Integral von sqrt(x)/(x+4)

24.02.2012, 13:59

testerfrage

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Integral von sqrt(x)/(x+4)

Hallo, ich bräuchte folgende Hilfe siehe oben.
Mein Teil:
$\begin{eqnarray*} <br /> u=\sqrt{x} <br /> x=u^{2} <br /> \frac{du}{dx}<br /> dx=2*u*du<br /> <br /> \frac{u*2u}{u^{2}+4} =\frac{u^{2}+u }{u^{2}+4 } =\frac{u^{2}+u+4-4 }{u^{2}+4 }<br /> =\frac{u^{2}+4 }{u^{2}+4 }+\frac{u-4}{u^{2} +4}<br /> =1+ \frac{u-4}{u^{2} +4}<br /> da <br /> 4/4=1<br /> =1+ \frac{u-1}{u^{2} +1}<br /> =1-u* \frac{1}{u^{2} +1}<br /> integriert<br /> =x-u*arctan(u)+c<br /> =x-\sqrt(x) *arctan(\sqrt(x))+c<br /> \end{eqnarray*}$
Irgendwas stimmt da nicht.......könntet ihr mir helfen?

Danke schonmal.

24.02.2012, 14:03

thk

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Schusselfehler:

u*2u ist nicht u^2+u

24.02.2012, 14:12

testerfrage

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u*(u+u)=u^(2)+u^(2)?

24.02.2012, 14:36

testerfrage

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na gut von anfang an:
$\begin{eqnarray*} <br /> \frac{u^{2}+u^{2}+4-4}{u^{2}+4}=1+\frac{u^{2}-4}{u^{2}+4} <br /> polynomdivision:<br /> 1-\frac{8}{u^{2}+4} <br /> kuerzen<br /> 1-\frac{2}{u^{2}+1} <br /> x-2*arctan(u)+c<br /> \end{eqnarray*}$

24.02.2012, 14:54

thk

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Die Umformung stimmt aber nicht
Man kann stattdessen z.B. u^2+4 substituieren
und
Differenzen und Summen... traurig

traurig

24.02.2012, 14:56

testerfrage

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wie nochma substituieren????

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24.02.2012, 14:59

thk

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z:=u^2+4
Dann steht z-8 im Zähler und der Bruch kann zerlegt werden.

24.02.2012, 15:11

testerfrage

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ich probiers grad, aber das mit dem zähler kommt nicht hin, ich hab dann 1+8/(z*2*u).

24.02.2012, 15:14

thk

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Der gesamte Ausdruck wäre dann
1+(z-8)/z
= 1+1-8/z
= 2-8/z

24.02.2012, 15:21

testerfrage

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wo kommt das z im zähler her?

24.02.2012, 15:30

thk

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Im Zähler steht u^2-4
Mit z:=u^2+4 ist
z-8 = (u^2+4)-8
=u^2-4

24.02.2012, 15:40

Mulder

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@thk: Wo genau bleibst du bei deiner Substitution eigentlich mit dem du ?

24.02.2012, 15:53

thk

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Jepp, für ein unbestimmtes Integral (vergessen) macht das die Sache unerschwinglich. Also verwerfen, danke.

24.02.2012, 15:55

Mulder

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@testerfrage: Nochmal zurück hierhin:

$\begin{eqnarray*} \int \frac{2 u^2}{u^2+4} \, \dd u \end{eqnarray*}$

Jetzt bitte mal richtig umformen. Die 2 vor das Integral (ist einfacher!). Und dann ergibt sich:

$\begin{eqnarray*} 2\int \frac{u^2}{u^2+4} \, \dd u = 2 \int \left ( 1- \frac{4}{u^2+4} \right ) \dd u \end{eqnarray*}$

Wenn du nun im Nenner 4 ausklammern willst, darfst du das nicht nur bei dem +4 tun. Auch das u² ist durch 4 zu teilen. Es ergibt sich

$\begin{eqnarray*} 2 \int \left ( 1- \frac{4}{4 \cdot \left ( \left ( \frac{u}{2} \right )^2+1 \right )} \right ) \dd u \end{eqnarray*}$

Nun noch u/2=t substituieren und dann klappt's auch mit dem Arkustangens.

24.02.2012, 15:56

testerfrage

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ok, dann hätte ich mit dem du:
$\begin{eqnarray*} 1+\frac{(Z-8)}{Z*2*u} \end{eqnarray*}$
und wenn man das übrhaupt so machen kann:
$\begin{eqnarray*} 1+1-\frac{8}{2*u} \end{eqnarray*}$
kuerzen
$\begin{eqnarray*} 2-\frac{4}{u} \end{eqnarray*}$
ok so?

24.02.2012, 16:06

thk

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Da würde das Z im Nenner fehlen.

Aber für unbest. Integration ist der Weg nicht praktikabel. Also bleibts bei der Variante mit dem Arkustangens s. Mulder

24.02.2012, 16:16

testerfrage

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den alten beitrag kann ich nicht editieren oder löschen!!!

ok, dann hab ich am ende:
$\begin{eqnarray*} x-4*arctan(\frac{\sqrt{x}}{2} )+c \end{eqnarray*}$

da soll aber 2*u also 2*sqrt(x) rauskommen vorne für x !?

da versteh ich was nicht beim rücksubstituieren

@thk : ok dann vergess ich das andere ganz schnell.^^

24.02.2012, 17:01

Mulder

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Tut mir leid, wenn du deine Rechnung nicht zeigst, kann man dir nicht helfen. Keine Ahnung, was du falsch machst.

In der Tat muss da $\begin{eqnarray*} 2\sqrt{x} \end{eqnarray*}$ vorne stehen.

24.02.2012, 17:18

testerfrage

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weil ich ja rücksubstituiert hab muss da dann:
für x:
$\begin{eqnarray*} x=u^2 \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} u=\sqrt{x} \end{eqnarray*}$
dann steht da u=u weil sich die wurzel und dann hoch 2 aufheben, aber u= immer noch wieder $\begin{eqnarray*} u=\sqrt{x} \end{eqnarray*}$

so wo kommt dann aber das $\begin{eqnarray*} 2*\sqrt{x} \end{eqnarray*}$ her?

24.02.2012, 17:32

Mulder

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Das war jetzt aber nicht "Rechnung zeigen".

Was für eine Stammfunktion hast du denn bei der Integration über t erhalten? Erstmal musstest du ja noch u/2 substituieren.

Und dann die Rücksubstitutionen (das sind ja zwei) in der richtigen Reihenfolge.

24.02.2012, 17:58

testerfrage

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Ich muss das ma Schritt für Schritt machen, ja da muss ich mich entschuldigen. ^^ :
von deinen sachen:
$\begin{eqnarray*} 2*(1-\frac{4}{4*(u/2)^{2}} \end{eqnarray*}$
t=u/2
$\begin{eqnarray*} 2-2*\frac{1}{t^{2}+1} \end{eqnarray*}$
Stannfunktion:
$\begin{eqnarray*} 2*u-2*arctan(t)+c \end{eqnarray*}$
Ruecksub:
$\begin{eqnarray*} 2*\sqrt{x}-2*arctan(\frac{\sqrt{x}}{2})+c \end{eqnarray*}$

Da fehlt immer noch was ja, nach dem tool von mathe online muss da noch ne 4 hin vor arctan wie warum?

24.02.2012, 18:25

Mulder

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Hast du bei der Substitution

$\begin{eqnarray*} \frac{u}{2}=t \end{eqnarray*}$

auch bedacht, das du korrekt zu substituieren? Sieht mir so aus, als hättest du das einfach vergessen. Mit

$\begin{eqnarray*} \frac{\dd t}{\dd u} = \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

kriegst du so nämlich noch einen Faktor 2 mit rein.

24.02.2012, 18:29

testerfrage

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oh ja stimmt, was mich aber wundert, weil
bei rechnungen wie:
$\begin{eqnarray*} \int_a^b \! sin(4*x)*sin(2x)\, dx \end{eqnarray*}$
da kann ich wenn ich mit u=4*x
und v=sin(x) substituiere, das ableiten von u=4*x weglassen um die aufgabe zu lösen.

24.02.2012, 18:31

Mulder

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Zu einer korrekten Substitution bei Integralen gehört IMMER auch dazu, das Differential zu ersetzen.

24.02.2012, 18:40

testerfrage

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ok, danke
du/dt=1/2
du=2dt
dann:
$\begin{eqnarray*} 2*u-2*\frac{1}{t^{2}+1}*2*dt \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2*\sqrt{x}-4*arctan(\frac{\sqrt{x}}{2})+c \end{eqnarray*}$

24.02.2012, 18:44

Mulder

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Zitat:

Original von testerfrage
$\begin{eqnarray*} 2*u-2*\frac{1}{t^{2}+1}*2*dt \end{eqnarray*}$

Das ist eine Zeile, die ich in einer Klausur wirklich komplett rot durchstreichen würde, mit einem dicken, fetten Edding.

Sauber das Integral (samt Integralzeichen) hinschreiben! Dann integrieren. Und dann gehört da auch kein dt mehr hin. Und nicht u und t miteinander vermischen! Wenn du über t integrierst, ergibt 1 zunächst mal t und nicht u. Erst zu t integrieren und DANN Rücksubstitution.

24.02.2012, 19:47

testerfrage

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tja ein bisschen verwirrend, da man eigentlich nur eine regel aufgeschrieben hat. t=u/t das automatisch auch gilt u=t das muss man so wissen. ich wusste es nicht, in dem moment.

von den substitutionen hab ich das noch in erinnerung von x^4 wenn da die nullstellen ausgerechnet werden sollen.
$\begin{eqnarray*} \int_a^b \! 2*t-2*\frac{1}{t^{2}+1}*2\, dt<br /> 2*\sqrt{x}-4*arctan(\frac{\sqrt{x}}{2})+c \end{eqnarray*}$

so besser denk ich.

24.02.2012, 19:59

Mulder

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Zitat:

Original von testerfrage
von den substitutionen hab ich das noch in erinnerung von x^4 wenn da die nullstellen ausgerechnet werden sollen.
$\begin{eqnarray*} \int_a^b \! 2*t-2*\frac{1}{t^{2}+1}*2\, dt \end{eqnarray*}$

Den ersten Term hast du schon integriert, den zweiten noch nicht. Und trotzdem steht noch ein Integralzeichen dort. Es ist einfach völlig falsch, was da steht. Denn darüber hinaus fehlen auch noch Klammern, so dass du von dieser Form ohnehin nicht zu deinem nächsten Schritt hättest kommen können. Eine Klammer um den gesamten Integranden wäre formal eigentlich auch sowieso noch notwendig. Es gilt wieder: In einer Klausur müsste man sowas eigentlich rigoros durchstreichen. Und das wäre doch ärgerlich, denn eigentlich kannst du es ja. Du schreibst es nur falsch auf.

$\begin{eqnarray*} 2 \int \left ( 1- \frac{1}{\left (\frac{u}{2} \right )^2 +1 } \right ) \dd u \end{eqnarray*}$

Wurde mit der Substitution u/2=t zu

$\begin{eqnarray*} 4 \int \left ( 1- \frac{1}{t^2 +1 } \right ) \dd t \end{eqnarray*}$

Und nun kann man integrieren. Und zwar ALLES. Und danach entfallen auch Integralzeichen und Differential.

$\begin{eqnarray*} 4 \int \left ( 1- \frac{1}{t^2 +1 } \right ) \dd t = 4 \cdot \left ( t-\arctan(t) \right ) +C \end{eqnarray*}$

Nun ersetzt man zunächst wieder überall das t durch u/2 und DANACH dann überall u durch Wurzel x. Und das liefert dann

$\begin{eqnarray*} \int \frac{\sqrt{x}}{x+4} \, \dd x = 2\sqrt{x} - 4\arctan \left ( \frac{\sqrt{x}}{2} \right ) +C \end{eqnarray*}$

Zitat:

von den substitutionen hab ich das noch in erinnerung von x^4 wenn da die nullstellen ausgerechnet werden sollen.

Bei biquadratischen Gleichungen meinst du wohl. Gibt's auch, hat mit der Substitution bei Integralen aber nix zu tun. Bei Integralen muss bei Substitutionen viel mehr beachtet werden.

Zitat:

tja ein bisschen verwirrend, da man eigentlich nur eine regel aufgeschrieben hat. t=u/t das automatisch auch gilt u=t das muss man so wissen. ich wusste es nicht, in dem moment.

Ich weiß nicht, was du damit meinst. Der Satz ist (mir) unverständlich.

24.02.2012, 20:07

testerfrage

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ja, jetzt sehe ich das debakel komplett, deswegen verhaspel ich mich auch ständig, bei einigen umformungen wohl. ich muss mich da auf jedenfall bessern.^^
Danke für den hinweis.

Ich versuch noch ein paar aufgaben, um es zu lernen.

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