Hilfe zu 2Aufgaben! |
| 04.07.2004, 16:37 | Soulman | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Hilfe zu 2Aufgaben! Bräuchte mal kurz Hilfe zu 2Aufgaben. Bestimmen sie die wendepunkte: f(x)=(x-2)²-1 und f(x)=1/4x^4+3/2x²-1 |
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| 04.07.2004, 16:41 | Deakandy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Hilfe zu 2Aufgaben! ableiten................. |
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| 04.07.2004, 17:02 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Der Graph der ersten Funktion ist eine um 2 nach rechts und 1 nach unten verschobene Normalparabel. Da gibt es keine Wendepunkte. y=x² -> Quadratfunktion (Normalparabel) y=(x-2)² -> um 2 nach rechts verschoben y=f(x)=(x-2)²-1 -> um 1 nach unten verschoben |
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| 04.07.2004, 23:38 | qer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
schreib die zweite Funktion plz mal eindeutiger mit Klammern oder mit Mimetex sonst weiss wieder keiner was gemeint ist -.- |
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| 05.07.2004, 00:03 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hm, die herangehensweise wenn man extrema bestimmen will? Also erstens mal so wie Leopoldgesagt hat genauer hingucken was das für eine Funktion ist. Besonders in der Schule amcht man gern mal sone Fallen rein. Wie auch immer, wenn du zu dem schluss gekommen bist das ein Wendepunkt existiert (oder die Funktion zu komplex ist) isses immer dasselbe. erste und zweite Ableitung bilden. Erste ableitung = null setzen. Den wert den du bekommst in die zweite Ableitung einsetzen. Wenn die zweite ableitung von x dann 0 ist hast du nen Wendepunkt f(x) = ... f'(x) = 0 Umstellen und du bekommst (eventuel mehrere) eine Lösung die Lösung nenn ich im folgenden x' f''(x') = 0 => x' wendepunkt (wobei das nur die x koordinate ist) wenn du gezeigt hast das es ein wendepunkt ist musst du noch f(y) berechnen und du ahst die Koordinaten Es gibt noch eine spezielle art von wendepunkt den Sattelpunkt. wenn du einen wendepunkt gefunden hast kannst du noch folgendes überprüfen f'''(y) != 0 => (x',f(x')) ist Sattelpunkt |
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| 05.07.2004, 08:19 | grybl | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wenn bei einer Funktion die 1. und 2. Ableitung an einer Stelle 0 ist, dann handelt es sich um einen Sattelpunkt. Bedingung für einen Wendepunkt: f''(x)=0 und 
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| 05.07.2004, 11:14 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das stimmt nicht. Gegenbeispiel: f(x)=x^4 |
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| 05.07.2004, 15:43 | grybl | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ok. Ich lass mich überzeugen. Was sind denn dann die hinreichenden und notwendigen Bedingungen für einen Sattelpunkt? Mein Hinweis auf den Sattelpunkt sollte sich eigentlich nur auf folgende Aussage von Mazze beziehen und keine Definition desselben geben
denn so berechnet man sicherlich nicht den Wendepunkt. |
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| 05.07.2004, 15:54 | Poff | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
hinreichend ist z.B. f'=0, f''=0, f'''<>0 notwendig ist f'=0 und f''=0 
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| 05.07.2004, 16:01 | grybl | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das hätte ich auch geglaubt, doch Leopolds Beispiel spricht dagegegen, denn f'''(0)=0. 
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| 05.07.2004, 16:11 | Poff | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Leopold's Beispiel spricht nicht dagegen, denn y=x^4 hat keinen Sattelpunkt bei Null :-oo
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| 05.07.2004, 16:16 | grybl | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
eben. Das ist mir schon klar (dort ist ein Minimum), aber es widerspricht doch der hinreichenden Bedingung f'''<>0 oder?
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| 05.07.2004, 16:33 | Poff | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
wieso ?? f''' = 0 und damit ist die hinreichende Bedingung für einen Sattelpunkt nicht erfüllt. Was erstmal NUR heißt als dass es kein Sattelpunkt sein muss, aber evtl immer noch einer sein könnte.
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| 05.07.2004, 16:34 | BraiNFrosT | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Die nächste gerade (4te) Ableitung ist != 0 => Extremstelle. Wäre die 4te auch 0 und die 5te ungleich 0 wäre es ein Sattelpunkt. Glaube so haben wir es in der Schule gelernt ....
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| 05.07.2004, 17:35 | Poff | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
@grybl, f'''<>0 ist auch keine notwendige Bedingung für einen Sattelpunkt sieh nur, y=x^(2n+3) ......... n aus N die haben alle 'nen Sattelpunkt im Ursprung
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| 05.07.2004, 17:43 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Eine andere hinreichende Bedingung für einen Sattelpunkt bei x=a ist: f'(a)=0 f'(x) hat in einer punktierten Umgebung von a entweder stets nur positives oder stets nur negatives Vorzeichen. Damit geht es meist am schnellsten, vor allem, wenn man alle Nullstellen von f' schon kennt. |
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| 05.07.2004, 17:50 | grybl | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich versuche nun für mich aus meiner scheinbaren Verwirrtheit herauszukommen. :P :P :P :P Denke ich nun richtig: Eine Funktion hat an der Stelle a einen Sattelpunkt, wenn die 1. und 2. Ableitung 0 ist (hinreichend) und irgendeine folgende Ableitung ist und die darauffolgende Ableitung = 0 ist (notwendig). @Leopold: Finde ich einleuchtend. |
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| 05.07.2004, 17:54 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
f'(a)=f''(a)=0 ist notwendig, nicht hinreichend. |
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| 05.07.2004, 17:58 | grybl | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
wenn ich hinreichend durch notwendig und umgekehrt ersetze, stimmt es dann?? 
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| 05.07.2004, 17:59 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das mit der "darauffolgenden Ableitung" verstehe ich nicht. |
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| 05.07.2004, 18:05 | grybl | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
angenommen die 5. Ableitung <> 0, dann die 6. Ableitung = 0. |
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| 05.07.2004, 18:07 | Poff | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
ja ich denke dann stimmt es, was deine Post von leicht darüber angeht. Die darauffolgende Ableitung in dieser 2er Folge ist wohl gemeint, nur da bin ich mir nicht sicher ob das so sein muss ... Edit: mich nochmal korrigiere, habe deine Post oben nicht genau genug gelesen. So wie sie da steht ist sie auf jeden Fall nicht richtig.
nicht irgendeine, sondern die ERSTE von Null verschiedene eine solche ist und die vorherigen alle =0 waren. Das mit der Nachfolgenden ist falsch. |
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| 05.07.2004, 18:11 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
??? Ein Sattelpunkt ist doch nichts anderes als ein Wendepunkt mit Steigung 0. Bei vorliegenden Differenzierbarkeitsvoraussetzungen gilt daher: Für einen Sattelpunkt bei x=a sind notwendig (1) f'(a)=0 (2) f''(a)=0 Gilt zusätzlich (!) (3) Die erste bei a nicht verschwindende Ableitung ist von ungerader Ordnung so bilden (1),(2),(3) eine hinreichende Bedingung für einen Sattelpunkt. Gilt zusätzlich (!) (3') f'(x) hat in einer punktierten Umgebung von a entweder stets nur positives oder stets nur negatives Vorzeichen so bilden (1),(2),(3') ebenfalls eine hinreichende Bedingung für einen Sattelpunkt. Edit: Ja sogar (1),(3') sind hinreichend für einen Sattelpunkt. Beispiel: f(x)=x·|x| hat bei x=0 einen Sattelpunkt. (1),(3') sind erfüllt, daher Sattelpunkt. f''(0) existiert nicht! |
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| 05.07.2004, 18:23 | grybl | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Dass ein Sattelpunkt ein Wendpunkt mit Steigung 0 ist, ist mir natürlich klar. Bitte verzeiht, dass ich heute so begriffstützig bin bzw. so konfus ausdrücke, vielleicht liegt es an der Schwüle hier. :P :P
Ich fass noch einmal für mich zusammen und bitte um Korrektur, falls noch immer falsch. Für einen Sattelpunkt gelten praktisch alle Bedingungen wie für einen Wendepunkt plus zusätzlich 1. Ableitung=0. also: f'(a)=0, f''(a)=0, für k ungerade |
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| 05.07.2004, 18:27 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Die letzte Bedingung kannst du nicht so formulieren. Du mußt alle Ableitungen bei x=a berechnen, bis du zum ersten Mal einen von Null verschiedenen Wert errechnest. Findet dies bei einer ungeraden Ableitung statt, dann liegt ein Wendepunkt, also auch ein Sattelpunkt vor. |
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| 05.07.2004, 18:33 | grybl | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
und wenn ich die letzte Bedingung auf für k ungerade und erweitere, passt es dann? |
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| 05.07.2004, 18:37 | Poff | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
jetzt passt's |
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| 05.07.2004, 18:42 | grybl | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich danke euch für eure Geduld und eure Bemühungen.
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| 05.07.2004, 18:42 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
So könnte man es wohl schreiben, obwohl die Verwendung der Quantoren nicht ganz klar ist. Ganz korrekt müßte man wohl (genügend oft differenzierbar vorausgesetzt) sagen: Wenn ein ganzzahliges ungerades k>0 existiert mit für j<k dann befindet sich bei x=a ein Sattelpunkt. Und hier noch ein abschreckendes Beispiel. Die für alle reellen x durch definierte Funktion ist beliebig oft differenzierbar. Und alle Ableitungen bei 0 sind 0 (!!). f besitzt daher keine Taylorreihe um 0 (trotz bester Differenzierbarkeitsvoraussetzungen). |
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| 05.07.2004, 18:47 | grybl | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Mit dem abschreckenden Beispiel machst du mich nun ganz fertig. 
Glücklicherweise kommt sowas bei uns in der Schule nicht vor. 
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| 05.07.2004, 18:53 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Augenblick, ich zeichne einmal ein Bild! |
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| 05.07.2004, 18:57 | Poff | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Leopold, damit fällt dann doch auch die notwendige Bedingung von oben um ... y'=0, y''=0
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| 05.07.2004, 19:01 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
@ Poff Ich habe in der Einleitung schon genau formuliert: "bei vorliegenden Differenzierbarkeitsvoraussetzungen gilt daher" Wenn die zweite Ableitung existiert, dann verschwindet sie auch bei einem Sattelpunkt. Und hier das versprochene Bild. Ist sie nicht schön? So wohlgeformt und ursprungsglatt? |
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| 05.07.2004, 19:13 | grybl | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
@Leopold: Danke für den Graphen. Fertig macht mich nur, dass ich endlich formulieren konnte, was ein Sattelpunkt ist und dann gibts wieder andersartige Funktionen.
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| 05.07.2004, 19:14 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Tja, es ist eben hinreichend, aber nicht notwendig. |
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| 05.07.2004, 19:18 | grybl | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ja, genau.
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| 05.07.2004, 19:21 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich überlege mir gerade, ob man, wenn man bei meinem Graphen z.B. den linken Teil an der Abszissenachse spiegelt, man den Graphen einer beliebig oft differenzierbaren Funktion mit Sattelpunkt bei 0 erhält, wobei alle Ableitungen bei 0 verschwinden. Ich vermute fast, daß das stimmt. Edit: Ich hab's mir anders überlegt. Mein obiges f(x) multipliziere ich mit x. Dann bekomme ich den Graphen der Funktion g(x)=x·f(x). Und alle Ableitungen von g bei 0 sind 0. Trotzdem: Sattelpunkt! |
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| 05.07.2004, 19:33 | Ben Sisko | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Leopolds Graph ist auch bekannt als die "Cauchysche Badewanne".
Gruß vom Ben |
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| 05.07.2004, 19:36 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
@ Ben Sisko Die ist so eben. Fließt denn da das Wasser noch ab? Und wie heißt dann mein zweiter Graph? |
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| 05.07.2004, 20:16 | Ben Sisko | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Die Zweite steht dir wohl noch frei zu benennen, das hat vermutlich noch keiner getan. Das Wasser musst du eben ein bisschen schubsen...
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