Ableitungen bei x0

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Tanja0103 Auf diesen Beitrag antworten »
Ableitungen bei x0
Meine Frage:
hallo! Ich möchte die Gleichung der Tangente in f(x)= 1/3x³+2x² berechnen. Dabei ist x0= 2.

Meine Ideen:
zuerst muss ich die Ableitung bilden:
f(x)= 1/3x³-2x²
f'(x)= x²-4x

Anschließend muss ich doch x0=2 in die Anfangsfunktion einsetzen. Das wäre dann 1/3*2³-2*2². Nun muss ich wieder die Ableitung bilden. Ich kenne bereits das Ergebnis aus dem Unterricht, nämlich = 1/3*8-8 = 8/3-24/3= 16/3
Trotzdem weiß ich nicht, wie man auf dieses Ergebnis kommt. Ich hoffe mir kann jemand helfen smile
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Mir scheint, du wirfst da einiges durcheinander. Sehen wir uns das mal genauer an.

Du hast die Funktion und sollst nun die Tangente an den Graphen im Punkt bestimmen. Wie sieht denn allgemein die Gleichung der gesuchten Tangente aus, was für eine Art von Funktion ist das?
Tanja0103 Auf diesen Beitrag antworten »

es war eigentlich nicht mehr vorgegeben. Also es gibt nur die aussage: Bestimme die Gleichung der Tangente an f(x)= 1/3x³-2x² in x0= 2
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Die Angaben reichen auch aus, aber wir brauchen trotzdem noch:

Zitat:
Original von Iorek
Wie sieht denn allgemein die Gleichung der gesuchten Tangente aus, was für eine Art von Funktion ist das?
Tanja0103 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich glaube, dass es eine ganzrationale Funktion ist.
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Das stimmt zwar, bringt uns aber gerade nur bedingt weiter. Die Tangente ist eine ganz spezielle, ganzrationale Funktion, nämlich eine...

Davon solltest du zuerst einmal die allgemeine Form aufstellen, danach können wir die Ableitung der Funktion zu Rate ziehen.
 
 
Tanja0103 Auf diesen Beitrag antworten »

meinst du die Formel t(x)= mx+b ?
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Genau die mein ich. smile

Wir haben jetzt:
- die Funktion
- den Punkt
- die Tangentengleichung , hier müssen wir das und das bestimmen

Jetzt kommt die Ableitung ins Spiel, was sagt die Ableitung aus? Können wir das bei der Aufgabe nutzen?
Tanja0103 Auf diesen Beitrag antworten »

gut ; ) also soweit ich weiß, bestimmt die erste Ableitung die Tangentensteigung und das m steht ja für die Steigung
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Ganz genau. Da wir wissen, an welchem Punkt wir die Tangente anlegen sollen, können wir mit der Ableitung also ganz schnell die Steigung ausrechnen. smile
Tanja0103 Auf diesen Beitrag antworten »

und die erste Ableitung heißt: f'(x)= x²-4x
ist das so richtig?
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das ist die erste Ableitung.
Tanja0103 Auf diesen Beitrag antworten »

und wie gehe ich nun weiter vor? Denn nun weiß ich nicht mehr, was ich machen muss. Was ich in einem Video gesehen habe ist, dass ich x0= 2 in die Funktion einsetzen muss und eine Ableitung bilden muss.
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Die Ableitung gibt die Steigung der Funktion allgemein an der Stelle an. Wir wollen die Steigung speziell an der Stelle bestimmen. Da sollte sich doch was mit machen lassen. smile
Tanja0103 Auf diesen Beitrag antworten »

mhh vllt f(2)= 1/3*2³-2*2²
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Warum denn die Ausgangsfunktion? verwirrt

Die erste Ableitung gibt doch die Steigung an, setz die 2 mal da ein. Augenzwinkern
Tanja0103 Auf diesen Beitrag antworten »

ah, dann wäre es ja f(2)= 2²-4*2
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du noch einen Strich an das f machst, wäre das so in Ordnung.

Damit haben wir direkt die Steigung der gesuchten Tangente ermittelt, jetzt fehlt nur noch das . Wie könnte man das nun bestimmen?
Tanja0103 Auf diesen Beitrag antworten »

mh, vllt könnte man die bis jetzt errechneten Punkte in die Funktion einsetzen aber dafür bräuchte ich doch ein y-wert oder?
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Dann berechnen wir den doch einfach. smile

Wir haben den Punkt , jetzt kannst du die 2 in die Ausgangsfunktion einsetzen.
Tanja0103 Auf diesen Beitrag antworten »

f(2)= 1/3*2³-2*2²
und als Ergebnis hätte ich dann -16/3
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Damit haben wir nun die Steigung und einen Punkt, der auf der Tangenten liegt. Damit lässt sich jetzt das berechnen. smile
Tanja0103 Auf diesen Beitrag antworten »

also muss ich dann die x0= 2 in der Formel als x einsetzen oder?
-16/3= -4*2+b
-16/3= -8+b
8/3= b

f(x)= -4x+8/3 ?
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Wir hatten es eben genannt, da sollten wir auch bei bleiben. Augenzwinkern

Ansonsten sieht das doch ganz gut aus, damit ist die Tangente bestimmt.
Tanja0103 Auf diesen Beitrag antworten »

ok vielen dank für die Hilfe smile Hat mir echt weitergeholfen. Jetzt muss ich das Verfahren nur noch ein wenig üben und dann klappt das schon. Nochmal vielen Danke smile
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