Konvergenz rekursive Folge. Ist das so korrekt?

23.02.2012, 21:01

bruno2

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Konvergenz rekursive Folge. Ist das so korrekt?

hi,

ich hab folgende rekursive folge, welche man auf konvergenz untersuchen soll:

$\begin{eqnarray*} b_{0} =6 \end{eqnarray*}$ ; $\begin{eqnarray*} b_{n+1} =\sqrt{2b_{n}+4 } -1 \end{eqnarray*}$

zuerst möchte ich zeigen, dass $\begin{eqnarray*} b_{n} \end{eqnarray*}$ monoton fallend ist:

$\begin{eqnarray*} b_{n} - b_{n+1} \geq 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b_{n} \geq b_{n+1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b_{n} \geq \sqrt{2b_{n}+4 } -1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b_{n}^2 +2b_{n}+1 \geq 2b_{n}+4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b_{n}^2 \geq 3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b_{n} \geq \pm \sqrt{3} \end{eqnarray*}$

so was mach ich denn jetzt? ich hab zwei ergebnisse dastehen: plus und minus wurzel aus drei.

23.02.2012, 21:03

Cheftheoretiker

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RE: konvergenz rekursive folge. ist das so korrekt?
Gibt es denn negative natürliche Zahlen? Augenzwinkern

Augenzwinkern

23.02.2012, 21:07

bruno2

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wow, danke für die prompte antwort.

meinst du damit, dass aus $\begin{eqnarray*} b_{n+1} =\sqrt{2b_{n} +4} -1 \end{eqnarray*}$ folgt, dass $\begin{eqnarray*} b_{n} \end{eqnarray*}$ positiv sein muss, da ja in der rekursionsvorschrift eine wurzel gezogen wird, und man keine wurzel aus einer negativen zahl (hier: $\begin{eqnarray*} -\sqrt{3} \end{eqnarray*}$ ) ziehen kann (im reelen)?

edit:rechtschreibfehler :P

23.02.2012, 21:14

Cheftheoretiker

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Ich meine damit das wenn $\begin{eqnarray*} b_n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ , dann gibt es nur die $\begin{eqnarray*} +\sqrt{3} \end{eqnarray*}$ als Lösung.

23.02.2012, 21:15

bruno2

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achso, stimmt ja. danke für den hinweis.

aber heißt das, dass meine argumentation falsch ist?

23.02.2012, 21:22

Cheftheoretiker

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Wie du ja bereits geschrieben hast, musst du zeigen das $\begin{eqnarray*} b_{n} \geq b_{n+1} \end{eqnarray*}$ gilt.

Du musst allerdings $\begin{eqnarray*} b_n \end{eqnarray*}$ auch angeben.

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23.02.2012, 21:23

bruno2

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aber $\begin{eqnarray*} b_{n} \end{eqnarray*}$ kenn ich ja bis jetzt noch nicht, oder?

ich hätte jetzt weiter gemacht mit der grenzwertberechnung und dem beweis der beschränktheit

23.02.2012, 21:31

speedyschmidt

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Zitat:

Original von hangman
Ich meine damit das wenn $\begin{eqnarray*} b_n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ , dann gibt es nur die $\begin{eqnarray*} +\sqrt{3} \end{eqnarray*}$ als Lösung.

aha, $\begin{eqnarray*} +\sqrt{3} \end{eqnarray*}$ ist also eine natürliche Zahl!

$\begin{eqnarray*} b_n \in [-2,-\sqrt 3] \end{eqnarray*}$ wäre prinzipiell schon möglich, aber nicht bei dem Startwert. Du kannst induktiv zeigen, dass $\begin{eqnarray*} b_n \end{eqnarray*}$ positiv ist

Zitat:

Original von bruno2
aber $\begin{eqnarray*} b_{n} \end{eqnarray*}$ kenn ich ja bis jetzt noch nicht, oder?

ich hätte jetzt weiter gemacht mit der grenzwertberechnung und dem beweis der beschränktheit

Dann mach das smile

smile

edit: auch $\begin{eqnarray*} b_n \geq \sqrt 3 \end{eqnarray*}$ ist noch nicht gezeigt

23.02.2012, 21:32

Cheftheoretiker

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Zitat:

aha, $\begin{eqnarray*} +\sqrt{3} \end{eqnarray*}$ ist also eine natürliche Zahl!

