Teilmenge mit cos,sin lin. unabhängig?

22.02.2012, 11:33

martinio

Auf diesen Beitrag antworten »

Teilmenge mit cos,sin lin. unabhängig?

Hallo Mathematikerfreunde,

kurze aufgabe:
Welche der folgenden Teilmengen des W-Vektorraums über R (Funktionen von R nach R) sind lin. abhängig / unabhängig?

(i) $\begin{eqnarray*} \left\{ \cos^2(x) , 1 , \sin^2(x) \right\} \end{eqnarray*}$
(ii) $\begin{eqnarray*} \left\{ \cos(x) , x^2 , \sin(x) \right\} \end{eqnarray*}$

Die Frage ist ja eigentlich, wie ich den Nullvektor dargestellt bekomme: trivial oder nicht trivial.
Idee: Wann wird cos,sin = 0 ? dann wäre (i) schon mal nicht lin. unabhängig, da ich die "1" nicht "wegbekomme" und (ii) hingegen schon , da ich auch x=0 setzen kann... aber eher sind das nur ideen/vermutungen und kein richtiges wissen.

22.02.2012, 11:45

Mulder

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Teilmenge mit cos,sin lin. unabhängig?
Zur i) Gibt es a,b,c € R\{0}, so dass

a*1+b*sin²(x) + c*cos²(x) = 0 für alle x?

Sollte eigentlich sofort ins Auge springen. Trigometrischer Pythagoras hilft.

Bei der ii) geh da nach Ausschlussverfahren vor. Es muss ja für alle x gelten. Setz also in

a*cos(x) + b*x² + c*sin(x) =0

geeignete x-Werte ein. Was ergibt sich z.B. für x=0 ?

22.02.2012, 11:58

martinio

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Teilmenge mit cos,sin lin. unabhängig?
hey mulder. danke für deine antwort.

also a,b,c sind hier die skalare , ich bezeichne sie eig. immer als lambda, aber dass ist ja auch egal. zu (i): fälllt mir auf, dass im ersten teil des termes a * 1 = a , wobei in der bedingung gesagt wurde, dass a ungleich 0 ist. also steht da ja schonmal z.B. eine 1. es gibt eine möglichkeit , dass b x sin^2(x) + c x cos^2(x) = -1 ergibt.

da kommt mir dann folgende möglichkeit in den sinn:
$\begin{eqnarray*} <br /> -1 = 1 \times sin(\pi)^2 + (-1) \times cos^2(\pi) <br /> -1 = 0 + (-1) \times (-1)^2 <br /> -1 = -1 (w.)<br /> \end{eqnarray*}$
D.h für die gesamte Gleichung ergibt sich:
$\begin{eqnarray*} 0 = 1 + 1 \times sin(\pi)^2 + (-1) \times cos^2(\pi)<br /> 0 = 1 +0 + (-1) <br /> 0 = 0 (w.) \end{eqnarray*}$

Ist das möglich? d.h. das wäre eine nicht triviale Lösung und somit linear abhängig.

22.02.2012, 12:09

Mulder

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Teilmenge mit cos,sin lin. unabhängig?
Du darfst für x keine einzelnen Werte einsetzen, wenn du lineare Unabhängigkeit beweisen willst. Es muss ja für ALLE x (also ganz IR) gelten, damit die "Vektoren" (hier Funktionen) linear unabhängig sind. Dafür brauchst du eine nichttriviale Lösung.

Wenn du lineare Unabhängigkeit widerlegen willst, dann kannst du mit speziellen x-Werten arbeiten, um zu zeigen, dass es keine allgemeine Lösung für eine nichttriviale Linearkombination gibt.

Darüber hinaus stimmt das auch gar nicht, was du da gerechnet hast. Was ergibt sin²(pi)+cos²(pi)? Bestimmt nicht -1.

22.02.2012, 12:15

martinio

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Teilmenge mit cos,sin lin. unabhängig?
ja hab den fehler auch oben gesehen, daher hab ichs editiert.
sin^2(pi) = 0^2 = 0
cos^2(pi) =1^2 = 1 , daher um auf -1 zukommen hab ich c=-1 gesetzt.

Zitat:

Wenn du lineare Unabhängigkeit widerlegen willst, dann kannst du mit speziellen x-Werten arbeiten, um zu zeigen, dass es keine allgemeine Lösung für eine nichttriviale Linearkombination gibt.

Dann kann ich ja einen Kontrapositionsbew. machen , durch wiederlegen der Annahme ergibt sich, dass es eine nicht-triviale LK für den Nullvekotr ergibt.

Achso und ganz oben, dass a möchte ich als 1 und nicht als -1 wählen.

22.02.2012, 12:17

Mulder

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Teilmenge mit cos,sin lin. unabhängig?
Zur i) ich hatte schon einmal auf den trigonometrischen Pythagoras hingewiesen. Schade, dass du das nicht verfolgst, denn das ist schon die ganze Lösung der Aufgabe. Es gilt

$\begin{eqnarray*} \sin^2(x)+\cos^2(x) =1 \end{eqnarray*}$

Und zwar für JEDE reelle Zahl x.

Anzeige

22.02.2012, 12:28

martinio

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Gibt es a,b,c € R\{0}, so dass a*1+b*sin²(x) + c*cos²(x) = 0 für alle x? Sollte eigentlich sofort ins Auge springen. Trigometrischer Pythagoras hilft.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \sin^2(x)+\cos^2(x) =1 \end{eqnarray*}$

Naja... schon ne tolle sache und schade, dass ich vorher noch nie etwas davon gehört habe.
Also , dann hängts halt immer noch von a ab oder? Sei a = -1 , dann ists erfüllt.

Zitat:

Du darfst für x keine einzelnen Werte einsetzen, wenn du lineare Unabhängigkeit beweisen willst. Es muss ja für ALLE x (also ganz IR) gelten, damit die "Vektoren" (hier Funktionen) linear unabhängig sind. Dafür brauchst du eine nichttriviale Lösung.

Damit ist das ganze lin. unabhängig? Wie oben gezeigt gilt es dann für alle x werte, dank des trigonometrischen pythagoras. In der Lsg steht, dass es lin. abhängig sein sollte.

22.02.2012, 12:36

Mulder

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Damit ist das ganze lin. unabhängig?

Nein, eben nicht! Wenn es eine nichttriviale Lösung für die LK gibt, dann sind sie doch gerade WOHL linear abhängig? Definition von linearer Unabhängigkeit ist nicht klar, oder wie?

Du brauchst a,b,c, die nicht alle null sind, so dass

$\begin{eqnarray*} a\cdot \sin^2(x) + b\cos^2(x) + c \cdot 1 =0 \end{eqnarray*}$

für alle x gilt. Mit a=b=1 und c=-1 ist das erfüllt. Also linear abhängig.

Zitat:

Naja... schon ne tolle sache und schade, dass ich vorher noch nie etwas davon gehört habe.

Das ist wirklich bedauerlich, denn das lernt 100%ig auch schon in der Schule. Von all den Identitäten, die es für trigonometrische Funktionen so gibt, ist das die mit Abstand bekannteste. Also bitte einprägen, denn das wirst du garantiert wieder brauchen!

Schau dir auch ruhig den Beweis an, kann man sich am Einheitskreis klar machen. Schau auf Wikipedia nach.

Oder auch mit Methoden der Analysis...

22.02.2012, 12:53

martinio

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja mit der Schule ist das wirklich so eine Sache. Auch das Zentralabitur bringt keine besserung in den unterschiedlichen Wissensständen der Schüler. In meiner Algebraübungsgruppe sitzen Leute aus dem gleichen Jahrgang, die einfach schon ganz andere Dinge gehört haben. Womöglich liegts daran, dass sie aus BaWü kommen und ich aus NRW...

Zurück zur Aufgabe.
ach ja... sorry mein fehler:

$\begin{eqnarray*} \lambda_{1} = \lambda_{2} = ... = \lambda_{n} = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \exists \lambda_{n} \neq 0 \end{eqnarray*}$

Wie du ja schon sagtest, hier gilt: a=b=1 und c=-1 , d.h. alle skalare sind ungleich 0 , bzw. mindestens eins ungleich 0 => lin. abhängig.

Aber kannst du mir das hier nochmal genauer erklären:

Zitat:

Du darfst für x keine einzelnen Werte einsetzen, wenn du lineare Unabhängigkeit beweisen willst. Es muss ja für ALLE x (also ganz IR) gelten, damit die "Vektoren" (hier Funktionen) linear unabhängig sind. Dafür brauchst du eine nichttriviale Lösung.

Irgendwie ist mir das noch nicht klar genug. Meine Funktion kann natürlich eine Vektor sein, bzw. der Wert der Funktion, daher kennt man ja auch den Vektorraum von einer Menge A in einen K-Vektorraum V , wenn man die Verknüpfung elementweise erklären würde. Aber warum müssen gerade alle X den gleichen wert haben? Dieser Zusammenhang ist mir schleierhaft unglücklich

unglücklich

22.02.2012, 13:00

Mulder

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von martinio
Irgendwie ist mir das noch nicht klar genug. Meine Funktion kann natürlich eine Vektor sein, bzw. der Wert der Funktion, daher kennt man ja auch den Vektorraum von einer Menge A in einen K-Vektorraum V , wenn man die Verknüpfung elementweise erklären würde.

Was?

verwirrt

Wir nehmen an:

$\begin{eqnarray*} a \sin^2(x) + b\cos^2(x)+c=0 \end{eqnarray*}$

Damit die drei Vektoren (die hier Funktionen sind) linear unabhängig sind, muss a=b=c=0 gelten.

Ich nehme an, du hast hier Probleme damit, dass wir es nicht mit Vektoren der üblichen Form (wie beispielsweise sowas wie (1,5,3) ) zu tun haben, sondern dass unsere Vektoren hier Funktionen sind. Funktionen mit einer Variablen x. Die Gleichung

$\begin{eqnarray*} a \sin^2(x) + b\cos^2(x)+c=0 \end{eqnarray*}$

muss, damit sie erfüllt ist, doch logischerweise für jedes x gelten. Und wenn es uns gelingt, a,b,c ungleich null zu finden, so dass das tatsächlich für JEDES x gilt, dann sind die Funktionen linear abhängig. Das haben wir hier gemacht. Hätten wir solche a,b,c nicht gefunden, so dass es für jedes x gilt, dann wären die Funktionen linear unabhängig.

Du musst bei dem ... =0 auch aufpassen. Diese 0 meint in dem Sinne nicht die Zahl null, sondern die Nullfunktion, also die Funktion g(x)=0.

Wir sind ja in einem Vektorraum, dessen Elemente Funktionen sind. Also ist auch das Nullelement eine Funktion. Nämlich die, die jedes x auf null abbildet. Man könnte also auch schreiben:

$\begin{eqnarray*} a \sin^2(x) + b\cos^2(x)+c=g(x) \end{eqnarray*}$

Wobei eben g(x)=0 sein soll. Also die Nullfunktion.

Auch das c ist eine Funktion. Nämlich h(x)=c, also eine konstante Funktion mit Funktionswert c.

Edit: Latex korrigiert.

22.02.2012, 13:20

martinio

Auf diesen Beitrag antworten »

konnte leider nicht alles lesen Augenzwinkern

Augenzwinkern

EDIT: kann nun alles lesen

ich meinte das hier z.b.

A sei eine Menge, V ein K-Vektorraum. Die Menge der Funktionen f: A--->V bildet einen K-Vektorraum. Dort "rechnet" man ja mit den Funktionswerten im Bildberreich.

Ja ich glaube das scheitert in diesem Fall an meiner Vorstellungskraft, wie eine cos-Funktion einen Vektor bilden kann...

Zu der Sache, dass die Gleichung für ALLE x gelten muss:
x ist ja ein Element aus dem reellen Zahlenraum R , d.h. in diesem Fall, darf ich alles mir bekannte (bis auf die komplexen Zahlen oder sonstige Körper die nicht in R enthalten sind) einsetzten.
Wenn ich aber ein Intervall festlegte für x aus [0,+oo], dann wäre der Vektorraum nur noch auf dieses Intervall definiert , kann man das so sagen?

Damit würde aber die Gleichung $\begin{eqnarray*} a\cdot \sin^2(x) + b\cos^2(x) + c \cdot 1 =0 \end{eqnarray*}$ nicht mehr gelten?!

Aber letzten Endes wird die Entscheidung, ob lin. unabhängig oder nicht über a,b,c (die Skalare) gefällt.

22.02.2012, 13:31

Mulder

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von martinio
Wenn ich aber ein Intervall festlegte für x aus [0,+oo], dann wäre der Vektorraum nur noch auf dieses Intervall definiert , kann man das so sagen?

Was sollen solche Überlegungen jetzt bringen? verwirrt

verwirrt

Vektorräume definiert man nicht auf einem Intervall. Wenn, dann tut man das mit Funktionen. In unserem Fall sind sie auf ganz R definiert, dabei belassen wir es auch.

Zitat:

Original von martinio
Aber letzten Endes wird die Entscheidung, ob lin. unabhängig oder nicht über a,b,c (die Skalare) gefällt.

Ja.

Zitat:

Original von martinio
Ja ich glaube das scheitert in diesem Fall an meiner Vorstellungskraft, wie eine cos-Funktion einen Vektor bilden kann...

Ein Vektor ist ein Element aus einem Vektorraum, nicht mehr und nicht weniger. In der Schule wird unter dem Begriff "Vektor" so ein Ding wie

$\begin{eqnarray*} u = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

beispielsweise im R³ verstanden. Am besten vergisst man das sofort wieder, wenn man an der Uni ist. Zwar sind sind das tatsächlich auch Vektoren, wenn man z.B. den R³ als Vektorraum betrachtet. Aber das kann auch was ganz anderes sein. Wie in unserem Fall eben Funktionen. Es können aber auch Matrizen sein, usw. Je nachdem, was für einen Vektorraum man gerade vorliegen hat.

Und das mit dem "sich vorstellen" würde ich komplett vergessen.

Nebenbei: Wenn

$\begin{eqnarray*} a\cdot \sin^2(x) + b\cos^2(x) + c \cdot 1 =0 \end{eqnarray*}$

für alle x aus R und passende a,b,c gilt, dann doch sicher auch für jede Teilmenge von R.

22.02.2012, 14:18

martinio

Auf diesen Beitrag antworten »

danke mulder für deine hilfe! Freude

Freude

habs jetzt besser verstanden. ich mach mich dann mal an die (ii) und schreibe das ergebnis hier hin, vll. kannst du dann nochmal drüber schaun, ob alles seine richtigkeit hat.

22.02.2012, 14:47

martinio

Auf diesen Beitrag antworten »

also: $\begin{eqnarray*} \left\{ \sin(x), \cos(x),1 \right\} \end{eqnarray*}$ lin. abhängig oder nicht?

Ansatz:

Setzte x=0, daraus folgt:
$\begin{eqnarray*} 0 = \lambda_{1} \times \sin(x) + \lambda_{2} \times \cos(x)+ \lambda_{3} \times x^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0 = \lambda_{1} \times \sin(0) + \lambda_{2} \times \cos(0)+ \lambda_{3} \times 0^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0 = 0 + \lambda_{2} \times 1 + 0 \end{eqnarray*}$ => $\begin{eqnarray*} \lambda_{2} = 0 \end{eqnarray*}$

Problem hier: Wer sagt mir, dass lambda 1 = lambda 3 = 0 ist? die könnten ja auch verschieden null sein und die gleichung würde aufgehen?

22.02.2012, 15:14

Mulder

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von martinio
Problem hier: Wer sagt mir, dass lambda 1 = lambda 3 = 0 ist? die könnten ja auch verschieden null sein und die gleichung würde aufgehen?

Nochmal: Die Gleichung gilt für alle x. Das ist unsere Voraussetzung. Da die Gleichung auch für x=0 gilt, muss schon mal Lambda2 null sein. Das hast du schon.

Such weiter. Setz noch andere passende x-Werte und schau weiter. Hier ist ein bisschen Hingucken und Kreativität gefragt.

22.02.2012, 15:30

martinio

Auf diesen Beitrag antworten »

hm nun gut. Ich glaube es geht da auch um die "pikanten" Werte der Sinus/Kosinus funktion: 0/pi/(pi/2)
wenn ich dann $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ einsetze kommt raus:

$\begin{eqnarray*} <br /> 0 = \lambda_{1} \times \sin(\pi) + \lambda_{2} \times \cos(\pi)+ \lambda_{3} \times \pi^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0 = 0 + \lambda_{2} \times -1 + \lambda_{3} \times 9,8696044<br /> \end{eqnarray*}$

daraus folgt: $\begin{eqnarray*} \lambda_2 = \lambda_3 = 0 \end{eqnarray*}$

wenn ich dann $\begin{eqnarray*} \frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$ einsetze kommt raus:

$\begin{eqnarray*} 0 = \lambda_{1} \times \sin(\frac{\pi}{2} ) + \lambda_{2} \times \cos(\frac{\pi}{2})+ \lambda_{3} \times (\frac{\pi}{2})^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0 = \lambda_1 \times 1 + 0 + \lambda_3 \times 2,4674011 \end{eqnarray*}$

daraus folgt: $\begin{eqnarray*} \lambda_1 = \lambda_3 = 0 \end{eqnarray*}$

22.02.2012, 15:34

Mulder

Auf diesen Beitrag antworten »

Da wir schon $\begin{eqnarray*} \lambda_2=0 \end{eqnarray*}$ festgestellt hatten, kannst du den Term auch für deine weiteren Untersuchungen komplett weglassen. Dafür haben wir doch x=0 eingesetzt! Es verbleibt nur

$\begin{eqnarray*} \lambda_1 \sin(x) +\lambda_3x^2=0 \end{eqnarray*}$

Und ja, dann geht's mit den "pikanten Werten".

Edit: Eine Kleinigkeit noch: Nimm für das Malzeichen lieber\cdot, das ist übersichtlicher.

22.02.2012, 15:55

martinio

Auf diesen Beitrag antworten »

okay das habe ich soweit verstanden. Eine letztes Frage bleibt jedoch ( sei bitte nicht sauer, wenn diese etwas dümmlich klingt) :

im ersten teil:

im zweiten teil:

Es verwundert mich ein wenig, dass wir Teile der Gleichungen weglassen dürfen, da sin/cos/x^2 für variriierende x-werte grundsätzlich verschieden sind.

22.02.2012, 16:12

Mulder

Auf diesen Beitrag antworten »

Zum ersten Teil: Bei

$\begin{eqnarray*} \sin^2(x)+\cos^2(x)-1=0 \end{eqnarray*}$

darfst du ALLE x einsetzen. Es passt immer. Ergo linear abhängig.

Beim zweiten Teil gibt es eben keine passenden Skalare, so dass die Gleichung wirklich für jedes x erfüllt ist. Außer eben, man setzt alle Skalare gleich null. Und das kann man zeigen, indem man sich ein paar geschickte x-Werte raussucht und zeigt, dass es nicht hinhaut.

$\begin{eqnarray*} \lambda_1 \sin(x) + \lambda_2 \cos(x) +\lambda_3 =0 \end{eqnarray*}$

Wir wollen zeigen, dass, damit diese Gleichung auch wirklich für ALLE x erfüllt ist, die $\begin{eqnarray*} \lambda_i \end{eqnarray*}$ alle null sein müssen.

Nun geht man schrittweise vor. Okay, es muss für alle x gelten. Dann muss es aber auch insbesondere für x=0 gelten. Einsetzen liefert, dass dann $\begin{eqnarray*} \lambda_2=0 \end{eqnarray*}$ sein muss, sonst würde die Gleichung nicht mehr erfüllt sein, scheiß egal was wir für $\begin{eqnarray*} \lambda_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lambda_3 \end{eqnarray*}$ einsetzen. Denn wenn die Gleichung für x=0 nicht erfüllt ist, gilt sie ja nicht mehr für alle x. Es bleibt also an $\begin{eqnarray*} \lambda_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lambda_3 \end{eqnarray*}$ hängen.

Wir suchen doch gerade $\begin{eqnarray*} \lambda_i \end{eqnarray*}$ , so dass die Gleichung für jedes x gilt. Wäre nun $\begin{eqnarray*} \lambda_2 \neq 0 \end{eqnarray*}$ , kann es schon nicht mehr klappen, weil es bei x=0 nicht passt. Also: Rauswerfen! $\begin{eqnarray*} \lambda_2 \end{eqnarray*}$ muss null sein.

So schwer ist das doch nun wirklich nicht... verwirrt

verwirrt

22.02.2012, 16:43

martinio

Auf diesen Beitrag antworten »

ne jetzt passts danke dir, glaube mir hat n aufsatz gefehlt. danke Freude

Freude

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »