Taylorreihen

Neue Frage »

24.02.2012, 13:09	djguendalf	Auf diesen Beitrag antworten »
Taylorreihen ich würde gern wissen wie man standardtaylorreihen von verschachtelten Funktionen kombiniert. Für zB sin(x)e^x multipliziert man sie ja einfach. aber wie ist es zB bei $\begin{eqnarray} cos(\frac{x}{1+x}) \end{eqnarray}$ Die Aufgabe dazu besagt man solle das Taylorpolynom aus der Standardtaylorreihe für den cos und der Taylorreihe für die innere Funktion bestimmen. Beide hab ich, aber wie kombiniere ich die? oder bei $\begin{eqnarray} x^{k} \cdot e^{-x^2} \end{eqnarray*}$ Hierzu lautet die Aufgabe: Stellen sie für f(x) ein Taylorpolynom mit drei nicht-verschwindenden Gliedern um x_0=0 auf. Verwenden sie dazu Standardtaylorreihen. was heißt " drei nicht-verschwindenden Gliedern "? Nach den ersten drei gliedern abbrechen? Als ich würde mal das -x² substituieren um die standardtaylorreihe von e^x benutzen zu können. aber was ist mit dem x^k
24.02.2012, 13:16	thk	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich würde die innere substituieren und cos(z) entwickeln. Gliedweise Rücksubstitution.
24.02.2012, 13:43	djguendalf	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} cos(z)= 1-\frac{1}{2}x^{2}+\frac{1}{24}x^{4} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} T_3(x)=1-\frac{1}{3}x+2x^{2}-\frac{1}{6}x^{3} \end{eqnarray}$ (erfunden, hab die werte nicht mehr) wie läuft jetzt die rücksubstitition ab? für jedes x von cos(z) die taylerreihe von T(x) einsetzen? kann doch nix gescheites bei rauskommen ^^ edit. muss natürlich z heißen statt x bei cos(z)
24.02.2012, 13:53	thk	Auf diesen Beitrag antworten »
ich meinte cos(z)=1-z^2/2+z^4/24 (wie du schon hast, nur mit z) einsetzen: z=x/(1+x) x/(1+x) = -x^4+x^3-x^2+x x^2/(1+x)^2 = 3x^4-2x^3+x^2
24.02.2012, 14:00	djguendalf	Auf diesen Beitrag antworten »
ich muss sagen ich scheiter da bissle an der übersicht, und wo is die taylorreihe der inneren?
24.02.2012, 14:14	thk	Auf diesen Beitrag antworten »
Bis zur 3. Ordnung betrachten wir cos(z)=1-z^2/2 (1) z^2/2=1/2x^2/(1+x)^2 Mit der Reihe von oben z^2/2 = 1/2x^2-x^3 einsetzen in (1) cos(x/(1+x)) = ...
Anzeige

24.02.2012, 14:42	djguendalf	Auf diesen Beitrag antworten »
wie kommst du auf diese Zeile $\begin{eqnarray} \frac{z^2}{2} = \frac{1}{2} \cdot x^2-x^3 \end{eqnarray}$ rechts oben unter werkzeuge ist übrigens der formeleditor, macht die sache um einiges übersichtlicher.
24.02.2012, 14:57	thk	Auf diesen Beitrag antworten »
Du kannst x/(1+x) entwickeln und das Ergebnis quadrieren. Nur bissl umständlich.
24.02.2012, 15:16	djguendalf	Auf diesen Beitrag antworten »
die taylorreihe von x/(1+x) bei x=0 ist x-x²+x³ das quadrieren und einsetzen. cos(z)= 1- z²/2 also: cos(x/1+x)=1 - 1/2 * (x-x²+x³)² ,das eben ausmultiplizieren und die potenzen höher als 3 weglassen?
24.02.2012, 18:29	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
ja. Das Ganze artet in Arbeit aus. Zur Kontrolle und zur Beurteilung der Kurven: $\begin{eqnarray} \frac {x}{1+x}\approx -x^4+x^3-x^2+x \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \cos(z)\approx 1-\frac 1 2 z^2 +\frac {1}{24}z^4 \quad , z= \frac {x}{1+x} \Rightarrow \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \cos(\frac {x}{1+x}) \approx 1- \frac 1 2 x^2 +x^3-\frac {35}{24}x^4 +\frac {11}{6}x^5... \end{eqnarray}$ Die Qualität der Approximation dritten Grades für die Stelle x=0 ist im Schaubild sichtbar. und hier nochmal zum Vergleich mit dem 7. Grade man sieht, dass der brauchbare Radius doch klein bleibt.
25.02.2012, 14:10	djguendalf	Auf diesen Beitrag antworten »
danke für die antwort. Kann noch jemand zum zweiten Teil meiner Frage etwas sagen?
25.02.2012, 17:46	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} g(x)=e^{-x^2}<br /> <br /> e^z\approx 1+z+\frac12 z^2 \quad z=(-x^2) \Rightarrow<br /> <br /> e^{-x^2}\approx 1-x^2+\frac 12 x^4 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} h(x)=x^k \end{eqnarray}$ hier ist die Entwicklung für $\begin{eqnarray} x_0=0 \end{eqnarray}$ schlecht möglich. Der Trick ist, meiner Meinung nach, einfach $\begin{eqnarray} x^k ~ \text {\rm als}~ x^k \end{eqnarray}$ stehen zu lassen. Das ist in gewissem Sinne schon die Taylorentwicklung. Also: $\begin{eqnarray} f(x)=x^ke^{-x^2}\approx x^k\cdot(1-x^2+\frac 12 x^4) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = x^k - x^{k+2} + \frac 12 x^{k+4} \end{eqnarray}$ hier ein Beispiel für k=3

Neue Frage »

Antworten »

Taylorreihen

Verwandte Themen