Basis des Vektorraums (groß Pi_1)

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24.02.2012, 16:02	Zeberuus	Auf diesen Beitrag antworten »
Basis des Vektorraums (groß Pi_1) Meine Frage: Folgende zwei Aufgaben liegen mir vor: 1.Geben Sie eine Basis des Vektorraums $\begin{eqnarray} (groß PI)_{1} \end{eqnarray}$ an // kanns leider nicht besser darstellen. 2.Geben sie die lineare Hülle von p(x)=x und q(x)=x² in (groß PI) an. leider weiß ich quasi gar nicht wie der Vektorraum (groß PI) definiert ist bzw wie ich an die Aufgaben herangehe. Meine Ideen: Natürlich habe ich schon Informationen eingeholt und auch die Lösungen der Aufgabe vorliegen(Sind nur leider nicht in sehr verständlich). Demnach werden die Fragestellungen wie folgt beantwortet: 1. $\begin{eqnarray} (groß PI)_{1} \end{eqnarray}$ =span<1,x> 2. span<x,x²>={ $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ x+ $\begin{eqnarray} \beta \end{eqnarray}$ x² : $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} \beta \end{eqnarray}$ element von $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ } wie bereits erwähnt, verstehe ich dass nicht uneingeschränkt bzw ist mir der Weg nicht ganz klar Der Index gibt mir soweit ich weiß quasi an welches der höchste Exponent im Raum ist. Hat dieser Vektorraum vielleicht noch einen bestimmten Namen, vielleicht lässt sich dann noch was bei google finden.
24.02.2012, 18:07	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \Pi_1=<1,x> \end{eqnarray}$ ist der Vektorraum der Polynome vom Grad $\begin{eqnarray} \le 1 \end{eqnarray}$ . Somit ist $\begin{eqnarray} \{1,x\} \end{eqnarray}$ eine Basis dieses Vektorraums. Fraglich dabei ist allerdings, in welchem Polynomring wir uns hier befinden. Ganz merkwürdig wird es bei x² , denn dieses Polynom liegt bestimmt nicht in $\begin{eqnarray} \Pi_1 \end{eqnarray}$ .
24.02.2012, 19:35	Zeberuus	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank erstmal für die schnelle Hilfe!!!! Also bei x² wurde mir gesagt, dass das dann zum Vektorraum $\begin{eqnarray} %5CPi_2 \end{eqnarray}$ gehört. Allerdings wüsste ich nicht genau wie der span aussieht. Eventuell so span= $\begin{eqnarray} %3Cx,x²%3E \end{eqnarray}$ oder so span= $\begin{eqnarray} %3C1,x²%3E \end{eqnarray}$ . Vielleicht weiß ja noch jemand anders hier im Forum bescheid ???!!
24.02.2012, 19:49	chrizke	Auf diesen Beitrag antworten »
Also in $\begin{eqnarray} \Pi_2 \end{eqnarray}$ liegen ja alle Polynome bis zum Grad 2. Das heißt alle Elemente dieses Raumes haben die Form $\begin{eqnarray} ax^2+bx+c \end{eqnarray}$ . Dies ist ja schon eine Linearkombination der Monome $\begin{eqnarray} x^2,x,1 \end{eqnarray}$ . Das heißt $\begin{eqnarray} \Pi_2=<x^2,x,1> \end{eqnarray}$
24.02.2012, 20:27	Zeberuus	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay so langsam komme ich dahinter. Auch dir vielen Dank für deine Antwort. Kannst du mir das an der Aufgabe 2 einmal erläutern?
24.02.2012, 21:11	chrizke	Auf diesen Beitrag antworten »
Na das ist doch einfach. Wie ist denn die Lineare hülle definiert? Du hast es im ersten Beitrag ja schon geschrieben. Allerdings ist span<x,x^2> doppelt-gemoppelt.
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25.02.2012, 11:40	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Für einen Körper $\begin{eqnarray} K \end{eqnarray}$ ist der Polynomring $\begin{eqnarray} K[X] \end{eqnarray}$ der Polynome mit Koeffizienten aus $\begin{eqnarray} K \end{eqnarray}$ ein $\begin{eqnarray} K \end{eqnarray}$ -Vektorraum $\begin{eqnarray} \Pi \end{eqnarray}$ mit Basis $\begin{eqnarray} \{1,X,X^2,...,X^n,...\} \end{eqnarray}$ , d.h. $\begin{eqnarray} \Pi=<X^n>_{n\in \mathbb N_0} \end{eqnarray}$ wird erzeugt von den Potenzen von $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ , das sind die sogenannten Monome. Für jedes $\begin{eqnarray} k\in \mathbb N_0 \end{eqnarray}$ ist der Vektorraum der Polynome vom Grad kleiner oder gleich k , also $\begin{eqnarray} \Pi_k=<1,...,X^k> < \Pi \end{eqnarray}$ , ein Untervektorraum der Dimension k+1. Nun zu Aufgabe 2: Für zwei l.u. Vektoren $\begin{eqnarray} x_1,x_2 \in V/K \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} <x_1,x_2>=\{\alpha x_1+\beta x_2:\alpha,\beta\in K\} \end{eqnarray}$ . Also völlig klar $\begin{eqnarray} x,x²\in \Pi=K[x] \Rightarrow <x,x²>=\{\alpha x+\beta x²:\alpha,\beta\in K\}=\{\pi\in\Pi_2:x\|\pi\}<\Pi_2<\Pi \end{eqnarray}$
25.02.2012, 12:00	Zeberuus	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich danke euch beiden für eure schnellen und kompetenten Antworten. Ich werd das noch an ein paar anderen Aufgaben üben, aber ich denke ich habs verstanden
01.03.2012, 18:15	Zeberuus	Auf diesen Beitrag antworten »
Hab doch noch ne Frage. Wenn ich jetzt die lineare Hülle von $\begin{eqnarray} p(x)=x \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} q(x)=x²+1 \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} \Pi \end{eqnarray}$ angeben soll, mache ich das wie folgt?: $\begin{eqnarray} \left\{ \alphax^{2}+\alpha+ \betax :\alpha ,\beta \in K \right\}= span<x,x²+1> \end{eqnarray}$ ?? Danke an alle die sich mit dem Problem beschäftigen ;-)
01.03.2012, 18:22	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \alpha \ne 0 \Rightarrow \alpha x^2+\beta x+\alpha =\alpha (x^2+\frac {\beta}{\alpha}x+1)=\alpha(x^2+\gamma x+1) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \alpha =0 \Rightarrow \alpha x^2+\beta x+\alpha=\beta x \end{eqnarray}$ Das ist "nett", aber bringt auch nichts Neues.
01.03.2012, 18:25	Zeberuus	Auf diesen Beitrag antworten »
Ist meins falsch oder kann ich das auch hinschreiben?
01.03.2012, 18:27	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast völlig recht, ich würde nur nach Potenzen von x sortieren. "Ordnung ist das halbe (Mathematiker-) Leben."
01.03.2012, 18:29	Zeberuus	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay :-) ... für die Klausur schreib ichs trotzdem lieber schnell so auf wie ich das da habe

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