Integral von tan^n(x)

21.02.2012, 21:35

djguendalf

Integral von tan^n(x)

Gegeben ist $\begin{eqnarray*} I_n(a)= \int_0^a \! tan^n x \, dx \end{eqnarray*}$

mit dem Ansatz $\begin{eqnarray*} \int \! tan^n x \, dx = \int \! sin^{n-1}(x)\frac{sin(x)}{cos^n(x)} \, dx \end{eqnarray*}$ soll eine Rekursionsformel für I_n(a) hergeleitet werden.

meine idee: den Bruch sin(x) / cos^n (x) bei partieller Integration als v' verwendet und deshalb dessen Stammfunktion bestimmen.

Dazu würde ich ihn vereinfachen indem ich durch substitution u=cos(x) und du/dx = -sin(x) den sin(x) aus dem Zähler kürze.

$\begin{eqnarray*} \int\! \frac{sin(x)}{u^n} \frac{du}{-sin(x)} \, dx = - \int\! \frac{1}{u^n} \, du = - \frac{n+1}{u^{n+1}} = - \frac{n+1}{cos(x)^{n+1}} \end{eqnarray*}$

partiell integriert: u = sin(x)^n-1 , u'=(n-1)*cos(x)^n-2

$\begin{eqnarray*} sin(x)^{n-1}* - \frac {n+1}{cos(x)^{n+1}} + (n-1) \int \! cos(x)^{n-2} \frac{n+1}{cos(x)^{n+1}} \, dx \end{eqnarray*}$

aber wenn ich weiterrechne hab ich nachher nur nen wirren cosinusausdruck als integral mit dem ich nix anfangen kann. von daher schätz ich mal wird das nicht richtig sein. jemand nen tipp?

22.02.2012, 08:39

Leopold

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Du hast $\begin{eqnarray*} \int \frac{\dd u}{u^n} \end{eqnarray*}$ fehlerhaft integriert. Beachte $\begin{eqnarray*} \frac{1}{u^n} = u^{-n} \end{eqnarray*}$ . Und setze zunächst $\begin{eqnarray*} n \geq 2 \end{eqnarray*}$ voraus. Warum wohl?

Ich möchte aber noch einen Alternativvorschlag machen, der letztlich auf dieselbe Rekursion führt. Für $\begin{eqnarray*} g(x) = \tan x \end{eqnarray*}$ gibt es ja zwei Möglichkeiten, die Ableitung darzustellen, nämlich

$\begin{eqnarray*} g'(x) = \frac{1}{\cos^2 x} = 1 + \tan^2 x \end{eqnarray*}$

Und die zweite ist für unser Anliegen günstiger. Es besteht die Identität

$\begin{eqnarray*} \tan^n x = \left( 1 + \tan^2 x \right) \cdot \tan^{n-2} x - \tan^{n-2} x = g'(x) \cdot \left( g(x) \right)^{n-2} - \tan^{n-2} x \end{eqnarray*}$

Und jetzt ziehe über diese Gleichung das bestimmte Integral von $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ bis $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ und substituiere beim ersten Summanden $\begin{eqnarray*} u = g(x) \end{eqnarray*}$ . Es muß natürlich $\begin{eqnarray*} - \frac{\pi}{2} < a < \frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$ vorausgesetzt werden.

22.02.2012, 20:33

djguendalf

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stimmt, die Ableitung war natürlich blödsinn, auch die von u'. Danke.

Bin grade noch über eine Aufgabe gestolpert wo ich nicht weiter komme.

Gegeben ist $\begin{eqnarray*} I_m = \int_1^e \! (lnx)^{m} \, dx \end{eqnarray*}$

Für das Integral soll durch partielle Integration die Rekursionsformel für beliebiges m bestimmt werden. Kann mir jemand nen Ansatz geben. Wie spalt ich den Audruck am besten auf um an eine Rekursionsformel zu kommen?

22.02.2012, 21:05

original

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Zitat:

Original von djguendalf

$\begin{eqnarray*} I_m = \int_1^e \! (lnx)^{m} \, dx \end{eqnarray*}$

Für das Integral soll durch partielle Integration die Rekursionsformel für beliebiges m ( <- ? verwirrt

)
bestimmt werden.

versuch es doch mal mit dem Ansatz:

u= (ln(x))^m -> u' = ..?..
und
v ' = 1 -> v =x

smile

23.02.2012, 15:24

djguendalf

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mein ergebnis wäre I_m = e - e - m(m-1) * I_m-2

die beiden e (die sich ja wegkürzen lassen) stammen von den jeweiligen Ausrücken u(x)*v(x) vor dem Integral. Da ln1 = 0 und lne=1. korrekt?

23.02.2012, 17:24

original

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Zitat:

Original von djguendalf
mein ergebnis wäre I_m = e - e - m(m-1) * I_m-2

die beiden e (die sich ja wegkürzen lassen) ...

korrekt?

^ nein

und ganz nebenbei: kürzen kannst du Brüche ..

23.02.2012, 17:55

djguendalf

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ich hab wie oben steht (lnx)^m als u benutzt, somit u'= m*(lnx)^m-1 * 1/x . So lässt sich das x im Integral wegkürzen und das m rausziehen. Dann hab ich noch (lnx)^m-1 als Integral. Das erneut integriert ergibt doch (m-1)*(lnx)^m-2, x lässt sich wiederum wegkürzen.

23.02.2012, 18:38

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Sei:
$\begin{eqnarray*} I_{m} = \int\! [ln(x)]^{m} \, dx \end{eqnarray*}$
=>

$\begin{eqnarray*} I_{m} = x\cdot [ln(x)]^{m} - m\cdot I_{m-1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} I_{m} = x\cdot [ln(x)]^{m} - m\cdot \left[ x\cdot [ln(x)]^{m-1}- (m-1)I_{m-2}\right] \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} I_{m} = x\cdot [ln(x)]^{m} - m\cdot x\cdot [ln(x)]^{m-1} + m\cdot (m-1)\cdot I_{m-2} \end{eqnarray*}$

also ?
.......... Wink

23.02.2012, 19:41

djguendalf

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Grenzen einsetzen

I_m = (e*1)-0 - (m*e)-(m*0) + m*(m-1)*I_m-2 ?

23.02.2012, 19:52

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..
und?
was soll das dann?

und:
habe ich dir nicht schonmal notiert, dass es relativ witzlos ist, so zu arbeiten,
solange du nicht bereit bist, etwas über m in Erfahrung zu bringen Big Laugh

nebenbei: oben, rechts aussen, unter "Werkzeuge" findest du den Formeleditor Wink

23.02.2012, 20:37

djguendalf

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wenn ich für m einen Wert einsetzen will muss ich doch letztendlich sowieso die Grenzen so einsetzen. also kann ich's doch auch schon tun bevor ich mit einem bestimmten m rechnen soll.

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