QR-Zerlegung via Householder-Verfahren

24.02.2012, 13:51

Residium

QR-Zerlegung via Householder-Verfahren

Meine Frage:
Hallo liebe Community!
Kann jemand bitte mit eigenen Worten erklären, wie Householder-Verfahren die QR-Zerlegung ausführt? Angenommen, wir wollen eine Matrix A zerlegen. Wie
funktioniert es prinzipiell?

Meine Ideen:
.

24.02.2012, 13:57

Math1986

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RE: QR-Zerlegung via Householder-Verfahren
Hierzu gibt es bereits einige gute Erklärungen:
[WS] Lineare Ausgleichprobleme
[WS] Lineare Ausgleichsprobleme - Beispiele
[WS] Lineare Gleichungssysteme 2 - direkte Verfahren

Es wäre hilfreich, wenn du deine fragen dazu etwas präzisieren könntest Augenzwinkern

24.02.2012, 17:19

Residium

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RE: QR-Zerlegung via Householder-Verfahren

Zitat:

Original von Math1986
Es wäre hilfreich, wenn du deine fragen dazu etwas präzisieren könntest Augenzwinkern

Mich interessiert, wie man ausgehend von einer Matrix A via eine Folge von QR-Zerlegungen auf ähnliche Matrix
A' kommt, die auf Hauptdiagonale die Eigenwerte der Matrix A hat.

1.Schritt (1.Iteration):
$\begin{eqnarray*} A^{(0)}:=A=Q^{(0)}*R^{(0)} \end{eqnarray*}$ wird via Householder-Transformation als Produkt Q(orthogonal) und R(rechte obere Dreiecksmatrix) zerlegt.

2.Schritt (2.Iteration):
$\begin{eqnarray*} A^{(1)}:=? \end{eqnarray*}$

3.Schritt (3.Iteration):
$\begin{eqnarray*} A^{(2)}:=? \end{eqnarray*}$

i.Schritt (i.Iteration):
$\begin{eqnarray*} A^{(i)}:=? \end{eqnarray*}$

Letzter Schritt:
A' hat Eigenwerte der Ausgangsmatrix A auf ihrer Hauptdiagonale

P.S.:
Wie ich verstanden hab, in jedem Schritt wird via Householder-Transformation eine
Zerlegung der aktuellen Matrix $\begin{eqnarray*} A^{(i)} \end{eqnarray*}$ durchgeführt. Mir ist z.B unklar, wie die Iteratitionen
$\begin{eqnarray*} A^{(i)}, A^{(i+1)} \end{eqnarray*}$ gebildet werden.

24.02.2012, 19:01

tigerbine

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QR Zerlegung und QR Verfahren sind zwei paar Schuhe. Du solltest die das Verfahren durchlesen.

24.02.2012, 19:22

Residium

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Zitat:

Original von tigerbine
QR Zerlegung und QR Verfahren sind zwei paar Schuhe. Du solltest die das Verfahren durchlesen.

Ja, hab ich schon mittlerweile verstanden... Ich hab auch meine Frage ganz am Anfang falsch formuliert. Leider wird das Thema in unserer VL kaum besprochen und man findet kaum verständliche Infos zu diesem Thema...

Wie gesagt, ich möchte die Vorschrift sehen, wie man von der Matrix A zur Matrix A' kommt, die auf der Hauptdiagonale die Eigenwerte von A hat...

Funktioniert es auf diese Weise? :

1.Schritt (1.Iteration):
$\begin{eqnarray*} A^{(0)}:=A=Q^{(0)}*R^{(0)} \end{eqnarray*}$ wird via Householder-Transformation als Produkt Q(orthogonal) und R(rechte obere Dreiecksmatrix) zerlegt.

2.Schritt (2.Iteration):
$\begin{eqnarray*} A^{(1)}:= (Q^{0})^T*(A^{(0)}=Q^{(0)}*R^{(0)})*Q^{(0)} \end{eqnarray*}$

3.Schritt (3.Iteration):
Zuerst berechnen wir die QR-Zerlegung zum $\begin{eqnarray*} A^{(1)} \end{eqnarray*}$ : $\begin{eqnarray*} A^{(1)}=Q^{(1)}*R^{(1)} \end{eqnarray*}$
Dann :
$\begin{eqnarray*} A^{(2)}=(Q^{(1)})^T * A^{(1)}*Q^{(1)}? \end{eqnarray*}$

i.Schritt (i.Iteration):
Zuerst berechnen wir die QR-Zerlegung von $\begin{eqnarray*} A^{(i-1)} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} A^{(i)}=(Q^{(i-1)})^T * A^{(i-1)}*Q^{(i-1)}? \end{eqnarray*}$

Letzter Schritt:
A' hat Eigenwerte der Ausgangsmatrix A auf ihrer Hauptdiagonale

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