Basis des zugeh. Eigenraums mit Restklassenring berechnen

23.02.2012, 18:25	taschenrechner500	Auf diesen Beitrag antworten »
Basis des zugeh. Eigenraums mit Restklassenring berechnen Guten Tag, ich sitze gerade an folgender Aufgabe: Wir befinden uns im Z5 und haben folgende Matrix $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0 & 3 & 0 \\ 4 & 4 & 0 \\ 1 & 4 & 1 \end{pmatrix}=:A \end{eqnarray}$ Wie ich mit Restklassenringen arbeite, habe ich verstanden.Ich weiß auch, dass die Eigenwerte der Matrix $\begin{eqnarray} \lambda = 1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \lambda = 2 \end{eqnarray}$ sind. Berechne ich nun den Eigenraum folgender Matrix: $\begin{eqnarray} \Rightarrow Kern(A-\lambda In) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \lambda = 1 \Rightarrow Kern(A-2I) \end{eqnarray}$ Nach Gauß komme ich nach ein paar Schritten auf: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Wie sieht nun die Basis des Eigenraums aus? Wie soll der Nullvektor die Basis sein? Wenn ich das ganze für $\begin{eqnarray} \lambda = 3 \end{eqnarray}$ durchrechne, erhalte ich nach Gauß: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 4 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Das bedeutet ja: $\begin{eqnarray} x_{3} = 0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x_{1}+4x_{2} +x_{3} =0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow x_{1} + 4x_{2} \end{eqnarray}$ Ich würde mich über eine Antwort sehr freuen. Gruß taschenrechner500
23.02.2012, 18:29	galoisseinbruder	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, angenommen du hättest die reelle Matrix $\begin{eqnarray} A=\begin{pmatrix} 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und solltest die Lösungsmenge von Ax=0 bestimmen, wie würdest du vorgehen? Zwei Anmerkungen: -Der Nullvektor ist nie ein Basisvektor, da er nicht linear unabhängig von sich ist. -In diesem Körper hier ist 4=-1
23.02.2012, 18:38	taschenrechner500	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe doch da stehen, wenn ich Ax ausmultiplitziere: $\begin{eqnarray} 2x_{2} = 0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x_{1} = 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x_{3} \end{eqnarray}$ beliebig Wir befinden uns in Z5. Desshalb ist 2*0=0 und 0=0 x3 beliebig Basis= (0,0,x3) ????
23.02.2012, 18:48	galoisseinbruder	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Basis ist (0,0,1), x3 ist ja noch eine Variable. Und genauso gehts auch in Z5.
23.02.2012, 18:55	taschenrechner500	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank. Also ist in Z5 die Basis für Eigenwert 3: (2,3,0) , da x1-4x2=0 sein muss und 2-(4*3)=2-(2)=0 in Z5 ist Gruß
23.02.2012, 19:03	galoisseinbruder	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie kommst du denn von der Matrix $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 4 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ auf $\begin{eqnarray} x_1-4x_2=0 \end{eqnarray}$ ?
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23.02.2012, 21:06	taschenrechner500	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich glaube da hatte ich einen kleinen Fehler: Es gilt doch Ax=b => x3=0 und aus der letzten Zeile x1+4x2=0 Da in Z5 1+41=0 ist die Basis (1,1,0) richtig? Gruß
23.02.2012, 21:14	galoisseinbruder	Auf diesen Beitrag antworten »
Vollkommen einverstanden.
23.02.2012, 21:15	taschenrechner500	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank!

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