Instabilität zeigen

22.02.2012, 20:30	bluesky86	Auf diesen Beitrag antworten »
Instabilität zeigen Meine Frage: Zu zeigen ist, dass folgender Algorithmus zur Berechnung von $\begin{eqnarray} f(x) = x - \sqrt{x^2-1} \end{eqnarray}$ für x >> 1 instabil ist und zwar mithilfe der relativen Konditionszahlen des Algorithmus. $\begin{eqnarray} y_1 = x^2-1 \\<br /> y_2 = \sqrt{y_1} \\<br /> y_3 = f(x) = x - y_2 \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Ich gehe davon aus, dass die Instabilät in Zusammenhang mit der Auslöschung steht, die im letzten Schritt auftritt. Ich bin mir aber nicht sicher wie ich das zeige und was nun mit relativen Konditionszahlen des Algorithmus gemeint ist. Wenn ich die relative Kondition von $\begin{eqnarray} y_3 \end{eqnarray}$ nach der Formel $\begin{eqnarray} \tau = xf'(x)/f(x) \end{eqnarray}$ berechne und für y $\begin{eqnarray} \sqrt{x^2-1} \end{eqnarray}$ , erhalte ich $\begin{eqnarray} \tau = \frac {x + y}{ x - y} = \frac{x + \sqrt{x^2-1}}{x - \sqrt{x^2-1}} \end{eqnarray}$ , was für x >> 1 sehr groß wird. Andererseits ist schlecht konditioniert ja nicht zwingend instabil. Oder kann ich sagen, wenn ein Teilschritt des Algorithmus schlecht konditioniert ist, obwohl das Problem an sich gut konditioniert ist, dann ist der gesamte Algorithmus instabil, auch wenn der schlecht konditionierte Teilschritt alleine stabil wäre? Außerdem lese ich immer wieder etwas von $\begin{eqnarray} h_1 = f_3 \circ f_2 \\ Dh_1 = Df_3(f_2)* Df_2 \end{eqnarray}$ ... Es heisst, $\begin{eqnarray} Dh_i \end{eqnarray}$ wäre der Faktor um den der Fehler $\begin{eqnarray} \epsilon_i \end{eqnarray}$ in das Endresultat eingeht und wenn einer dieser Faktoren >>1 ist, dann ist der Algorithmus instabil. Was sind nun die relativen Konditionszahlen des Algorithmus? Und was die $\begin{eqnarray} Dh_i \end{eqnarray}$ ? und wie kann ich die Instabilität mit den $\begin{eqnarray} Dh_i \end{eqnarray}$ zeigen? Ich bin mir gar nicht sicher, ob ich das richtig gemacht habe, aber ich habe versucht die $\begin{eqnarray} Dh_i \end{eqnarray}$ zu ermitteln: $\begin{eqnarray} f_1 (x) = (x,x^2-1) \\<br /> f_2 (u,v) = (u, \sqrt{v}) \\<br /> f_3 (z,y) = z-y \\<br /> (h_0 = x-\sqrt{x^2-1})\\<br /> h_1 = z-\sqrt{v} \\<br /> h_2 = z-y \\<br /> Dh_1= (1,-1)* <br /> \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & \frac{1}{2\sqrt{v}} \end{pmatrix}<br /> = (1, -\frac{1}{2\sqrt{x^2-1}}) \\<br /> Dh_2 = (1, -1) \\<br /> (Dh_0 = (1,-1)<br /> \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & \frac{1}{2\sqrt{x^2-1}} \end{pmatrix}(1,2x)^T)= 1- \frac {x} {\sqrt{x^2-1}} \end{eqnarray}$ In meinem Skript steht, dass der Algorithmus instabil ist, wenn die Elemente von $\begin{eqnarray} Dh_i \end{eqnarray}$ groß sind im Vergleich zu f'(x). Groß ist hier ja nur 2x in $\begin{eqnarray} Dh_0 \end{eqnarray}$ , oder? Und $\begin{eqnarray} Dh_0 \end{eqnarray*}$ taucht gar nicht so richtig auf in meinem Skript. Ich würde mich sehr freuen, wenn jemand Licht ins Dunkel bringen könnte..! Vielen Dank schonmal Liebe Grüße

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