warum stokes?

22.02.2012, 19:52

taugenix

warum stokes?

Nabend,
habe verständnisprobleme bei der Aufgabe im Anhang.

Aufgabe a) und b) waren schnell gemacht.
für die Parametrisierung erhält man:
$\begin{eqnarray*} \Psi : \left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2} \right] \to \mathbb R^{3} : \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (u,v) \to (\frac{u+v}{2},\frac{u-v}{2},cos(v)) \end{eqnarray*}$

Aufgabe c bereitet mir jedoch schwierigkeiten.
Ich kann zwar natürlich die Randkurve von S in 4 Teilstücke zerlegen und die Wegintegrale berechnen, das kostet in einer Prüfung jedoch zu viel Zeit.
In der Musterlösung steht,dass hier der Satz v. Stokes benutzt werden darf.
Das kann ich zwar machen, ch verstehe aber nicht wieso das erlaubt ist.
Im Skript steht bei uns (Satz v. Stokes).

$\begin{eqnarray*} \int_S <f|ds>=\int_S <rot(f)|n_S> |dS|=\int_S <rot(f)|dS> \end{eqnarray*}$
und das Integral in der Aufgabe:
$\begin{eqnarray*} \int_{\delta S} G(x,y,z) d(x,y,z) \end{eqnarray*}$
Leider erkenne ich das in der Definition nicht wieder (dank der uneinheitlichkeit der notation unserer Mathe-Profs,was dieses Semester meistens der Grund für Verwirrung war).
Viel eher würde ich hier noch zum Satz v. Gauss greifen.
Der ist bei uns nämlich definiert als:
$\begin{eqnarray*} \int_{\delta D}<f|dS>=\int_D div(f(x))dx \end{eqnarray*}$

Was aber falsch wäre.
Deswegen meine Frage:
Was genau ist d(x,y,z)? und ist es dasselbe wie dxdydz?
Aus der Lösung schließe ich d(x,y,z)=ds, also ein Wegelement.
Aber warum kein Volumenelement? Es sind doch 3 variablen.Wozu braucht ein Wegelement 3 variablen?
edit: bzw. wie unterscheide ich ein Volumenintegral von einem gewöhnlichen Kurvenintegral?

23.02.2012, 10:56

Ehos

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Die Randkurve der Fläche liegt in der 12-Ebene. Deshalb spielt die 3-Komponente des G-Feldes keine Rolle und du benötigst davon nur den 12-Anteil, also

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} G_1 \\ G_2 \\ G_3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ x_3(x_1-x_2) \\ x_1-x_2 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 0 \\ x_3(x_1-x_2)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} G_1 \\ G_2\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Damit reduziert sich der Stokeschen Satz auf folgende Formel, die man mitunter als "Satz von Green" bezeichnet (Guck' mal bei WIKIPEDIA)

$\begin{eqnarray*} \oint \! G_1 dx_1+G_2 dx_2 =\int \int \! \tfrac{\partial G_2}{\partial x_1}-\tfrac{\partial G_1}{\partial x_2}\,\,dx_1dx_2 \end{eqnarray*}$

In deiner Aufgabe ist also speziell $\begin{eqnarray*} G_1=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} G_2=x_3(x_1-x_2) \end{eqnarray*}$ . Da der Rand (=Quadrat) in der 12-Ebene liegt gilt dort $\begin{eqnarray*} x_3=0 \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} G_1=G_2=0 \end{eqnarray*}$ , so dass das Wegintegral verschwindet. Damit ist die Aufgabe erledigt.

Zur Probe berechnen wir auch das Flächenintegral, wo im Integranden offenbar gilt $\begin{eqnarray*} \tfrac{\partial G_1}{\partial x_2}=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \tfrac{\partial G_2}{\partial x_1}=x_3 \end{eqnarray*}$ . Setzt man dies auf der rechten Seite in das Flächenintegral ein, bleibt $\begin{eqnarray*} \int \int \! x_3\,\,dx_1dx_2 \end{eqnarray*}$ . Da die Fläche in der 12-Ebene liegt, verschwindet dort ebenfalls der Integrand $\begin{eqnarray*} x_3=0 \end{eqnarray*}$ , so dass auch das Flächenintegral verschwindet.

23.02.2012, 19:29

taugenix

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ich glaube ich versteh's.
Zwar nicht 100% aber die idee. Ich komm wohl nicht drum rum mich in die theorie einzulesen.
Danke für die Antwort smile

27.02.2012, 14:51

Fragen über Fragen

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Aber S ist doch eine geschlossene Oberfläche.
Dass keine Angabe darüber gemacht wird, über welche geschlossene Kurve auf S genau integriert wird, lässt schon vermuten, dass das Integral von G über alle geschlossene Kurven auf S 0 ergibt. Allerdings reicht es dann nicht, dies nur für den Rand des Quadrates zu beweisen, oder?

(und wenn ich das richtig sehe, verschwindet rot(G) nicht, sodass man nicht von vornherein sagen kann, dass jedes geschlossene Kurvenintegral verschwindet)

27.02.2012, 18:09

NurGast

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Zitat:

Original von Ehos
Die Randkurve der Fläche liegt in der 12-Ebene.

wirklich?

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