Extremwertaufgabe Dachfläche

22.02.2012, 22:08

spargel

Auf diesen Beitrag antworten »

Extremwertaufgabe Dachfläche

Meine Frage:
Bei meiner Aufgabe handelt es sich um ein Kegelförmiges Dach das einen Rauminhalt von 25m³ besitzt.Nun ist gefragt welcher Neigungswinkel gewählt werden muss damit die zu deckende Fläche minimal wird und wie groß schlussendlich die minimierte Fläche ist

Meine Ideen:
Ich sitze bereits ziemlich lange an dieser Aufgabe und komme nicht weiter, mein Lehrer hat mir zwar ein paar richtungsweisende Ansätze gegeben dennoch haben sie mich leider nicht wirklich weitergebracht

Meine Zielfunktion die minimal werden soll ist die Mantelfläche des Kegels

$\begin{eqnarray*} M=r*pi *s \end{eqnarray*}$
... durch den Pytagoras bekomme ich das nervige s weg und die Formel lautet dann

$\begin{eqnarray*} M=r*\pi *\sqrt{h²+r²} \end{eqnarray*}$

Die Nebenbedingung (Volumen des Kegels)

$\begin{eqnarray*} \frac{r²*\pi *h}{3} =25m³ \end{eqnarray*}$

ich löse nach h auf

$\begin{eqnarray*} h=\frac{75}{r²\pi} \end{eqnarray*}$

und setzte es in die Zielfunktion ein die ziemlich verdächtig danach aussieht falsch zu sein

$\begin{eqnarray*} r*\pi *\sqrt{(\frac{75}{r²\pi } )²+r²} \end{eqnarray*}$

edit: Habe Latex-Klammern eingefügt.
LG sulo

22.02.2012, 22:14

sulo

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Extremwertaufgabe
Sieht alles gut aus. Freude

Freude

23.02.2012, 11:56

Sekh

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Extremwertaufgabe
@ sulo vielen vielen Dank smile

smile

Aber wie geht es nun weiter ... ich leite diese Funktion ab mithilfe der Produktregel. Die erste Ableitung setze ich gleich Null und löse nach dem r auf : )
abgeleitet würde es bei mir wie folgt aussehen

$\begin{eqnarray*} \pi r*\frac{1}{2*\sqrt{(\frac{75}{\pi r²})²+r² } } +\pi *\sqrt{(\frac{75}{\pi r²} )²+r²} \end{eqnarray*}$

aber hier komme ich auch nicht weiter da ich keine Ahnung habe wie ich hier das r heraushohlen soll verwirrt

verwirrt

verwirrt

23.02.2012, 13:03

sulo

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Extremwertaufgabe
Deine Ableitung ist nicht ganz richtig: Es fehlt noch die innere Ableitung beim ersten Summanden.
Auf diese Weise bekommst du auch in Minus in die Gleichung, welches du brauchst, um einen positiven Radius errechnen zu können. Augenzwinkern

Augenzwinkern

smile

23.02.2012, 18:35

Sekh

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Extremwertaufgabe
Ich muss zugeben ich bin ein bisschen eingerostet was das Ableiten betrifft Hammer

Hammer

stimmt meine Vermutung, dass ich zweimal die Kettenregel anwenden muss?

23.02.2012, 18:37

sulo

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Extremwertaufgabe
Hmm, einmal die Produktregel, einmal die Kettenregel, daher ja auch die innere Ableitung. Für die innere Ableitung brauchst du keine Kettenregel.

smile

smile

Anzeige

23.02.2012, 19:03

Sekh

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Extremwertaufgabe
hier nochmal gerechnet : )

$\begin{eqnarray*} \pi r*\frac{1}{2*\sqrt{(\frac{75}{\pi r²} )²+r²} }* (2*(\frac{75}{\pi r²} )*(-\frac{150}{\pi r³} )+2r)+\pi *\sqrt{(\frac{75}{\pi r²} )²+r²} \end{eqnarray*}$

sehen Sie an welcher stelle ich die Kettenregel nochmal angewandt habe?

