Die Folge/Ordnung der natürlichen Zahlen |
| 22.02.2012, 12:35 | klauss | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Die Folge/Ordnung der natürlichen Zahlen Habe bei YouTube u. a. die Videos http://www.youtube.com/watch?v=1Rb6va1Nz1Q http://www.youtube.com/watch?v=kwXVCC3hGek zum Thema angeschaut und mir ist klar, dass die Beweisführung zu 3 < 5 an sich schon akkurat und schlüssig ist. Ich frage mich nun bloß: Ist sie praktisch überhaupt wirklich notwendig? Wenn am Anfang zur Festlegung der Eigenschaften der natürlichen Zahlen gesagt wird, dass man in der Aufstellung von Axiomen und Definitionen zwar üblicherweise sinnvoll vorgeht, aber grundsätzlich frei ist, stehen doch die grundlegenden Eigenschaften der natürlichen Zahlen schon durch Definition fest, nämlich 1.) die Form der Struktur (keine Parallelstrukturen, keine Ringstrukturen usw.) 2.) das Wohlordnungsprinzip 3.) die Festlegung, dass die Elemente der Struktur überhaupt durch Größer/Kleiner-Relation verglichen werden können (bei den komplexen Zahlen wäre das z. B. so nicht möglich) 4.) die Namensgebung für die Elemente/Objekte der Struktur Das Objekt ohne Vorgänger nenne ich also Null, dessen Nachfolger nenne ich Eins, dessen Nachfolger nenne ich Zwei usw.. Damit ist doch aber bereits vorab die Position/der Index eines Objekts innerhalb meiner Struktur und dessen Name per definitionem festgelegt, bevor ich den Größer/Kleiner-Beweis starte, sonst könnte ich doch - ausgehend von der Null - z. B. das Objekt mit dem Namen "Drei" als Nachfolger der Zwei in meiner Struktur gar nicht wiederfinden. Wenn ich also meine Struktur ausgehend von der Null schrittweise abschreite, dann irgendwann auf das Objekt namens "Drei" treffe und erst später auf das Objekt namens "Fünf" und ich vorher definiert habe, dass ein Objekt meiner Struktur kleiner ist als ein anderes, wenn man ausgehend von der Null bei diesem früher ankommt als bei dem Vergleichsobjekt (oder es weiter links steht o. ä.), dann ergibt sich der Größenvergleich doch bereits aus dieser definitorischen Festlegung. Ich weiß also bereits während des schrittweisen Vorgehens, sobald ich das Objekt namens "Drei" erreicht habe, dass dieses auf jeden Fall kleiner ist als alle Objekte, die noch folgen so wie eine eventuelle "Fünf", die ich zu diesem Zeitpunkt noch nicht erreicht habe. Eine zweite Möglichkeit wäre, die Objekte meiner Struktur erst jeweils während des erstmaligen schrittweisen Abschreitens einzeln zu benennen, d.h. ein bestimmtes Objekt nenne ich "Drei", sobald ich es zum ersten Mal erreicht habe. Im Ergebnis wüßte ich dann aber auch, dass Drei kleiner als Fünf ist, wenn ich einem anderen Objekt noch nicht vorher den Namen Fünf gegeben habe. In beiden Fällen könnte ich aber genausogut beweisen, dass 3 > 5 ist, wenn ich nur zuvor den Nachfolger des Nachfolgers des Nachfolgers der Null "Fünf" GENANNT hätte und den Nachfolger dessen Nachfolgers "Drei". Dann wäre in diesem Fall aber nicht die von dem Objekt "Drei" bezeichnete ANZAHL größer als die dann von dem Objekt "Fünf" bezeichnete ANZAHL, sondern die in unserer Sprache derzeit "Drei" genannte ANZAHL trüge dann bloß den Namen "Fünf", d. h. meine neue Struktur wäre (unter Beibehaltung aller sontiger Eigenschaften) Null-Eins-Zwei-Fünf-Vier-Drei-Sechs usw.. Da die mathematischen Eigenschaften einer Struktur und deren Objekte aber nicht von einer bloßen Namensgebung abhängen dürfen, wäre ich für eine plausible Erklärung dankbar, ob ein Beweis wie 3 < 5 wirklich zwingend ist oder ob er nur rein methodischen Wert hat, um das Prinzip einer Rekursivdefinition vorzustellen? Im Moment sieht es noch so aus, als würde man vor dem Beweis hinter einen schon erreichten Wissenstand zurückgehen. Danke. |
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| 22.02.2012, 13:25 | pseudo-nym | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Die Folge/Ordnung der natürlichen Zahlen Der Grund warum dir dein Beweis so viel einfacher erscheint, ist weil du zwei wichtige Schritte einfach auslässt.
Es ist schwer herauszulesen, aber du scheinst zu argumentieren dass man alle natürlichen Zahlen erreichen kann, wenn man sie ausgehend von der Null abschreitet, da alles andere mit deiner intuitiven Vorstellung der natürlichen Zahlen kollidieren würde. Dies ist keine Begründung. Man mag durch ausprobieren leicht zeigen können, dass man die 3 durch Nachfolgerbildung von der 0 aus erreichen kann, dass dies mit allen natürlichen Zahlen funktioniert ist alllerdings dem Induktionsaxiom geschuldet.
Die Tatsache, dass du dich beim oben erwähnten schrittweisem Abschreiten daran erinnern kannst welche Zahlen schon vorgekommen sind, ("weiter links stehen" wie du sagst) ist a priori nicht klar. Die Durchführbarkeit dieser Methode wird durch das Rekursionsprinzip gesichert, welche eine nichttriviale Folgerung des Induktionsaxiom ist. Wenn du nun diese beiden Lücken in deinem Beweis füllst, gelangst du ziemlich genau zu dem, was der Dozent in den gegebenen Videos macht. |
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| 22.02.2012, 14:11 | klauss | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Die Folge/Ordnung der natürlichen Zahlen Danke, viel Nachbesserung erfordert mein Gedankengang ja wenigstens nicht. Allerdings bin ich nicht von einer intuitiven Vorstellung der natürlichen Zahlen ausgegangen, sondern von den Aussagen über die Struktur gemäß Peano-Axiomen, die in den weiteren Videos http://www.youtube.com/watch?v=73ZxJ_NIXUY http://www.youtube.com/watch?v=65ns5w-gWsI vorgestellt werden. Insoweit habe ich unterstellt, dass man kein Objekt der Struktur "verpassen" kann, wenn man ausgehend von der Null voranschreitet, da Parallelstrukturen und Wiederholungen ausgeschlossen sind. Eher intuitiv habe ich vielleicht unterstellt, dass ich mich an etwas erinnern kann, was schon vorgekommen ist. Wenn das nicht der Fall sein soll, müßte man evtl. nochmal klarer formulieren, ab welchem erstmaligen Zeitpunkt ich beim Antreffen eines beliebigen Objekts der Struktur dessen Namen, den Namen des Vorgängers und Nachfolgers etc. als bekannt voraussetzen kann. |
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| 22.02.2012, 18:24 | pseudo-nym | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Die Folge/Ordnung der natürlichen Zahlen
Das ist der Fall. Man kann dass eben in Gestalt einer rekursiven Definition tun. |
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