Natürlich nicht! Big Laugh

Big Laugh

Ich meine aber es gibt es keine Zahl $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ die quadruert $\begin{eqnarray*} -\sqrt{3} \end{eqnarray*}$ ergibt.

23.02.2012, 21:38

speedyschmidt

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und nun?

es gibt auch keine natürliche Zahl, die quadriert $\begin{eqnarray*} +\sqrt 3 \end{eqnarray*}$ ergibt

23.02.2012, 21:39

bruno2

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grenzwert:

$\begin{eqnarray*} a= \lim_{n \to \infty } b_{n} = \lim_{n \to \infty } b_{n+1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a= \sqrt{2a+4 } -1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a+1= \sqrt{2a+4 } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a^2+2a+1= 2a+4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a^2=3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a= \pm \sqrt{3} \end{eqnarray*}$

so, jetzt würde ich wieder sagen, dass nur das positive ergebnis korrekt ist, da aus der rekursionsvorschrift hervorgeht, dass $\begin{eqnarray*} b_{n} \end{eqnarray*}$ positiv sein muss, da man nur eine wurzel aus einer positiven zahl ziehen kann.

ist die argumentation korrekt?

23.02.2012, 21:42

speedyschmidt

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Bisher hast Du weder monotonität, noch beschränktheit gezeigt, ansonsten wäre die schlussfolgerung aber richtig, ja.

23.02.2012, 21:43

bruno2

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RE: konvergenz rekursive folge. ist das so korrekt?
ist das kein monotoniebeweis?

Zitat:

Original von bruno2
hi,

ich hab folgende rekursive folge, welche man auf konvergenz untersuchen soll:

$\begin{eqnarray*} b_{0} =6 \end{eqnarray*}$ ; $\begin{eqnarray*} b_{n+1} =\sqrt{2b_{n}+4 } -1 \end{eqnarray*}$

zuerst möchte ich zeigen, dass $\begin{eqnarray*} b_{n} \end{eqnarray*}$ monoton fallend ist:

$\begin{eqnarray*} b_{n} - b_{n+1} \geq 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b_{n} \geq b_{n+1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b_{n} \geq \sqrt{2b_{n}+4 } -1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b_{n}^2 +2b_{n}+1 \geq 2b_{n}+4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b_{n}^2 \geq 3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b_{n} \geq \pm \sqrt{3} \end{eqnarray*}$

so was mach ich denn jetzt? ich hab zwei ergebnisse dastehen: plus und minus wurzel aus drei.

23.02.2012, 21:47

speedyschmidt

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du zeigst: $\begin{eqnarray*} (b_n) \end{eqnarray*}$ ist monoton, wenn $\begin{eqnarray*} b_n \geq +\sqrt 3 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} b_n \leq -\sqrt 3 \end{eqnarray*}$ gilt.

hast aber weder $\begin{eqnarray*} b_n \geq +\sqrt 3 \end{eqnarray*}$ noch $\begin{eqnarray*} b_n \leq -\sqrt 3 \end{eqnarray*}$ gezeigt, das wäre noch zu tun

edit: natürlich musst du nur eins von beiden zeigen und wie schon richtig erkannt, sollte es ersteres sein

edit: wenn du $\begin{eqnarray*} b_n \leq -\sqrt 3 \end{eqnarray*}$ zeigen könntest, würde es trotzdem nicht klappen, das ist nur ne scheinlösung, die beim quadrieren entstanden ist

23.02.2012, 21:55

bruno2

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hmm ich mach zunächst mal weiter mit beschränktheit:

das mach ich induktiv:

da ich ja eben den grenzwert von $\begin{eqnarray*} \sqrt{3} \end{eqnarray*}$ berechnet habe, nehme ich das auch als untere schranke an.

$\begin{eqnarray*} n=0 :b_{0} =6 >\sqrt{3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} n-> n+1: b_{n+1} = \sqrt{2b_{n}+4 } -1> \sqrt{3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sqrt{2b_{n}+4 } > \sqrt{3} +1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2b_{n}+4 > 3+2\sqrt{3} +1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2b_{n} > 2\sqrt{3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b_{n} > \sqrt{3} \end{eqnarray*}$

ist wenigstent da so richtig? traurig

traurig

23.02.2012, 21:59

speedyschmidt

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japp

smile

23.02.2012, 22:02

bruno2

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ok, nun nochmal zur monotonie:

wie zeige is denn das nun?

ich dachte, wenn ich davon ausgehe, dass eine folge monoton fallend ist, dann genügt es, wenn ich zeige, dass ein folgeglied minus das folgende folgenglied größer als 0 ist...

wie wäre es denn in diesem fall korrekt? könntest du mir das noch zeigen? wäre echt super, denn ich denke schon, dass ich das ganze einigermaßen verstanden habe...

23.02.2012, 22:10

speedyschmidt

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Das hast Du zum Glück schon getan smile

smile

Zitat:

Original von bruno2

$\begin{eqnarray*} n=0 :b_{0} =6 >\sqrt{3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} n-> n+1: b_{n+1} = \sqrt{2b_{n}+4 } -1> \sqrt{3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sqrt{2b_{n}+4 } > \sqrt{3} +1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2b_{n}+4 > 3+2\sqrt{3} +1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2b_{n} > 2\sqrt{3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b_{n} > \sqrt{3} \end{eqnarray*}$

zeigt, dass
$\begin{eqnarray*} b_{n} > \sqrt{3} \end{eqnarray*}$ gilt.

Hier hast Du dann die Monotonität auf Deine (inzwischen verifizierte) Ungleichung zurückgeführt:

Zitat:

Original von bruno2

$\begin{eqnarray*} b_{n} - b_{n+1} \geq 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b_{n} \geq b_{n+1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b_{n} \geq \sqrt{2b_{n}+4 } -1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b_{n}^2 +2b_{n}+1 \geq 2b_{n}+4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b_{n}^2 \geq 3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b_{n} \geq \pm \sqrt{3} \end{eqnarray*}$

Ein ganz harter Korrektor sagt nun vllt noch, dass Du nur Beschränktheit nach unten gezeigt hast. Dass das Ding aber nach obern durch 6 beschränkt ist, sollte trivial sein, und Du bist fertig. smile

smile

23.02.2012, 22:13

bruno2

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hmm, meinst du, man sollte prinzipiell an solche aufgaben dran gehen, indem man zuerst den grenzwert berechnet? weil wenn ich dich richtig verstanden habe, dann hätte alles gepasst mit einer anderen reihenfolge der bearbeitung.

also prinzipiell:

1) grenzwert
2) beschränktheit
3) monotonie

?

23.02.2012, 22:17

speedyschmidt

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So kannste beim Bearbeiten rangehen, beim aufschreiben würde ich sagen, lässt man die Konvergenz für den Schluss, aber was soll's. Gibt genug Autoren, die auch sowas machen.

Hat beides Vor- und Nachteile beim Aufschreiben. Wenn man es in Deiner Reihenfolge macht, kommt $\begin{eqnarray*} \sqrt 3 \end{eqnarray*}$ wenigstens nicht vollkommen aus der Luft.

edit: das kann man aber nicht verallgemeinern, prinzipiell ist es nur natürlich die konvergenz erst zu nutzen, wenn man sie auch hat.

23.02.2012, 22:18

bruno2

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ok super. vielen dank! smile

smile

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