23.02.2012, 19:15

sulo

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Extremwertaufgabe

Zitat:

Original von Sekh
$\begin{eqnarray*} \pi r*\frac{1}{2*\sqrt{(\frac{75}{\pi r²} )²+r²} }* \color{red}(2*(\frac{75}{\pi r²} )*(-\frac{150}{\pi r³} )+2r) \color{black}+\pi *\sqrt{(\frac{75}{\pi r²} )²+r²} \end{eqnarray*}$

Hmm, das Rote stimmt nicht so ganz...

Bei der Ableitung von $\begin{eqnarray*} ~(\frac {75}{\pi r^ 2})^2 \end{eqnarray*}$ brauchst du keine Kettenregel anzuwenden.

Du kannst den Bruch auch als $\begin{eqnarray*} ~(\frac {5625}{\pi^ 2})*r^{-4} \end{eqnarray*}$ schreiben. Augenzwinkern

Augenzwinkern

PS: Wir duzen uns hier im Board. smile

smile

23.02.2012, 19:33

Sekh

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Extremwertaufgabe
Ich habe mir schon sowas gedacht mir r^-4 aber die negative Potenz war dann letzten endes doch zu abschreckend xD

Hm aber ganz theoretisch wäre es möglich $\begin{eqnarray*} (\frac{75}{\pi r²})² \end{eqnarray*}$ mit Kettenregel zu rechnen?

Das endgültige Abgeleitete Ergebnis lautet schlussendlich dann

$\begin{eqnarray*} \pi r*\frac{1}{2*\sqrt{(\frac{75}{\pi r²})²+r² }} *((\frac{5625}{\pi ²})*r^{-4}+2r) \end{eqnarray*}$ ... usw

smile

smile

23.02.2012, 19:39

sulo

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Extremwertaufgabe
Nein, denn du hast $\begin{eqnarray*} ~(\frac {5625}{\pi^ 2})*r^{-4} \end{eqnarray*}$ nicht abgeleitet. Augenzwinkern

Augenzwinkern

23.02.2012, 19:43

Sekh

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Extremwertaufgabe
aber jetzt smile

smile

$\begin{eqnarray*} \pi r*\frac{1}{2*\sqrt{(\frac{75}{\pi r²})²+r² }} *(-4(\frac{5625}{\pi ²})*r^{-5}+2r) \end{eqnarray*}$

23.02.2012, 19:49

sulo

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Extremwertaufgabe
Dann mal das Ganze vollständig:

$\begin{eqnarray*} M'(r)=\pi r*\frac{1}{2*\sqrt{(\frac{75}{\pi r²} )²+r²} }* (-4(\frac{5625}{\pi ²})*r^{-5}+2r)+\pi *\sqrt{(\frac{75}{\pi r²} )²+r²} \end{eqnarray*}$

Und jetzt? smile

smile

23.02.2012, 19:54

Sekh

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Extremwertaufgabe
und jetzt muss das ganze nach r aufgelöst werden smile

smile

.. ich mache das lieber morgen wenn der kopf wieder klar denken kann und poste das ergebnis dann hier fröhlich

fröhlich

Aber schonmal vielen vielen Dank für die Geduld für die Hilfe smile

smile

23.02.2012, 19:58

sulo

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Extremwertaufgabe
Fein, dann machen wir morgen den Rest.

Die schlimmste Arbeit ist geschafft. smile

smile

Wink

23.02.2012, 20:04

Sekh

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Extremwertaufgabe
Und jetzt haben wir uns eine schöne Pause verdient smile

smile

Wink

25.02.2012, 18:10

Sekh

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Extremwertaufgabe
so ich habe versucht weiterzurechnen hier meine bisherigen rechenschritte

$\begin{eqnarray*} -\frac{22500\pi r}{2\sqrt{(\frac{75}{\pi r²} )²+r²}\ *\pi ²r^{5} }+\frac{2\pi r²}{2\sqrt{(\frac{75}{\pi r²} )²+r²}} +\pi\sqrt{(\frac{75}{\pi r²} )²+r²} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -\frac{11250}{\sqrt{(\frac{75}{\pi r²} )²+r²}*\pi *r^{4} } + \frac{\pi r²}{\sqrt{(\frac{75}{\pi r²} )²+r²}} +\pi \sqrt{(\frac{75}{\pi r²} )²+r²} \end{eqnarray*}$

und dann vielleicht die $\begin{eqnarray*} \sqrt{(\frac{75}{\pi r²} )²+r²} \end{eqnarray*}$ ausklammern?

