schwach-konvergente Teilfolge

22.02.2012, 13:14	speedyschmidt	Auf diesen Beitrag antworten »
schwach-konvergente Teilfolge Hallo , ich habe eine beschränkte Folge in einem Banachraum B und möchte eine schwach-konvergente Teilfolge finden. Wie funktioniert das? Nach dem Satz von Banach-Alaoglu (wiki) bzw dem von Satz von Alaoglu-Bourbaki (auf gleicher seite) ist die Einheitskugel $\begin{eqnarray} K \end{eqnarray}$ im Dualraum $\begin{eqnarray} B* \end{eqnarray}$ bzgl der schwach--Topologie kompakt. (das nennt man doch schwach--kompakt, oder?) Nach dem Satz von Eberlein–Šmulian (wiki) ist sie sogar schwach-folgenkompakt (oder schwach--folgenkompakt, bzw. überhaupt eines von beiden? ich hab doch nur Kompaktheit und keine schwache Kompaktheit bzgl der schwach--Topologie). Nun soll daraus folgen, dass meine Folge in $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ eine schwach-konvergente Teilfolge hat. Das hieße also, dass $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray*}$ selbst schwach-folgenkompakt ist. Wie sieht man das? Wär gut, wenn das einer idiotensicher erklären kann, ich hatte zwar mal Funkana, aber das ist ne Weile her. Mein Problem kommt ganz woanders her, aber in meinem Paper steht einfach nur, dass das aus oben genannten Sätzen folgt. Vielen Dank
22.02.2012, 18:56	blubs	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: schwach-konvergente Teilfolge Der Satz von Eberlein-Šmulian wird oft sehr unterschiedlich formuliert. Letztendlich kann man alle Formulierungen so zusammenfassen, dass für einen Banachraum B die folgenden Bedingung gleichwertig sind: - B ist reflexiv. - Die Einheitskugel in B ist schwach kompakt. - Die Einheitskugel in B ist schwach folgenkompakt. - Jede beschränkte Folge in B hat eine schwach konvergente Teilfolge. Für beliebige Banachräume kannst du also nicht einfach schwach konvergente Teilfolgen von beschränkten Folgen auswählen. Es wäre also gut, wenn von B die Reflexivität gegeben wäre. Dann bräuchtest du auch nur die Implikation von der ersten zur vierten Aussage und die wird in den meisten Funktionanalysis-Vorlesungen sogar bewiesen. (Die anderen Richtungen sind deutlich schwieriger zu beweisen.)
23.02.2012, 00:31	speedyschmidt	Auf diesen Beitrag antworten »
Dankeschön hmm, das klingt leider ungut

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »