Flussintegral durch Halbkugeloberfläche

23.02.2012, 11:58	florian199012	Auf diesen Beitrag antworten »
Flussintegral durch Halbkugeloberfläche Meine Frage: Hallo Leute, also ich habe ein Problem mit einem Flussintegrall durch eine Halbkugelschale. Folgendes ist in der Aufgabenstellung gegeben: $\begin{eqnarray} S= \left\{ (x,y,z)\in R^{3}\|x^{2}+y^{2}+z^{2}= 4, z\geq 0 \right\} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f(x,y,z)=(xe^{y},8y-e^{y},z-\frac{3}{2}) \end{eqnarray}$ Weiters wurde noch angegeben, dass die Fläche so orientiert ist, dass der Normalenvektor von inner nach außen zeigt. Gefragt wird nun nach dem Flussintegral über den Halbkugelrand: $\begin{eqnarray} \int \! <f\|n> \ \end{eqnarray}$ (Mit n ist der Normalenvektor gemeint) Meine Ideen: Mein Lösungsansatz war es das Integral mit dem Satz von Gauß umzustellen in ein Integral über das Halbkugelvolumen mit der div(f) = 9. Habe natürlich in Kugelkoordinaten transformiert und die Funktionaldeterminante hinzugefügt. $\begin{eqnarray} \int_0^2 \! \int_0^{2\pi} \! \int_0^{\pi/2} \! div(f)r^{2} \sin(\alpha) \, d\alpha \, d\beta \, dr \end{eqnarray}$ Nur komme ich mit meiner Methode auf 48Pi laut Lösung sollte aber 42Pi rauskommen ... MFG Florian
23.02.2012, 12:29	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Gaußscher Satz ist richtig. Wegen $\begin{eqnarray} div(\vec f)=9 \end{eqnarray}$ musst du das Integral $\begin{eqnarray} I=9\cdot \int \int \int dV \end{eqnarray}$ über die Halbkugel mit R=2 berechnen. Das ist das 9-fache des Volumens dieser Halbkugel. Da das Volumen der Halbkugel lautet $\begin{eqnarray} V=\tfrac{2}{3}R^3\pi \end{eqnarray}$ , komme ich auch auf $\begin{eqnarray} 9 \cdot \tfrac{2}{3} \cdot 2^3 \pi=48 \pi \end{eqnarray}$ .
23.02.2012, 13:27	florian1990013	Auf diesen Beitrag antworten »
Erstamls danke für die schnelle Antwort =) Was mich noch an meiner Lösung zum zweifeln bringt, ist das in der Lösung 42Pi steht und das ist immerhin die Musterlösung für die Klausur!! Naja ich hab nun meinen Professor eine Mail geschickt =)
23.02.2012, 14:26	EinGast	Auf diesen Beitrag antworten »
beachte den Fluss durch den Boden (das Integral der Divergenz ergibt ja den Fluss durch die gesamte Oberfläche)
23.02.2012, 14:37	florian1990014	Auf diesen Beitrag antworten »
jup des ist es xd =) 48-6 = 42 dankeschön

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