqnarray*} \left[\vec{x}-\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 8 \end{pmatrix} \right] x \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ = 0

Ich weiß nicht ob das so stimmt.

b)für P---> (3/0/2)=(2/0/8)+s(1/-1/0)+r(2/-1/-2)

I s + 2r =
II -s + r =
III -2r =

für Q---> (5/-1/4)=(2/0/8)+s(1/-1/0)+r(2/-1/-2)

I s + 2r =
II -s + r =
III -2r =

Das habe ich bis jetzt. Nur weiß ich leider nicht welche Werte ich hinter das "=" setze.

22.02.2012, 00:29

Dopap

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Zitat:

Original von mathe01
Ich hab jetzt mal versucht die Normalengleichung aufzustellen:
E: $\begin{eqnarray*} \left[\vec{x}-\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 8 \end{pmatrix} \right] \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} = 0 \end{eqnarray*}$

Ich weiß nicht ob das so stimmt.

und ob! Woher hast du den Normalenvektor? ( bitte kein x für mal schreiben! )

Zitat:

b)für P---> (3/0/2)=(2/0/8)+s(1/-1/0)+r(2/-1/-2)

I s + 2r +2=3
II -s - r =0
III -2r +8=2

na, die Koordinaten des Testpunktes ( in Fett geschrieben)

Das Einsetzen der Testpunkte in die Normalenform ist einfacher, es entfällt das lästige Lineare Gleichungssystem

22.02.2012, 01:01

mathe01

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Den Normalenvektor hab ich mit der vektorfkt. des Taschenrechners berechnet.

Ich bekomme bei P: r=5 s=5 -10=2

Q: r=8 s= -11 -16=4

Das scheint mir falsch zu sein. Woran liegt das?
Ich bekomme immer unterschiedliche Ergebnisse
r=3 s=3 / r= -5 und für Q r= -2

22.02.2012, 01:49

Dopap

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Zitat:

Original von mathe01
Den Normalenvektor hab ich mit der vektorfkt. des Taschenrechners berechnet.

Ich bekomme bei P: r=5 s=5 -10=2

Q: r=8 s= -11 -16=4

Das scheint mir falsch zu sein.

ja, das ist der Witz. -10=2 ist falsch ( das LGS ist nicht lösbar ) und damit liegt P nicht in E.
dasselbe gilt für Q.

-----------------------------------------

edit: der Punkt Q liegt aber in E ! deshalb sollte das Lgs lösbar sein.

Wie gesagt: teste lieber mit der Normalenform. Das geht leichter.

22.02.2012, 01:52

nuncinini

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Ich hab grad das LGS in Taschenrechner eingegeben, und es kam für P raus:
s=0, r=0, 0=1 --> Widerspruch, d.h. P liegt nicht in E.

Für Q: s=-1, r=2, 0=0, d.h. Q liegt (für s=-1 und r=2) in E.

Ich nehm jetzt einfach mal an, dass die Ergebnisse richtig sind (aber sicher bin ich mir nicht!).

Wenn du das LGS mit Taschenrechner löst, also Matrix (zumindest bei meinem Taschenrechner: GTR), dann hast du das LGS vllt falsch in GTR eingegeben:

Man muss es nämlich so umstellen: (für P)
I. s+2r+2=3
II. -s-r=0
III: -2r+8=0

Jetzt alle Zahlen ohne Variable auf eine Seite bringen und s und r untereinander schreiben:
I. 1s +2r = 1
II. -1s -1r = 0
III. 0s -2r = -8

jetzt kannst du das LGS in den GTR eingeben.
Falls du nicht mit GTR (oder anderem Taschenrechner) arbeitest, könntest du z.B. die III. nach r auflösen:
III. r=4

Dann dieses Ergebnis in II. einsetzen:
II. -1s -1*4 = 0 und nach s auflösen:
--> s = -4

und dann r und s in I. einsetzen und damit überprüfen, ob die "Lösungen" für r und s für das ganze LGS, d.h. für P gelten:
I. 1*(-4) + 2*4 = 1
4 = 1 --> Widerspruch! Das LGS besitzt keine Lösung
--> P ist nicht Punkt der Ebene E.

Dasselbe kannst du auch mit Q machen, dann müsste bei dem letzten Schritt, der "Überprüfung", eine wahre Aussage herauskommen und Q somit in E liegen für r und s.

22.02.2012, 01:54

nuncinini

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Ich glaub Q liegt in der Ebene E..

22.02.2012, 02:57

mathe01

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Kann es sein,dass du dich vertan hast und bei III: 0 statt 2 benutzt hast?
Das mit der Normalenform bekomm ich komischerweise nicht hin
Stimmt -10=2 also?
Welche Formel kann ich dann benutzen um den Winkel rauszufinden der von den Richtungsvektoren von E eingeschlossen wird?

22.02.2012, 04:27

Dopap

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$\begin{eqnarray*} \vec x=\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 8 \end{pmatrix} +s \underbrace {\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}}_{=\displaystyle{\vec v} }+ r \underbrace { \begin{pmatrix} 2 \\ -1\\ -2 \end{pmatrix}}_{=\displaystyle {\vec w}} \end{eqnarray*}$

gesucht ist der Winkel $\begin{eqnarray*} ~\alpha ~ \end{eqnarray*}$ zwischen $\begin{eqnarray*} \vec v ~ \text{\rm und}~ \vec w \end{eqnarray*}$

der Satz vom Skalarprodukt hilft:

$\begin{eqnarray*} \vec v \cdot \vec w= |\vec v||\vec w|\cos( \alpha) \end{eqnarray*}$

damit lässt sich $\begin{eqnarray*} \cos(\alpha) \end{eqnarray*}$ bestimmen.

22.02.2012, 10:36

nuncinini

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du hast Recht:
also III. müsste sein:
III.0s - 2r = -6

Dann kommt bei mir raus:
I. -3 + 2*3 = 1 --> 3 = 1

Aber es kann ja sein, dass du einen anderen Rechenweg gewählt hast und deswegen ein anderer Widerspruch herauskommt, Hauptsache ist, dass ein Widerspruch herauskommt und P somit nicht in E liegt.
Wenn du aber genau denselben Rechenweg wie ich gewählt hast, dann müsste 3 = 1 herauskommen. (wenn ich nicht wieder einen Fehler eingebaut habe..)
Aber mein Taschenrechner zeigt ja auch einen anderen Widerspruch an: 0=1.

mit der Normalenform geht das so:
P als Ortsvektor OP schreiben und als x einsetzen. Dann einfach die beiden Vektoren in der Klammer voneinander subtrahieren. und dann von den zwei übrig gebliebenen Vektoren das Skalarprokukt ausrechnen. Wenn das Skalarprodukt 0 ist, also herauskommt: 0=0, dann ist es eine wahre Aussage und P liegt in E, wenn als Skalarprodukt etwas anderes herauskommt z.B. 5, kommt ein Widerspruch heraus: 5 = 0 und P liegt nicht in der Ebene.

Genau, das Skalarprodukt hilft.
Wenn du es nämlich umstellst, kommt für den Winkel zwischen zwei VEKTOREN heraus:
cos a = v*w / |v|*|w|
(a soll alpha sein, * ein "mal", und / ein Bruchstrich -> ich check das latex nicht, bzw. bin zu faul dazu es zu lernen)

22.02.2012, 15:08

Dopap

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kannst du das Skalarprodukt

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -1\\ -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

berechnen?

und die Beträge der Vektoren?

22.02.2012, 17:59

mathe01

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Ich habe jetzt für b) E:[(3/0/2)-(2/0/8)]*(2/2/1)=0
1*2+0*2-6*1=0 -4=0 P liegt nicht in E

E:[(5/-1/4)-(2/0/8)]*(2/2/1)=0
3*2-1*2-4*1=0 0=0 Q liegt in E

c) -4/ $\begin{eqnarray*} \sqrt{37}* \sqrt{9} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ =102,66°

wie gehe ich jetzt vor um d zu bearbeiten?
Wie kann ich x,y,z ausrechnen, sodass ich rausfinde wo E
durchstoßen wird?
Woran erkenne ich dass das eine Pyramide ist?
V=1/3 AG*h
Woran erkenne ich,welche Vektoren AG und h sind?

22.02.2012, 19:11

Dopap

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$\begin{eqnarray*} \vec v \cdot \vec w=3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} |\vec v ||\vec w|=\sqrt 2\cdot 3 \Rightarrow \cos \alpha= \frac 1 2 \sqrt 2 \Rightarrow \alpha =45° \end{eqnarray*}$

nachrechnen!

d.) die Achsen sind selber Geraden und man könnte für die x1-Achse schreiben:

$\begin{eqnarray*} x1: \vec x = t\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , jetzt in die Ebene zum Schnitt einsetzen

$\begin{eqnarray*} \left[\vec{x}-\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 8 \end{pmatrix} \right] \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}=0 \end{eqnarray*}$

22.02.2012, 19:53

mathe01

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nach der Formel: $\begin{eqnarray*} \vec{v}*\vec{w} / | v |*| w |=a_{x}*b_{x}+a_{y}*b_{y}+a_{z}*b_{z}/\sqrt{a_{x}^{2} +a_{y}^{2} +a_{z}^{2} } *\sqrt{b_{x}^{2} +b_{y}^{2} +b_{z}^{2} } \end{eqnarray*}$
kommt für cosAlpha= -0,2191986497 = 102,6619702° raus

Die Formel mit 45° als Ergebnis kenne ich gar nicht. Wie kommt man auf diese?
Woran sehe ich, dass die Achsen Geraden sind?
Warum x1-Achse?Was ist mit y,z?
Wie komm ich denn auf t(1/0/0)

22.02.2012, 20:09

Dopap

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Zitat:

Original von mathe01
nach der Formel: $\begin{eqnarray*} \vec{v}*\vec{w} / | v |*| w |=\color{red}\left (\color{black}a_{x}*b_{x}+a_{y}*b_{y}+a_{z}*b_{z}\color{red}\right)/\left(\color{black}\sqrt{a_{x}^{2} +a_{y}^{2} +a_{z}^{2} } *\sqrt{b_{x}^{2} +b_{y}^{2} +b_{z}^{2} }\color{red}\right) \end{eqnarray*}$

mir brauchst du die Formel nicht zu erklären. Hast du die roten fehlenden Klammern beachtet?

Zitat:

Woran sehe ich, dass die Achsen Geraden sind?

verwirrt

Zitat:

Warum x1-Achse?Was ist mit y,z?

gut, dann eben ein x-y-z Koordinatensystem.

Ansonsten Eines nach dem anderen.

Zitat:

Wie komm ich denn auf t(1/0/0)

ausführlich: x-Achse: $\begin{eqnarray*} \vec x = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+ t\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Stützvektor + Parameter mal Richtungsvektor.

22.02.2012, 20:23

mathe01

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hab die klammern beachtet, komme aber nach wie vor auf ca 102°
Dass die Achsen Geraden sind weiß ich. ich wollte schon wieder was anderes machen
mit "koordinatensystem kann ich schon eher was anfangen.
Der Stützvektor ist (0/0/0) weil keiner angegeben ist?
Ich steh gerade wieder voll auf dem Schlauch. Wo krieg ich die (1/0/0) her?

22.02.2012, 21:03

nuncinini

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der Stützvektor zeigt immer von dem Ursprung auf einen beliebigen Punkt der Geraden, d.h. der Ortsvektor von irgendeinem beliebigem Punkt der Geraden kann als Stützvektor der Geraden verwendet werden (da der Ortsvektor eines Punktes vom Ursprung zu diesem Punkt zeigt, also die Verschiebung von dem Ursprung zu Punkt P ausdrückt).
Den Richtungsvektor (1/0/0) für die x-Achse bekommst du so:
Der Richtungsvektor gibt die Richtung der Gerade (in dem Fall die x-Achse) an. Jetzt musst du dir überlegen wie eine Verschiebung in Richtung der x-Achse "aussieht":
Der Vektor (=Pfeil) zeigt also entlang der x-Achse, die Länge des Vektors ist variabel.
In x-Richtung (= Richtung der x-Achse!) kannst du also beliebig viele "gehen". Setze also irgendeine Zahl (außer 0, das wäre dann nämlich keine Verschiebung mehr, da 0 keine Verschiebung ist) als x ein. Mit x=1 ist leicht zu rechnen, deswegen nehmen wir 1.
Da der Vektor nur in x-Richtung zeigt, aber nicht in y und z-Richtung ist die Verschiebung in y und z-Richtung = 0

Ich hoff ich konnt dir n bisschen helfen, ich weiß dass ich mich mathematisch nicht so perfekt ausdrücken kann Augenzwinkern

Augenzwinkern

22.02.2012, 21:07

Dopap

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für Punkte im Raum gibt es Koordinaten. Für Vektoren auch, nur braucht man dazu 3 senkrechte Vektoren der Länge 1, die Basisvektoren.

$\begin{eqnarray*} \vec e_1 \end{eqnarray*}$ auf der x-Achse, von (0|0|0) "bis" (1|0|0)

$\begin{eqnarray*} \vec e_2 \end{eqnarray*}$ auf der y-Achse, von (0|0|0) "bis" (0|1|0)

$\begin{eqnarray*} \vec e_3 \end{eqnarray*}$ auf der z-Achse

jeder Vektor lässt sich somit als linearkombinaion der Basisvektoren schreiben.
z.B.

$\begin{eqnarray*} \vec u = 3\vec e_1 + 12\vec e_2 - 7\vec e_3 \end{eqnarray*}$

das ist die Komponentenschreibweise, wir schreiben aber kurz:

$\begin{eqnarray*} \vec u = \begin{pmatrix} 3\\ 12 \\ -7 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

22.02.2012, 21:38

mathe01

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das heißt ich muss bei d) X,Y,Z nicht ausrechnen und es reicht,
wenn ich schreibe x(1/0/0) y(0/1/0) z(0/0/1)
die trage ich dann in das Koordinatensystem ein
Wie finde ich heraus,welche vektoren ich benutze um das volumen zu berechnen?

22.02.2012, 22:22

Dopap

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das wäre ein grosser Zufall, wenn die Ebene die Achsen dort schneiden würde.

Du musst schon das folgende $\begin{eqnarray*} \vec x \end{eqnarray*}$ in die Ebene einsetzen.

$\begin{eqnarray*} x: \color{red}\vec x \color{black}= t\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \left[\color{red}\vec x \color{black}-\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 8 \end{pmatrix} \right] \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}=0 \end{eqnarray*}$

und dasselbe sinngemäss für die y-Achse und für die z-Achse...

22.02.2012, 22:48

mathe01

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Wenn ich das so einsetze, erhalte ich: x(16/-15/-2)
y(17/-14/-6)
z(14/-12/-4)
Die scheinen relativ groß zu sein.
Stimmt das?

22.02.2012, 23:26

nuncinini

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ich berechne Schnittpunkte von einer Ebene mit Achsen immer so:

als 1. die parameterform der ebene in eine koordinatengleichung umwandeln (Kreuzprodukt der Richtungsvektoren = Normalenvektor der Ebene; Stützvektor der Ebene als Punkt schreiben und in Koordinatengleichung einsetzen, dann bekommt man b heraus --> Koordinatengleichung : n1x + n2y + n3z = b , n1, n2 und n3 sind die "Zeilen" des Normalenvektors)

dann kann ich wenn ich den Schnittpunkt von x mit E herausbekommen will einfach y und z = 0 setzen,
wenn ich S (y,E) herausbekommen will : x = 0, z =0
wenn ich S (z,E) herausbekommen will: x =0, y = 0..

Das ist meine Lösungsvariante, wahrscheinlich nicht die schnellste, aber ich kanns mir so gut merken und ausrechnen

23.02.2012, 10:57

Dopap

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oder noch kürzer:

$\begin{eqnarray*} \left[\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \color{black}-\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 8 \end{pmatrix} \right] \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}=0 \end{eqnarray*}$

durch ausmultiplizieren folgt:

$\begin{eqnarray*} 2x+2y+z=12\quad \Big|: 12<br /> <br /> \frac x 6 + \frac y 6 + \frac {z} {12}=1 \end{eqnarray*}$

das ist die Achsenabschittsform. Die Ebene schneidet in X(6|0|0) Y(0|6|0) und in Z(0|0|12) die Achsen.

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