Extremwert-Textaufgabe Gewinnmaximum

24.02.2012, 11:40	strafedonkey	Auf diesen Beitrag antworten »
Extremwert-Textaufgabe Gewinnmaximum Hallo . Erstmal danke für die gute Hilfe bisher, das Forum ist top! Ich habe mich jetzt mittlerweile zu Extremwertaufgaben durchgekämpft. Da komme ich bei einer Textaufgabe nicht weiter. Ein Händler kauft Ware für 60 DM ein. er stellt fest, dass diese Ware in einem bestimmten Zeitraum von 100 Personen gekauft wird, wenn er sie für 100 DM verkauft. Für je 2,50 DM Verbilligung kaufen 10 Personen mehr. Bei welchem Verkaufspreis hat er den größten Gewinn? Hier meine Lösung: Der Gewinn errechnet sich aus dem Preis P mal den verkauften Exemplaren (also der Anzahl der Käufer) K Minus den 60 DM Einkaufspreis mal den verkauften Exemplaren $\begin{eqnarray} <br /> <br /> G(K\cdot P)=K\dot{\cdot P-60\cdot K} \end{eqnarray}$ - Extremalbedingung Die Anzahl der Käufer sind die 100 beim Startgebot von 100 DM + 10 dazugekommene Käufer pro 2,50 DM verbilligung $\begin{eqnarray} <br /> <br /> K=100+10\cdot(\frac{100-P}{2,50}) <br /> <br /> \end{eqnarray}$ - Nebenbedingung demnach lautet die ganze Formel: $\begin{eqnarray} G(P)=P\cdot(100+10\cdot(\frac{100-P}{2,50})-60\cdot(100+10\cdot(\frac{100-P}{2,50}) <br /> <br /> \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} <br /> <br /> g(P)=100+10\cdot(\frac{100-P}{2,50})=100+\frac{1000-10P}{2,50}=\frac{250+1000-10P}{2,50} <br /> <br /> \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} <br /> <br /> =\frac{1250-10P}{2,50}=500-4P <br /> <br /> \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} <br /> <br /> h(P)=-60\cdot(100+10\cdot(\frac{100-P}{2,50})=-60\cdot(500-4P)=240P-30.000 <br /> <br /> \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} <br /> <br /> G(P)=P\cdot g(P)+h(P)=P\cdot(500-4P)-240P-30.000 <br /> <br /> \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} <br /> <br /> =500P-4P^{2}-240P-30.000=260P-4P^{2}-30.000 <br /> <br /> \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} <br /> <br /> G`(P)=8P-260=0\|+260 <br /> <br /> \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} <br /> <br /> 8P=260\|:8 <br /> <br /> \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} <br /> <br /> P=32,50DM <br /> <br /> \end{eqnarray}$ Prüfung auf Extremwert ergibt aber: $\begin{eqnarray} <br /> <br /> G``(P)=8>0 <br /> <br /> \end{eqnarray}$ das bedeutet, bei einem Preis von 32,50 DM liegt ein Minimum vor, kein Maximum . Was mache ich falsch?
24.02.2012, 23:25	frank09	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremwert-Textaufgabe Gewinnmaximum Statt G(p)=P(500-4P)-240P-30000 muss es heißen: G(p)=P(500-4P) $\begin{eqnarray} + \end{eqnarray}$ 240P-30000
05.06.2012, 21:40	FrankyP	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremwert-Textaufgabe Gewinnmaximum Sollte noch jemand an der Lösung dieser Aufgabe Interesse haben. Es geht wesentlich unkomplizierter: X = Anzahl der Preisnachlässe G = Gewinn => G(x) = (40-2,50x)(100+10x) daraus wird G(x) = 4000 + 150x -25x² Ableitung bilden und gleich Null setzen (notwendige Bedingung): => G´(x) = 150x - 50 = 0 => x = 3 (Maximum der Parabel) Die Anzahl der Preisnachlässe ist also 3: 32,50 = 7,50 das ergibt einen Verkaufspreis von 100 - 7,50 = 92,50

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