konvergenz rekursive folge. was ist korrekt?

24.02.2012, 16:56

bruno2

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konvergenz rekursive folge. was ist korrekt?

hi,
ich habe folgende rekursiv definierte folge:

$\begin{eqnarray*} x_{1} = \sqrt{a} <br /> x_{n+1} =\sqrt{x_{n}+a } \end{eqnarray*}$

ich soll zeigen, dass die folge konvergiert, also monoton ist, und durch $\begin{eqnarray*} 1+\sqrt{a} \end{eqnarray*}$ beschränkt ist.

den grenzwert hab ich schon berechnet, das war kein problem:

grenzwert:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} +\sqrt{\frac{1}{4} +a} \end{eqnarray*}$

nun zum beweis der beschränktheit. ich weiß nicht, wie ich den beweis korrekt durchführe:

induktion.

erste version:

IA:

n=1:

$\begin{eqnarray*} x_{1} =\sqrt{a} \leq 1+\sqrt{a} \end{eqnarray*}$ korrekt

IV: $\begin{eqnarray*} x_{n} \leq 1+ \sqrt{a} \end{eqnarray*}$ für beliebeiges n

IS:

$\begin{eqnarray*} x_{n+1}=\sqrt{x_{n}+a } \leq 1+\sqrt{a} \end{eqnarray*}$ nun quadrieren

$\begin{eqnarray*} x_{n} +a\leq 1+2\sqrt{a} +a \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_{n} \leq 1+2\sqrt{a} \end{eqnarray*}$

hmmm. ich weiß nicht was ich mit dem ergebnis anfangen soll.

zweite version:

IA:

n=1:

$\begin{eqnarray*} x_{1} =\sqrt{a} \leq 1+\sqrt{a} \end{eqnarray*}$ korrekt

IV: $\begin{eqnarray*} x_{n} \leq 1+ \sqrt{a} \end{eqnarray*}$ für beliebeiges n

IS:

$\begin{eqnarray*} x_{n+1}=\sqrt{x_{n}+a } \leq 1+\sqrt{a} \end{eqnarray*}$ nun nutze ich die IV aus und setze für $\begin{eqnarray*} x_{n} \end{eqnarray*}$ eben $\begin{eqnarray*} 1+\sqrt{a} \end{eqnarray*}$ ein.

$\begin{eqnarray*} \sqrt{1+\sqrt{a}+a } \leq 1+\sqrt{a} \end{eqnarray*}$ das quadriere ich nun

$\begin{eqnarray*} 1+\sqrt{a} +a \leq 1+2\sqrt{a} +a \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sqrt{a} \leq 2\sqrt{a} \end{eqnarray*}$

so. ich weiß nun nicht, welche version richtig ist, oder ob überhaupt eine version richtig ist.

ich hoffe jemand kann mir helfen. dachte eigentlich, dass ich das ganze verstanden habe... traurig

traurig

24.02.2012, 17:09

lgrizu

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RE: konvergenz rekursive folge. was ist korrekt?
Wo wendest du denn die IV an?

Betrachte einmal:

$\begin{eqnarray*} x_{n+1}=\sqrt{x_n+a} \end{eqnarray*}$

Wenn man hier die Induktionsvorraussetzung anwendet, was erhält man dann?

Edit: Ich habe deine zweite Version übersehen, die Argumentation mit dme quadrieren ist richtig, man kann vorher noch anmerken, dass alle x_n>0 sind un quadrieren somit eine Äquivalenzumformung ist.

24.02.2012, 17:28

bruno2

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ich glaub ich hab den fehler der ersten version entdeckt:

Is:

$\begin{eqnarray*} x_{n+1}=\sqrt{x_{n}+a } \leq \sqrt{1+\sqrt{a}+a } \end{eqnarray*}$ das quadrieren

$\begin{eqnarray*} x_{n} +a \leq 1+\sqrt{a} +a \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_{n} \leq 1+\sqrt{a} \end{eqnarray*}$

wäre die erste version so korrekt?

zur zweiten version:

also die wäre so korrekt? icht dachte als ergebnis muss die schranke dann dastehen?
eigentlich ist ja $\begin{eqnarray*} \sqrt{a}\leq 2\sqrt{a} \end{eqnarray*}$ nicht falsch, aber wie steht das im kontext zur schranke?

24.02.2012, 17:43

lgrizu

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Zitat:

Original von bruno2
Is:

$\begin{eqnarray*} x_{n+1}=\sqrt{x_{n}+a } \leq \sqrt{1+\sqrt{a}+a } \end{eqnarray*}$ Das gilt nach Vorraussetzung

das quadrieren Weil quadrieren im positiven eine Äquivalenzumformung ist

$\begin{eqnarray*} x_{n} +a \leq 1+\sqrt{a} +a \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_{n} \leq 1+\sqrt{a} \end{eqnarray*}$

wäre die erste version so korrekt?

Freude

Zitat:

Original von bruno2
zur zweiten version:

also die wäre so korrekt? icht dachte als ergebnis muss die schranke dann dastehen?
eigentlich ist ja $\begin{eqnarray*} \sqrt{a}\leq 2\sqrt{a} \end{eqnarray*}$ nicht falsch, aber wie steht das im kontext zur schranke?

Wieso ist das falsch? es ist doch immer $\begin{eqnarray*} x \leq 2x \end{eqnarray*}$ für positive x, und $\begin{eqnarray*} \sqrt{a} \end{eqnarray*}$ ist positiv....

Mal sauber aufgeschrieben das ganze:

IV: $\begin{eqnarray*} x_{n} \leq 1+ \sqrt{a} \end{eqnarray*}$

IA:
$\begin{eqnarray*} x_1=\sqrt{a} \leq 1+ \sqrt{a} \end{eqnarray*}$

IS:

$\begin{eqnarray*} x_{n+1}=\sqrt{x_n+a} \leq_{\textrm{nach IV}}\sqrt{ 1+ \sqrt{a}+a} \leq_{i} 1+ \sqrt{a} \end{eqnarray*}$

Es bleibt zu zeigen, dass die Ungleichung i) gilt; Das kann auf zwei Weisen geschehen, entweder sagen wir mit $\begin{eqnarray*} \sqrt{a} \leq 2 \sqrt{a} \end{eqnarray*}$ folgt $\begin{eqnarray*} \sqrt{ 1+ \sqrt{a}+a} \leq \sqrt{ 1+2 \sqrt{a}+a}=1+ \sqrt{a} \end{eqnarray*}$ .

Oder wir quadrieren.....

Ist beides richtig und führt zum selben Ziel....

24.02.2012, 18:28

bruno2

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ok vielen dank soweit. ich denke, dass ich das nun verstanden habe.

nun zur monotonie:

ich möchte zeigen, dass das ganze monoton wächst.

$\begin{eqnarray*} x_{1} -x_{n+1}\leq 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sqrt{a} -\sqrt{x_{n}+a } \leq 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sqrt{a} \leq \sqrt{x_{n}+a } \end{eqnarray*}$ dies quadrieren

$\begin{eqnarray*} a\leq x_{n} +a \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0\leq x_{n} \end{eqnarray*}$

wäre der beweis korrekt? auch vom formalen aufschreiben her?

24.02.2012, 18:38

lgrizu

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Wieso berechnest du $\begin{eqnarray*} x_1-x_{n+1} \end{eqnarray*}$ ? verwirrt

verwirrt

Solltest du nicht zeigen, dass gilt:

$\begin{eqnarray*} x_n-x_{n+1} \leq 0 \end{eqnarray*}$ ?

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24.02.2012, 18:51

bruno2

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na, ich ich ziehe von einem folgeglied ziehe ich das folgende folgenglied ab. ist das falsch?

wenn ich $\begin{eqnarray*} x_{n} \end{eqnarray*}$ einsetze, dann hab ich folgendes:

$\begin{eqnarray*} x_{n} -x_{n+1} \leq 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_{n} \leq x_{n+1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_{n} \leq \sqrt{x_{n} +a} \end{eqnarray*}$ das quadriere ich wieder

$\begin{eqnarray*} x_{n}^2 \leq x_{n} +a \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_{n}^2 -x_{n} -a \leq 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_{1,2} = \frac{1}{2}\pm \sqrt{\frac{1}{4}+a } \end{eqnarray*}$

wie ist das nun zu interpretieren?

edit: das ist im prinzip die selbe rechnung, welche ich für den grenzwert gemacht hab?!

24.02.2012, 19:28

lgrizu

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Ich würde hier wieder eine kurze Induktion wählen, oder trickreich umformen...

Man kann auch kurz zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \frac{x_{n+1}}{x_n} \geq 1 \end{eqnarray*}$ ist.

Also, welche der drei Möglichkieten soll es sein?

24.02.2012, 19:30

bruno2

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eigentlich finde ich das mit der induktion estwas kompliziert und dachte daher, dass die methode mit dem voneinander abziehen einfacher wäre.

aber gut, dann bitte die induktion smile

smile

24.02.2012, 19:31

SusiQuad

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(17:28)
@Igrizu
Er hat aus der IV die IV bewiesen. Den Schritt zu x_n+1 sehe ich nicht.

24.02.2012, 19:35

bruno2

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was hältst du denn von der version:

ich rechne einfach zwei benachbarte folgenglieder konkret aus und ziehe sie voneinander ab:

$\begin{eqnarray*} x_{1} -x_{2} \leq 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sqrt{a} -\sqrt{\sqrt{a} +a} \leq 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sqrt{a} \leq \sqrt{\sqrt{a} +a} \end{eqnarray*}$ quadrieren

$\begin{eqnarray*} a \leq \sqrt{a} +a \end{eqnarray*}$

und das passt ja wieder

24.02.2012, 21:49

HAL 9000

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Zur Monotonie: Induktionsanfang $\begin{eqnarray*} x_0 < x_1 \end{eqnarray*}$ ist wegen $\begin{eqnarray*} x_0=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_1=\sqrt{a} \end{eqnarray*}$ trivial.

Induktionsschritt: Aus Induktionsvoraussetzung $\begin{eqnarray*} x_n < x_{n+1} \end{eqnarray*}$ kann man nun durch äquivalentes Ungleichungs-Umformen folgern

$\begin{eqnarray*} x_n + a < x_{n+1} + a \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sqrt{x_n + a} < \sqrt{x_{n+1} + a} \end{eqnarray*}$ ,

das ist gleichbedeutend mit $\begin{eqnarray*} x_{n+1} < x_{n+2} \end{eqnarray*}$ , voilà.

P.S.: Diese Argumentation funktioniert übrigens bei sämtlichen (!) Rekursionen der Form $\begin{eqnarray*} x_{n+1} = T(x_n) \end{eqnarray*}$ mit einer streng monoton wachsenden Iterationsfunktion $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ , was im vorliegenden Fall auf $\begin{eqnarray*} T(x) = \sqrt{x+a} \end{eqnarray*}$ ja zutrifft. Der Induktionsanfang bestimmt dann bereits die Art der Monotonie von $\begin{eqnarray*} (x_n)_{n=0,1,\ldots} \end{eqnarray*}$ : Wachsend (für $\begin{eqnarray*} x_0<x_1 \end{eqnarray*}$ ) oder fallend (für $\begin{eqnarray*} x_0>x_1 \end{eqnarray*}$ ).

24.02.2012, 21:56

lgrizu

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Zitat:

Original von SusiQuad
(17:28)
@Igrizu
Er hat aus der IV die IV bewiesen. Den Schritt zu x_n+1 sehe ich nicht.

Jap, das ist mir auch aufgefallen, aber erst später, irgendwie hab ich da selbst was übersehen.

Aber nun steht die Induktion ja komplett da.....

Die zur Monotonie dann auch, also Aufgabe erledigt.

@bruno:

Noch irgendetwas unklar? Gerne Fragen fragen....

24.02.2012, 22:35

SusiQuad

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Nehmen wir den Beitrag von Hal aus, so steht GARKEINE Induktion da, weder die der Monotonie, noch der Beschränktheit.

24.02.2012, 22:37

HAL 9000

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Zitat:

Original von SusiQuad
Nehmen wir den Beitrag von Hal aus, so steht GARKEINE Induktion da

Aber natürlich steht da eine Induktion da - schau mal genau hin.

24.02.2012, 23:07

bruno2

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Zitat:

Original von bruno2
was hältst du denn von der version:

ich rechne einfach zwei benachbarte folgenglieder konkret aus und ziehe sie voneinander ab:

$\begin{eqnarray*} x_{1} -x_{2} \leq 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sqrt{a} -\sqrt{\sqrt{a} +a} \leq 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sqrt{a} \leq \sqrt{\sqrt{a} +a} \end{eqnarray*}$ quadrieren

$\begin{eqnarray*} a \leq \sqrt{a} +a \end{eqnarray*}$

und das passt ja wieder

also, ich muss jetzt nochmal nachfragen: ist diese version des monotoniebeweises nun korrekt?

edit: übrigens, vielen dank für eure hilfestellungen!

@ HAL: so ausführlich haben wir das nicht gemacht. ich glaube deine version ist für die mathestudenten , oder?

24.02.2012, 23:11

bruno2

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: konvergenz rekursive folge. was ist korrekt?

Zitat:

Original von bruno2

zweite version:

IA:

n=1:

$\begin{eqnarray*} x_{1} =\sqrt{a} \leq 1+\sqrt{a} \end{eqnarray*}$ korrekt

IV: $\begin{eqnarray*} x_{n} \leq 1+ \sqrt{a} \end{eqnarray*}$ für beliebeiges n

IS:

$\begin{eqnarray*} x_{n+1}=\sqrt{x_{n}+a } \leq 1+\sqrt{a} \end{eqnarray*}$ nun nutze ich die IV aus und setze für $\begin{eqnarray*} x_{n} \end{eqnarray*}$ eben $\begin{eqnarray*} 1+\sqrt{a} \end{eqnarray*}$ ein.

$\begin{eqnarray*} \sqrt{1+\sqrt{a}+a } \leq 1+\sqrt{a} \end{eqnarray*}$ das quadriere ich nun

$\begin{eqnarray*} 1+\sqrt{a} +a \leq 1+2\sqrt{a} +a \end{eqnarray*}$

und war diese version der induktion eigentlich auch ok oder nicht?
$\begin{eqnarray*} \sqrt{a} \leq 2\sqrt{a} \end{eqnarray*}$

so. ich weiß nun nicht, welche version richtig ist, oder ob überhaupt eine version richtig ist.

ich hoffe jemand kann mir helfen. dachte eigentlich, dass ich das ganze verstanden habe... traurig

traurig

24.02.2012, 23:31

lgrizu

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von SusiQuad
Nehmen wir den Beitrag von Hal aus, so steht GARKEINE Induktion da, weder die der Monotonie, noch der Beschränktheit.

Man soolte schon genau lesen

Induktion Beschränktheit:

Zitat:

Original von lgrizu

Mal sauber aufgeschrieben das ganze:

IV: $\begin{eqnarray*} x_{n} \leq 1+ \sqrt{a} \end{eqnarray*}$

IA:
$\begin{eqnarray*} x_1=\sqrt{a} \leq 1+ \sqrt{a} \end{eqnarray*}$

IS:

$\begin{eqnarray*} x_{n+1}=\sqrt{x_n+a} \leq_{\textrm{nach IV}}\sqrt{ 1+ \sqrt{a}+a} \leq_{i} 1+ \sqrt{a} \end{eqnarray*}$

Es bleibt zu zeigen, dass die Ungleichung i) gilt; Das kann auf zwei Weisen geschehen, entweder sagen wir mit $\begin{eqnarray*} \sqrt{a} \leq 2 \sqrt{a} \end{eqnarray*}$ folgt $\begin{eqnarray*} \sqrt{ 1+ \sqrt{a}+a} \leq \sqrt{ 1+2 \sqrt{a}+a}=1+ \sqrt{a} \end{eqnarray*}$ .

24.02.2012, 23:36

bruno2

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also stimmts, oder? vom mathematischen und vom formalen her? deine version ist etwas anders. ich kenne es zb. nur so, dass man die reihenfolge:

induktionsanfang
induktionsvoraussetzung
induktionsschritt

einhält.

24.02.2012, 23:43

lgrizu

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Bei dir ensteht zum Schluss eine wahre Aussage, nämlich $\begin{eqnarray*} \sqrt{a} \leq 2 \sqrt{a} \end{eqnarray*}$ .

Wenn man das zurückverfolgt, kommt man auf die gewünschte Ungleichung (von mir i genannnt).

Also okay.

24.02.2012, 23:45

bruno2

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ok jetzt hab ichs. vielen dank euch allen!! smile

smile

edit: achso: der monotoniebeweis. ist der nun auch korrekt?

24.02.2012, 23:49

lgrizu

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Nein, du kannst nicht einfach x_1 und x_2 nehmen und dann behaupten, das gelte für alle x_n.

Das musst du schon allgemein machen, und wie die Induktion dazu funkitoniert hat dir Hal ja vor gemacht.

25.02.2012, 00:14

bruno2

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von HAL 9000
Zur Monotonie: Induktionsanfang $\begin{eqnarray*} x_0 < x_1 \end{eqnarray*}$ ist wegen $\begin{eqnarray*} x_0=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_1=\sqrt{a} \end{eqnarray*}$ trivial.

Induktionsschritt: Aus Induktionsvoraussetzung $\begin{eqnarray*} x_n < x_{n+1} \end{eqnarray*}$ kann man nun durch äquivalentes Ungleichungs-Umformen folgern

$\begin{eqnarray*} x_n + a < x_{n+1} + a \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sqrt{x_n + a} < \sqrt{x_{n+1} + a} \end{eqnarray*}$ ,

das ist gleichbedeutend mit $\begin{eqnarray*} x_{n+1} < x_{n+2} \end{eqnarray*}$ , voilà.

P.S.: Diese Argumentation funktioniert übrigens bei sämtlichen (!) Rekursionen der Form $\begin{eqnarray*} x_{n+1} = T(x_n) \end{eqnarray*}$ mit einer streng monoton wachsenden Iterationsfunktion $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ , was im vorliegenden Fall auf $\begin{eqnarray*} T(x) = \sqrt{x+a} \end{eqnarray*}$ ja zutrifft. Der Induktionsanfang bestimmt dann bereits die Art der Monotonie von $\begin{eqnarray*} (x_n)_{n=0,1,\ldots} \end{eqnarray*}$ : Wachsend (für $\begin{eqnarray*} x_0<x_1 \end{eqnarray*}$ ) oder fallend (für $\begin{eqnarray*} x_0>x_1 \end{eqnarray*}$ ).

woher weißt du, dass x_0=0 ist? es gibt doch gar kein x_0, der erste wert ist doch x_1?

25.02.2012, 00:22

lgrizu

Auf diesen Beitrag antworten »

Es ist doch $\begin{eqnarray*} x_1=\sqrt{x_0+a}=\sqrt{a} \end{eqnarray*}$ nach der Rekursionsvorschrift, was kann denn da wohl x_o sein?

25.02.2012, 00:26

bruno2

Auf diesen Beitrag antworten »

ja, stimmt...

ja und dann wird einfach nur schritt für schritt etwas drangebastelt, und zwar so, dass die rekursionsvorschrift wieder dasteht??

25.02.2012, 00:30

lgrizu

Auf diesen Beitrag antworten »

verwirrt

Den Beitrag verstehe ich nicht....

25.02.2012, 00:31

bruno2

Auf diesen Beitrag antworten »

ich meine damit, dass zunächst ein a drangebastelt wird, links wie rechts. dann zieht man die wurzel, links wie rechts, usw.

25.02.2012, 01:33

SusiQuad

Auf diesen Beitrag antworten »

(23:07) @bruno2
da steht, dass $\begin{eqnarray*} \sqrt{a} \leq 0 \end{eqnarray*}$ , falls $\begin{eqnarray*} x_1 \leq x_2 \end{eqnarray*}$ .

(23:31) @Igrizu
Die Ungleichung $\begin{eqnarray*} \sqrt{ 1+ \sqrt{a}+a} \leq 1+ \sqrt{a} \end{eqnarray*}$ stimmt aber nicht, egal wie man es aufschreibt. Teste mal mit $\begin{eqnarray*} a ~=~ 1 \end{eqnarray*}$ . Und mit gleichem a scheitert auch der 2-te Versuch $\begin{eqnarray*} \sqrt{ 1+ \sqrt{a}+a} \leq \sqrt{ 1+2 \sqrt{a}+a}=1+ \sqrt{a} \end{eqnarray*}$ , weil die Gleichung $\begin{eqnarray*} 4 = 2 \end{eqnarray*}$ ergibt.

Zitat:

... mit $\begin{eqnarray*} \sqrt{a} \leq 2 \sqrt{a} \end{eqnarray*}$ folgt

... alles

Hammer

(22:37) @Hal

Zitat:

... schau mal genau hin

Ich mag nicht mehr (, sonst werde ich noch blind).

25.02.2012, 08:55

lgrizu

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von SusiQuad
(23:07) @bruno2
da steht, dass $\begin{eqnarray*} \sqrt{a} \leq 0 \end{eqnarray*}$ , falls $\begin{eqnarray*} x_1 \leq x_2 \end{eqnarray*}$ .

(23:31) @Igrizu
Die Ungleichung $\begin{eqnarray*} \sqrt{ 1+ \sqrt{a}+a} \leq 1+ \sqrt{a} \end{eqnarray*}$ stimmt aber nicht, egal wie man es aufschreibt. Teste mal mit $\begin{eqnarray*} a ~=~ 1 \end{eqnarray*}$ . Und mit gleichem a scheitert auch der 2-te Versuch $\begin{eqnarray*} \sqrt{ 1+ \sqrt{a}+a} \leq \sqrt{ 1+2 \sqrt{a}+a}=1+ \sqrt{a} \end{eqnarray*}$ , weil die Gleichung $\begin{eqnarray*} 4 = 2 \end{eqnarray*}$ ergibt.

Man sollte schon die Wurzel ziehen, einsetzen von zum Beispiel a=1 ergibt

$\begin{eqnarray*} \sqrt{3} \leq \sqrt{4}=2 \end{eqnarray*}$ , und ich sehe nicht, was daran nicht stimmen sollte. verwirrt

verwirrt

Ebenso kann man das für jedes beliebige a nachrechnen, und es folgt auch aus:

Zitat:

Original von SusiQuad

Zitat:

... mit $\begin{eqnarray*} \sqrt{a} \leq 2 \sqrt{a} \end{eqnarray*}$ folgt

... alles

Hammer

verwirrt

@bruno:
Das verstehe ich immer noch nicht...
Was meinst du mit "a drangebastelt.." ?
Du erhälst das jeweils nächste Folgenglied durch das vorhergehenden, so ist die Folge definiert, nämlich Rekursiv.

25.02.2012, 12:36

bruno2

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von HAL 9000
Zur Monotonie: Induktionsanfang $\begin{eqnarray*} x_0 < x_1 \end{eqnarray*}$ ist wegen $\begin{eqnarray*} x_0=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_1=\sqrt{a} \end{eqnarray*}$ trivial.

Induktionsschritt: Aus Induktionsvoraussetzung $\begin{eqnarray*} x_n < x_{n+1} \end{eqnarray*}$ kann man nun durch äquivalentes Ungleichungs-Umformen folgern

$\begin{eqnarray*} x_n + a < x_{n+1} + a \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sqrt{x_n + a} < \sqrt{x_{n+1} + a} \end{eqnarray*}$ ,

das ist gleichbedeutend mit $\begin{eqnarray*} x_{n+1} < x_{n+2} \end{eqnarray*}$ , voilà.

P.S.: Diese Argumentation funktioniert übrigens bei sämtlichen (!) Rekursionen der Form $\begin{eqnarray*} x_{n+1} = T(x_n) \end{eqnarray*}$ mit einer streng monoton wachsenden Iterationsfunktion $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ , was im vorliegenden Fall auf $\begin{eqnarray*} T(x) = \sqrt{x+a} \end{eqnarray*}$ ja zutrifft. Der Induktionsanfang bestimmt dann bereits die Art der Monotonie von $\begin{eqnarray*} (x_n)_{n=0,1,\ldots} \end{eqnarray*}$ : Wachsend (für $\begin{eqnarray*} x_0<x_1 \end{eqnarray*}$ ) oder fallend (für $\begin{eqnarray*} x_0>x_1 \end{eqnarray*}$ ).

also ich meine die induktion von HAL

$\begin{eqnarray*} x_n + a < x_{n+1} + a \end{eqnarray*}$ hie wird links und rechts ein a drangebastelt.

$\begin{eqnarray*} \sqrt{x_n + a} < \sqrt{x_{n+1} + a} \end{eqnarray*}$ , hier ne wurzel

$\begin{eqnarray*} x_{n+1} < x_{n+2} \end{eqnarray*}$ was dann gleich dem hier ist.

also wird was drangebastelt, mit dem ziel die rekursionsvorschrift zu nutzen, um auf die nächsten folgeglieder zu schließen.

das meine ich mit dranbasteln smile

smile

25.02.2012, 12:45

lgrizu

Auf diesen Beitrag antworten »

Achso, ich dachte, du beziehst dich auf die Rekursionsvorschrift.

Jap, Hal benutzt Äquivalenzumformungen um zum Ziel zu kommen.

Auch hier kann man folgendermaßen vorgehen:

IV: $\begin{eqnarray*} x_n \leq x_{n+1} \end{eqnarray*}$

IA: n=1

$\begin{eqnarray*} x_1 = \sqrt{a} \leq \sqrt{ \sqrt{a}+a}=x_2 \end{eqnarray*}$ (Wenn man den Induktionsanfang so machen möchte, ich finde den, den Hal vorgeschlagen hat eleganter)

IS:
$\begin{eqnarray*} x_{n+1}=\sqrt{x_{n}+a} \leq_{\textrm{nach Vorraussetzung}} \sqrt{x_{n+1}+a}=x_{n+2} \end{eqnarray*}$

Das ist analog zu dem Vorgehen von Hal.

25.02.2012, 13:14

bruno2

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ok, vielen dank. ich denke jetzt müsste es passen. wahrscheinlich werde ich das ganze noch an einer weiteren aufgabe testen und hier dann zur kontrolle unter einem neuen thread posten. wäre nett, wenn jemand von euch da dann drüber schauen könnte.

nochmal vielen dank! Gott

Gott

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