Kern bestimmen

22.02.2012, 20:41

Cheftheoretiker

Auf diesen Beitrag antworten »

Kern bestimmen

Hallo,

ich habe noch eine Aufgabe in der ich den Kern bestimmen muss.

$\begin{eqnarray*} f_4: V_2\rightarrow\mathbb R^4 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a_x^2+a_1x+a_0\mapsto \begin{pmatrix} a_2 -a_1 \\ a_1-a_2 \\2a_0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} Kern(f)=\{v\in V|f(v)=0\}=\{a_2x^2+a_1x+a_0\in V_2|\begin{pmatrix} a_2 -a_1 \\ a_1-a_2 \\2a_0\end{pmatrix}=0\} \end{eqnarray*}$

Wie gehe ich denn nun weiter vor? unglücklich

unglücklich

22.02.2012, 21:00

Helferlein

Auf diesen Beitrag antworten »

Überleg Dir, welche Bedingung Du an $\begin{eqnarray*} a_o, a_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a_2 \end{eqnarray*}$ stellen musst, damit rechts der Nullvektor rauskommt.

22.02.2012, 21:02

Cheftheoretiker

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} a_2=a_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a_0=0 \end{eqnarray*}$ meinst du das eventuell so?

22.02.2012, 21:04

Helferlein

Auf diesen Beitrag antworten »

Richtig.
Wie lauten dann also die zugehörigen Funktionen?

22.02.2012, 21:07

Cheftheoretiker

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} a_2x^2+a_2x \mapsto \begin{pmatrix} a_2 -a_1 \\ a_1-a_2\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

So? verwirrt

verwirrt

22.02.2012, 21:09

Helferlein

Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, die zugehörigen Funktionen sind $\begin{eqnarray*} a_2x²+a_2x \end{eqnarray*}$ und bilden den gesuchten kern.

Falls Du noch eine Basis angeben willst, dann wähle einen Wert $\begin{eqnarray*} a_2\neq0 \end{eqnarray*}$

Anzeige

22.02.2012, 21:11

Cheftheoretiker

Auf diesen Beitrag antworten »

Mal eine doofe Frage, was gibt mir eigentlich der Kern an? Ich weiß nur das es ein Untervektorraum von V ist. verwirrt

verwirrt

22.02.2012, 21:16

Helferlein

Auf diesen Beitrag antworten »

Der kern ist die Menge von Urbildern, die durch die Funktion auf den Nullvektor abgebildet werden. Man kann zeigen, dass diese Menge einen Unterraum bildet, wie Du ja auch schon geschrieben hast.

Außerdem ist der kern extrem hilfreich bei der Entscheidung, ob eine lineare Funktion injektiv ist.

22.02.2012, 21:19

Cheftheoretiker

Auf diesen Beitrag antworten »

Okay,

ich soll nun auch noch den Rang bestimmen.

$\begin{eqnarray*} Rang(f)=dim(Bild(f)) \end{eqnarray*}$

Ich muss also als erstes das Bild bestimmen was folgendermaßen definiert ist,

$\begin{eqnarray*} Bild(f)=L(f(b_1),...,f(b_n)) \end{eqnarray*}$

Nun frage ich mich allerdings, was sind denn Basiselemente der linearen Abbildung? unglücklich

unglücklich

22.02.2012, 21:31

Helferlein

Auf diesen Beitrag antworten »

Hattet ihr den Dimensionssatz für lineare Abbildungen noch nicht?

btw: Geht die Abbildung nach $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^3 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^4 \end{eqnarray*}$ ? Das Bild, das Du angegeben hast ist ja aus dem $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^3 \end{eqnarray*}$

22.02.2012, 21:36

Cheftheoretiker

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Hattet ihr den Dimensionssatz für lineare Abbildungen noch nicht?

Ne, ich bin Schüler! Big Laugh

Big Laugh

Die Abbildung geht in den $\begin{eqnarray*} \mathbb R^4 \end{eqnarray*}$

verwirrt

verwirrt

22.02.2012, 22:43

Helferlein

Auf diesen Beitrag antworten »

Dann hast Du irgendetwas in der Aufgabe unterschlagen, denn den Bildvektor hat nur drei Koordinaten.

Bzgl. der Basis solltest Du Dir überlegen, wieviele linear unabhängige Funktionen du benötigst, um alle Poynome 2.Grades zu erzeugen. Wenn Du diese abbildest, hast Du ein Erzeugendensystem des Bildraums aus der Du dann eine Basis erstellen kannst.

23.02.2012, 19:22

Cheftheoretiker

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich werde morgen oder am Samstag an der Aufgabe weiter machen. smile

smile

26.02.2012, 00:09

Cheftheoretiker

Auf diesen Beitrag antworten »

Mal noch eine Frage eingeschmissen, wenn ich den Kern bestimmen will, kann ich doch rein Formal auch die lineare Abbildung in eine Matrix umschreiben da ja lineare Abbildungen und Matrizen Isomorph sind. Erleichtert das nicht meist das Vorgehen? verwirrt

verwirrt

26.02.2012, 00:20

Mulder

Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, lineare Abbildungen können, sofern Basen vorgegeben sind, durch eine Abbildungsmatrix beschrieben werden. Der Kern der Abbildung ist dann die Lösungsmenge

$\begin{eqnarray*} A x = 0 \end{eqnarray*}$

Was letztlich auch einfach ein LGS ist.

PS: "Isomorphie" ist ein etwas unpassender Begriff. Eine Abbildung und die zugehörige Abbildungsmatrix bezeichnet man nicht als isomorph, das geht an der Begriffsbedeutung vorbei. Schlag den Begriff vielleicht nochmal nach.

Wenn man diese Matrix zunächst nicht gegeben hat (wie bei deiner Aufgabe oben), muss man sie ja erstmal suchen. Ob man sich das Leben damit vereinfacht...

26.02.2012, 00:28

Cheftheoretiker

Auf diesen Beitrag antworten »

Klappt das denn nicht immer mit der Standardbasis? verwirrt

verwirrt

26.02.2012, 01:54

Helferlein

Auf diesen Beitrag antworten »

Um eine entsprechende Matrix zu erhalten, müsstest Du Dir eine Basis des $\begin{eqnarray*} V_2 \end{eqnarray*}$ nehmen und diese mit f abbilden. Die Koordinatenvektoren der Bilder bzgl. einer Basis des $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^4 \end{eqnarray*}$ sind dann die Spalten der Matrix.

Für die weitere Bearbeitung ist es aber immer noch unabdingbar zu wissen, wie diese Abbildung in den $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^4 \end{eqnarray*}$ gehen soll, wenn der Bildvektor nur drei Koordinaten hat. Technisch ist das nicht möglich.

26.02.2012, 02:27

Mulder

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Kern bestimmen
Ein Punkt, der trotz mittlerweile mehrfachen Hinweisens übergangen worden ist.

Zitat:

Original von hangman
ich habe noch eine Aufgabe in der ich den Kern bestimmen muss.

$\begin{eqnarray*} f_4: V_2\rightarrow\mathbb R^4 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a_x^2+a_1x+a_0\mapsto \begin{pmatrix} a_2 -a_1 \\ a_1-a_2 \\2a_0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

@hangman: Der Bildvektor hat drei Koordinaten - wie genau willst du das mit dem R^4 identifizieren?

Klär das bitte!

Edit: Jetzt hatte ich den letzten Beitrag überlesen.

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »