Satz von Kronecker

23.02.2012, 19:09

aj1_0

Satz von Kronecker

hallo forum,

ich habe ein problem mit dem satz von kronecker
(der satz, der besagt, dass, wenn ich ein irreduzibles polynom in K[x] habe, dass dieses polynom in L dann mindestens eine nullstelle hat, wenn L/K die algebraische körpererweiterung ist)

und zwar habe ich die idee dahinter, denke ich, weitestgehend verstanden, mein problem tritt dann auf, wenn es darum geht, die nullstellen konkret zu berechnen.

zum beispiel heißt es ja, dass die nullstellen wie folgt aussehen:

$\begin{eqnarray*} \bar{x}=x + <f_1(x)> \end{eqnarray*}$

wobei f_1 irreuzibel ist.
ich möchte das konkret anwenden.

zum beispiel nehme ich $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(x)=x^5+x^3+1 \end{eqnarray*}$

ich habe auch die lösung dazu, nur ist mir ein schritt nicht klar.

es wird gesagt, dass $\begin{eqnarray*} \bar{x}=a \end{eqnarray*}$ die nullstelle sei. okay. f ist schon irreduzibel, also muss ich nichts mehr rausziehen. und jetzt wird in f x durch a ersetzt, heißt:

$\begin{eqnarray*} a^5+a^3+1 \end{eqnarray*}$ das wird umgeformt:

$\begin{eqnarray*} a^5+a^3+1= (a^5+a^3+1)^{2^n}= (a^{2^n})^5+(a^{2^n})^3+1 \end{eqnarray*}$

ich verstehe jetzt folgendes nicht:
warum wird diese umformung gemacht, also was soll das 2^n.
es wird dann gesagt, dass $\begin{eqnarray*} b_n :=a^{2^n} \end{eqnarray*}$ gesetzt wird und b_1, b_2,...,b_4 die nullstellen sind.

okay, warum genau sind das dann nullstellen?

also mein problem:
warum wird in der umfromung mit den a's das mit dem 2^n gemacht und wie wird dann gesehen, dass es sich dabei um die nullstellen handelt?

ich habe schonmal an forbenius gedacht aber komme einfach nicht weiter.

ich wäre sehr dankbar über hilfe von euch.

23.02.2012, 22:06

galoisseinbruder

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Hallo,

der Satz von Kronecker besagt etwas anderes:
Wenn du ein irreduzibles Polynom aus K[X] hast, dann gibt aus einen Körper L mit L/K algebraisch in dem dieses Polynom eine NST hat. Merke dass L i.A. nicht eindeutig ist, denn hat man ein solches L gefunden so hat jeder Körper der eine algebraische Erweiterung von L ist ebenfalls diese Eigenschaft.

Deine Ausführungen zur NST sind vollkommen richtig.
Die Umformung $\begin{eqnarray*} a^5+a^3+1= (a^5+a^3+1)^{2^n}= (a^{2^n})^5+(a^{2^n})^3+1 \end{eqnarray*}$ gilt da $\begin{eqnarray*} a^5+a^3+1=0 \end{eqnarray*}$ und dem Frobenius-Hom.
Was es nützt: Damit ist gezeigt, dass $\begin{eqnarray*} f(a^{2^n})=f(a)=0 \end{eqnarray*}$ .
Also: die $\begin{eqnarray*} b_i \end{eqnarray*}$ sind NST.

23.02.2012, 22:41

aj1_0

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vielen dank erst ma für die antwort.

ich habe noch eine frage dazu, bzw. hab es noch nicht ganz verstanden.

warum genau mache ich den schritt mit dem 2^n, dass ich es machen darf ist mir (jetzt) ersichtlich, aber warum mach ich das.
die begründung wird auf jeden fall was mit dem frobenius-hom. zu tun haben, also verstehe ich den wohl nicht richtig. ich hab den wiki-artikel dazu gelesen, hilft mir aber nicht weiter.

also warum der schritt mit dem 2^n, warum bekomm ich dann meine nullstellen und alles.
grüße

aj1_0

23.02.2012, 22:52

galoisseinbruder

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Warum das 2^n: Ganz einfach: weil´s funktioniert. Das ist leider oft so dass es für einen Lösungsansatz keine andere Begründung gibt.

Mir ist nicht klar was dir nicht klar ist. Ich versuchs mal.
Die ganze Umformung zeigt dass alle $\begin{eqnarray*} b_i \end{eqnarray*}$ Nullstellen von f sind. Da f maximal fünf NST hat sind $\begin{eqnarray*} a=b_0,b_1, \ldots , b_4 \end{eqnarray*}$ (wenn sie denn verschieden sind, was meines Erachtens noch zu zeigen wäre) alle NST von f. (Und dementsprechend gilt gibt es zu jedem n>4 ein $\begin{eqnarray*} 0\leq i\leq 4 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} b_n=b_i \end{eqnarray*}$ )

23.02.2012, 22:59

aj1_0

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aah, es wird so langsam, danke.
ich dachte, es gibt irgend eine konkrete begründung, dass frobenius an einer solchen stelle zwingend verwendet wird, also immer, und das war mir nicht klar. aber es scheint ja dann nur ein "trick" der halt gerade klappt zu sein. super, okay.

dass die a's verschieden sind, hab ich gezeigt, das geht in ordnung, ist ja dann nur ein umgeforme.

ich denke, ich habs so weit verstanden, danke, dass du dir die zeit genommen hast.
grüße
aj1_0

23.02.2012, 23:05

aj1_0

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sorry,
wo ich nochmal nachhaken wollte, ich kann leider nicht editieren, kronecker sagt ja, dass nur eine lösung sicher gefunden wird, heißt also, es hätte auch sein können, dass ich jetzt nicht darauf komme frobenius zu verwenden, bzw. mal gar nichts geht, weil es ja im satz auch gar nicht behauptet wird, ja?

also gibt es nur eine lösung immer sicher, die anderen, wenn man glück hat.

die eine lösung, die es sicher gibt, wäre dann die lösung
a^5+a^3+1
heißt also auch, die lösung ist immer das irreduzible polynom und vielleicht noch ein paar mehr, ja?!

oder darf ich a^5 jetzt gar nicht stehen lassen, weil ja eigentlich 1,a,a^2,...,a^4 die basis ist?
es gilt ja:
a^5=-a^3-1 bzw, weil in 2Z:
a^5=a^3+1
also ist die nullstelle bei

a^5+a^3+1 = a^3+1 + a^3+1 = 2a^3 + 2

ist es so richtig?

23.02.2012, 23:18

galoisseinbruder

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Zitat:

kronecker sagt ja, dass nur eine lösung sicher gefunden wird, heißt also, es hätte auch sein können, dass ich jetzt nicht darauf komme frobenius zu verwenden, bzw. mal gar nichts geht, weil es ja im satz auch gar nicht behauptet wird, ja? also gibt es nur eine lösung immer sicher, die anderen, wenn man glück hat.

Ja. Wobei dir das aber genausogut auch bei Körpern der charakteristik 0 passieren kann.
Bsp.: $\begin{eqnarray*} f=X^3-2\in \mathbb Q [X] , L=\mathbb Q (\sqrt[3]{2}) \end{eqnarray*}$

Zitat:

die eine lösung, die es sicher gibt, wäre dann die lösung a^5+a^3+1 heißt also auch, die lösung ist immer das irreduzible polynom und vielleicht noch ein paar mehr, ja?

Nein, a ist die NST von f=X^5+X^3+1 , a^5+a^3+1 ist schlicht 0.

Zitat:

oder darf ich a^5 jetzt gar nicht stehen lassen, weil ja eigentlich 1,a,a^2,...,a^4 die basis ist? es gilt ja:

Ich wüsste nicht wer dir verbieten sollte das hinzuschreiben.
Außerdem ist $\begin{eqnarray*} f(a)=a^5+a^3+1 \end{eqnarray*}$ und f(a) soll ja gerade ausgerechnet werden.

Zitat:

a^5+a^3+1 = a^3+1 + a^3+1 = 2a^3 + 2

Ja und das ganze ist natürlich 0 und bringt daher keine neuen Erkenntnisse. Und die Nullstelle von f ist nach wie vor bei a und nicht bei f(a).

23.02.2012, 23:38

aj1_0

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alles klar, danke nochmals.
mein letzter beitrag war vielleicht echt nicht d e r geistige erguss.
grüße

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