25.02.2012, 18:17

sulo

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Extremwertaufgabe
Schade, dass du die Gleichung als Term schreibst. Siehst du nämlich nicht, wie du jetzt vereinfachen kannst: Multipliziere mit der Wurzel. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Dadurch verschwinden die Wurzel im Nenner und die im Zähler löst sich auf.

25.02.2012, 18:44

Sekh

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Extremwertaufgabe
das war mein erster Gedanke! Hammer

Hammer

25.02.2012, 18:46

sulo

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Extremwertaufgabe
Dann mach mal. Freude

Freude

Und schreibe das Ergebnis als Gleichung und nicht als Term auf. Augenzwinkern

Augenzwinkern

smile

25.02.2012, 18:58

Sekh

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Extremwertaufgabe
jawohl, jetzt habe ich sogar ein Ergebnis : )

und es lautet wie folgt

$\begin{eqnarray*} r=6\sqrt{\frac{5625}{(\pi ²+\pi )} } \end{eqnarray*}$

soll ich den Weg aufschreiben wie ich zu dieser Lösung gekommen bin?

edit:mir ist gerade aufgefallen das ich ein pi vergessen habe : /

hier das überarbeitete Ergebnis

$\begin{eqnarray*} r=6\sqrt{\frac{5625}{2\pi ²} } \end{eqnarray*}$

25.02.2012, 19:09

sulo

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Extremwertaufgabe
Hast du mal den Ausdruck berechnet? Dein Radius ist knapp einen Kilometer groß... Augenzwinkern

Augenzwinkern

25.02.2012, 19:17

Sekh

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Extremwertaufgabe
meinst du die Einheit?

edit: ich habe gerade die minimale Fläche des Kegelförmigen Daches ausgerechnet und mein Ergebnis stimmt jedenfalls mit der Lösung überein^^

25.02.2012, 19:23

sulo

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Extremwertaufgabe
Wir haben die Einheit Meter, da wurde ja nichts dran gedreht.

Ich meinte: $\begin{eqnarray*} r=6\sqrt{\frac{5625}{2\pi ²} } \approx 101,256 \end{eqnarray*}$

Hmm, davor hatte ich mit dem TR einen höheren Wert raus. Muss wohl die Klammer beim Dividieren vergessen haben. verwirrt

verwirrt

Dennoch: Der Radius ist deutlich kleiner als 101m.

Kannst du einen Zwischenschritt aufschreiben? smile

smile

25.02.2012, 19:39

Sekh

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Extremwertaufgabe
ok nachdem ich mit der wurzel multipliziert habe erhalte ich

$\begin{eqnarray*} -\frac{11250}{\pi r^{4} } + \pi r²+\frac{75²}{\pi r^{4} } +\pi r²=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -11250+\pi²r^{6} +75²+\pi²r^{6}=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2\pi ²r^{6}=11250-75² \end{eqnarray*}$

und dann das Ergebnis smile

smile

Das minimale Volumen lautetgerundet 36m² und mein Ergebnis lautet 35,81m²

25.02.2012, 19:43

sulo

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Extremwertaufgabe
Ahh, jetzt sehe ich, wie du es gemeint hast.

Nicht so: $\begin{eqnarray*} r=6\sqrt{\frac{5625}{2\pi ²} } \end{eqnarray*}$

Sondern so: $\begin{eqnarray*} r=\sqrt[6]{\frac{5625}{2\pi ²} } \end{eqnarray*}$

Und dann bekommst du auch den richtigen Radius heraus: r= 2,5653... m. Freude

Freude

smile

25.02.2012, 19:45

Sekh

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Extremwertaufgabe
edit: ich dachte das sei richtiggeschrieben ><

vielen vielen Danke für die Hilfe : )

25.02.2012, 19:49

sulo

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Extremwertaufgabe
Kein Problem, ist ja schon prima, dass du mit Latex arbeitest. Freude

Freude

Naja, wäre bei dieser Aufgabe auch kaum anders möglich gewesen... Augenzwinkern

Augenzwinkern

smile

25.02.2012, 19:51

Sekh

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Extremwertaufgabe
Ohne Latex wäre es viel zu kompliziert und mühselig geworden smile

smile

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »