Euler-Winkel bestimmen

22.02.2012, 16:22	Tai	Auf diesen Beitrag antworten »
Euler-Winkel bestimmen Hallo! Also Situation ist folgende, ich habe zwei Koordinatensysteme. Koordinatensystem 1 definiere ich als mein Bezugskoordinatensystem und an Hand einer Rotationsmatrize und den Eulerwinkeln möchte ich rausbekommen wie groß die Drehwinkel sind, damit ich auf Koordinatensystem 2 komme. Wenn die Rotationsmatrix so definiert ist: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix}\cos\Psi\cos\Phi - \cos\Theta\sin\Phi\sin\Psi & -\sin\Psi\cos\Phi - \cos\Theta\sin\Phi\cos\Psi & \sin\Theta\sin\Phi\\\cos\Psi\sin\Phi + \cos\Theta\cos\Phi\sin\Psi & -\sin\Psi\sin\Phi + \cos\Theta\cos\Phi\cos\Psi & -\sin\Theta\cos\Phi\\\sin\Psi\sin\Theta & \cos\Psi\sin\Theta & \cos\Theta\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und ich meine gesuchten alpha, beta und gamma bestimme ich ja dann z.B. über: alpha=-atan(Rot(2,3)/Rot(3,3)*pi/180° Ich steh jetzt irgendwie auf dem Schlauch...wenn ich alpha, beta und gamma erst berechnen will, woher nehm ich dann die Winkel in der Rotationsmatrix??? Vielen Dank für die Hilfe!!
23.02.2012, 14:39	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn man ein Koordinatensystem (also einen starren Körper) verdreht, benötigt man 3 Winkel, um dies eindeutig zu beschreiben. Die Wahl dieser Drehwinkel ist aber keineswegs eindeutig. In der Kreiseltheorie benutzt man die sog. Eulerschen Winkel, weil dann das Differenzialgleichungsystem zur Lösung des Kreiselproblems die einfachste Gestalt bekommt. Wesentlich ist, dass sich die Eulerschen Winkel NICHT auf ein äußeres, ruhendes Koordinatensystem beziehen, wie du vermutest (Das wäre aber möglich.). Die Definition der Eulerschen Winkel ist wie folgt (Siehe WIKIPEDIA): ----------------------- 1.Schritt Zuerst dreht man das Koordinatensystem um den Winkel $\begin{eqnarray} \Psi \end{eqnarray}$ um die z-Achse des ruhenden Koordinatensystems. Bis hier ist noch alles klar. 2.Schritt: Jetzt dreht man das System um einen Winkel $\begin{eqnarray} \theta \end{eqnarray}$ um die y-Achse des gedrehten Systems (also um die neue y-Achse, nicht um die alte y-Achse des ruhenden Systems). 3.Schritt. Zuletzt dreht man den Körper um einen Winkel $\begin{eqnarray} \Phi \end{eqnarray}$ um die neue z-Achse des gedrehten Systems. ----------------------- Angenommen du hast eine numerische Drehmatrix gegegeben und willst die Eulerschen Winkel haben. Dann kannst du aus dem Matrixelement $\begin{eqnarray} D_{33}=\cos(\theta) \end{eqnarray}$ den Winkel $\begin{eqnarray} \theta \end{eqnarray}$ sofort ablesen. Damit bekommt man den Winkel $\begin{eqnarray} \Psi \end{eqnarray}$ aus dem Matrixelement $\begin{eqnarray} D_{32}=\cos(\psi)\sin(\theta) \end{eqnarray}$ und am Ende den Winkel $\begin{eqnarray} \phi \end{eqnarray}$ aus dem Matrixelement $\begin{eqnarray} D_{23}=-\sin(\theta)\cos(\phi) \end{eqnarray}$ .

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