Schneiden sich die Geraden im Raum?

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nele1994 Auf diesen Beitrag antworten »
Schneiden sich die Geraden im Raum?
Meine Frage:
In Fig. 4 sind die Punkte M und N die Mitten der jeweiligen Würfelkanten. Schneidet die eingezeichnete Raumdiagonale die Strecke MN?

[attach]23234[/attach]


Meine Ideen:
Man könnte den Würfel in ein dreidimensionales Koordinatensystem einzeichnen, wie ich es in der zweiten Grafik getan habe. Jetzt gilt es die Gleichungen der beiden Geraden herauszufinden, um zu prüfen, ob sie sich schneiden.

Nur, wie finde ich jetzt die Gleichungen der Geraden heraus?

[attach]23235[/attach]
Gualtiero Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Schneiden sich die Geraden im Raum?
Du könntest da fortsetzen, was Du schon angedeutet hast: die Kantenlänge ist doch offensichtlich 1 Längen-Einheit.
Vergib den Punkten, die Du benötigst, Koordinaten.
Zuerst mal M und N. Den Ursprung würde ich A, und den Endpunkt Deiner Raumdiagonale G nennen.
nele1994 Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, also:

N(0/0,5/1)
M(1/0,5/0)
A(0/0/0)
G(1/1/1)

Ist das so richtig?
Gualtiero Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, stimmt.

Habt Ihr schon die Parameterform von Geraden gemacht? Dann probier gleich einen Ansatz.
nele1994 Auf diesen Beitrag antworten »

Also wir geben Geradengleichungen im Raum immer mit der Form Vektor x = Vektor a + k * Vektor u an.

Ich denke mal, das meinst du.

Dann wäre die Gleichung der beiden Geraden also einmal

M : Vektor x = Vektor (1/0,5/0) + t * Vektor (-1/0/1)

und

A: Vektor x = t * Vektor (1/1/1)

?
Gualtiero Auf diesen Beitrag antworten »

Auch richtig.

Wenn man zwei Geraden, setzt man die beiden Gleichungen (dir rechten Seiten) gleich.

Das ergibt dann ein dreizeiligesLGS mit zwei Unbekannten, den Parametern. Aber benenne sie nicht gleich, nimm für den zweiten z. B. u oder s.

Kannst Du das umsetzen?
 
 
nele1994 Auf diesen Beitrag antworten »

Also:

-t + s = -1
s = -0.5
t + s = 0

s =-0,5 --> s in 1 --> t = 0,5

Mit der dritten Gleichung wird überprüft. --> Die Parameter schneiden sich.

Auch, wenn es nicht in der Aufgabe steht: Wie errechnet man jetzt nochmal den entgültigen Schnittpunkt?

Einfach -0,5 bzw. 0,5 in die zweite bzw. erste Gleichung einsetzen?

Dann wäre der Schnittpunkt: S(0,5/0,5/0,5).
Gualtiero Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast irgendwie einen Fehler hineinbekommen. Rechne das nochmal nach, ich schreibe es mit latex:



Setze dann die Lösung für jede Gerade extra ein, dann bekommst Du zweimal den Schnittpunkt raus.
nele1994 Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich komme immer wieder auf das Ergebnis:

- 1 t + 1 u = 1
1 u = 0,5
1 t + 1 u = 0

dann ist s= 0,5 und t = -0,5
Gualtiero Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm, verstehe ich nicht, was Du machst; hoffentlich übersehe ich nichts . . . verwirrt

Wenn ich meine Gleichung auflöse, bekomme ich einmal das:

1 - t = u
0.5 + 0 = u
0 + t = u
nele1994 Auf diesen Beitrag antworten »

Achso, ich glaube ich habe das falsch verstanden.

So wie ich das gemacht habe, wäre es eine Möglichkeit, um zu schauen, ob die beiden Geraden gegenseitig windschief sind oder sich schneiden (also ob Vektor u, Vektor v und Vektor b - Vektor a linear abhängig sind), nicht wahr?
Gualtiero Auf diesen Beitrag antworten »

Ich weiß jetzt leider nicht, was Du meinst, aber in diesem Fall denke ich, ist das der schnellste Weg.

Wenn Du dann einsetzt, wie ich gesagt habe, bekommst Du Deine Lösung.

(Muss jetzt für ca. 2 Stunden weg; kannst aber ruhig weiter fragen)
nele1994 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, nicht schlimm. Ich habe es jetzt so gemacht wie Du, und verstehe auch, warum es so gemacht werden muss.

Am Ende kommt S(0,5/0,5/0,5) als Schnittpunkt raus.

Ich bedanke mich für deine schnelle Hilfe :-)!

Bis denne :-)
Gualtiero Auf diesen Beitrag antworten »

Gern geschehen. Wink
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