Mengenlehre

24.02.2012, 17:26

Alex2

Mengenlehre

Meine Frage:
Guten Tag liebe Helfer!

Ich hänge an einem Übungszettel fest. Ich soll zeigen, dass diese Mengen offen sind.

a) (-2; 2)
b) {(a | b) : a² + b² < 5}
c) M^c mit M = [0; 1]

c heißt komplementär

Meine Ideen:
Ich komme damit nicht klar. Bei der a) ich muss odch zeigen, dass für alle Elemente aus dieser Menge gilt, dass diese nur von Elementen eben dieser Menge umgeben sind oder? Also dass ich zu jedem Element aus (-2; 2) ein Epsilon-Umkreis oder hier halt eine eindimensionale Epsiolon-Umgebung gitb, in der nur Elemente aus (-2; 2) liegen.

Stimmt das so?

Wenn ja, wie stelle ich dies für jedes Element der Menge an? (Es sind ja unendlich viele)

24.02.2012, 19:34

giu

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Hi Alex

Genau. Das bedeutet, dass wir für alle x in der jeweiligen Menge eine beliebig kleine Umgebung finden so, dass diese komplett in der Menge enthalten ist. Diese Umgebung kann sich auch beliebig nahe am Rand der Menge befinden. Wichtig ist dabei zu beachten, dass sich jeweils kein x auf dem Rand der Menge befinden darf.

Wie sieht es nun mit a.) aus? Was sind die Ränder? Und ist es möglich, dass sich ein x auf dem Rand dieser Menge befindet?

24.02.2012, 21:15

Alex2

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Die Ränder sind -2 und 2. Ich bin da ein richtiger blutiger Amateur. Ich habe mir das graphisch skizziert. So weit bin ich gekommen:

Sei $\begin{eqnarray*} x_1\in (-2;0) \end{eqnarray*}$ . Der Abstand von $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ zu -2 ist (2-x). Das heißt doch für $\begin{eqnarray*} \epsilon < (2-x_1) \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ nur von Punkten aus (-2; 2) umgeben. Ist das richtig?

Für $\begin{eqnarray*} x_2=0 \end{eqnarray*}$ ist der Abstand zu -2 und 2 gleich 2. Dann gilt doch für $\begin{eqnarray*} \epsilon < 2 \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ nur von Punkten aus (-2; 2) umgeben.

Für $\begin{eqnarray*} x_3\in (0;2) \end{eqnarray*}$ . Der Abstand von $\begin{eqnarray*} x_3 \end{eqnarray*}$ zu 2 ist auch (2-x). Das heißt doch für $\begin{eqnarray*} \epsilon < (2-x_3) \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} x_3 \end{eqnarray*}$ nur von Punkten aus (-2; 2) umgeben.

Also insgesamt ergibt sich dann das hier: Sei $\begin{eqnarray*} x\in (-2;2) \end{eqnarray*}$ . Für $\begin{eqnarray*} \epsilon < (2-x) \end{eqnarray*}$ ist x nur von Punkten aus (-2; 2) umgeben.
=> (-2; 2) ist offen.

Stimmt das so?

24.02.2012, 21:27

giu

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Hi Alex

Du kannst tatsächlich $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ beliebig klein wählen, und Du wirst sicherlich nie auf dem Rand der Menge landen.

Du kannst Dir das Ganze aber auch wie folgt visualisieren:

Wenn wir das Intervall $\begin{eqnarray*} (-2,2) \end{eqnarray*}$ "ausschreiben", dann ist das ja nichts anderes als die Menge $\begin{eqnarray*} M:=\{x \in \mathbb{R}\ |\ -2 < x < 2\} \end{eqnarray*}$ . Um es einfach auszudrücken, kann kein $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ dieser Menge jemals auf den Rändern sitzen, da die Ränder grob gesagt gar nicht Teil der Menge sind.

Siehst Du jetzt, warum $\begin{eqnarray*} (-2,2) \end{eqnarray*}$ eine offene Menge ist?

Es gilt natürlich, dass alle offene Intervalle (das sind Intervalle der Form $\begin{eqnarray*} (a,b) \end{eqnarray*}$ ) auch offene Mengen sind.

Kannst Du mir nun auch sagen, ob $\begin{eqnarray*} (-3,3] \end{eqnarray*}$ eine offene Menge ist?

24.02.2012, 21:42

Alex2

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toll danke! Freude

Also $\begin{eqnarray*} (-3,3] \end{eqnarray*}$ ist keine offene Menge, weil 3 der Rand ist. Nur wie beweise ich das? verwirrt

Das muss ja dann ein Widerspruchsbeweis sein, also ich muss mindestens ein Element finden, dass nicht nur von Elementen der Menge umgeben ist. Sei $\begin{eqnarray*} x=3\in (-3,3] \end{eqnarray*}$ . Für jedes $\begin{eqnarray*} \epsilon < 0 \end{eqnarray*}$ gilt dann $\begin{eqnarray*} 3+\frac{\epsilon }{2}\notin (-3,3] \end{eqnarray*}$

=> $\begin{eqnarray*} (-3,3] \end{eqnarray*}$ ist nicht offen. Ist das richtig?

24.02.2012, 21:55

giu

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Sehr gut! Wähle ich mein $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ nämlich genau auf dem Rand (ich kann das, weil der eine Rand ein Element unserer Menge ist), dann befindet sich die $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ -Umgebung um $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ nicht mehr komplett in unserer Menge, egal wie klein ich $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ wähle, und somit ist unsere Menge keine offene Menge.

Bei Intervallen kann man sich das wirklich so einfach vorstellen. Sobald der Rand des Intervalls in der Menge enthalten ist, können sich Element dieser Menge auf dem Rand befinden, und es handelt sich dabei um keine offene Menge.

Spannender wird es dann, wenn man auf die Eigenschaften der benachbarten Elemente schauen muss (muss man natürlich immer, nur kann man das bei endlichen Intervallen basically "vernachlässigen" in diesem Sinne), d.h. dass in jeder Umgebung eines Elements nur Elemente der gleichen Menge enthalten sind.

Ein Beispiel dafür ist die Menge der rationalen Zahlen $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ . Für jedes beliebige $\begin{eqnarray*} q\in\mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ lässt sich nämlich in einer beliebig kleinen $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ -Umgebung eine reelle Zahl finden, und deshalb folgt daraus, dass $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ nicht offen in $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ ist.

24.02.2012, 22:39

IfindU

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Nur eine kleine Ergänzung für eine technische Ungenauigkeit

Zitat:

Original von Alex2
Also insgesamt ergibt sich dann das hier: Sei $\begin{eqnarray*} x\in (-2;2) \end{eqnarray*}$ . Für $\begin{eqnarray*} \epsilon < (2-x) \end{eqnarray*}$ ist x nur von Punkten aus (-2; 2) umgeben.
=> (-2; 2) ist offen.

Hab erst später gesehen, dass der Fall 1 der Grund für den Fehler war. Vlt solltest du den Fehler lieber selbst korrigieren, ich dachte nur die Folgerung war falsch.

24.02.2012, 23:05

Alex2

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Tut mir Leid, dass ich nicht so schnell geantwortet habe, aber da stand immer "diese Seite konnte nicht angezeigt werden".... Aber Super! Vielen Dank giu! Das ist dann gar nicht so schwierig wie ich dachte. Zumindest im eindimensionalen. Bleiben noch b) und c)

b) {(a | b) : a² + b² < 5} =: M.

Das ist ja dann eine Ebene und kein Stück mehr einer Zahlengeraden. Ohje.
Für a=0 nimmt a² seinen kleinsten Wert an, nämlich 0 $\begin{eqnarray*} \Rightarrow b² < 5 \Leftrightarrow |b| < \sqrt{5} \end{eqnarray*}$ . Analog für b=0

Sei $\begin{eqnarray*} d[(x;y), (a;b)] \end{eqnarray*}$ der geringste Abstand des Punktes (x | y) vom Rand. Dann gilt für $\begin{eqnarray*} \epsilon < d[(x;y), (a;b)] \end{eqnarray*}$ ist (x | y) nur von Punkten aus M umgeben.

Das stimmt glaube ich so nicht....

@IfindU

Welchen Fehler? meinst du vielleicht so: Sei $\begin{eqnarray*} x\in (-2;2) \end{eqnarray*}$ . Für $\begin{eqnarray*} \epsilon < (2-|x|) \end{eqnarray*}$ ist x nur von Punkten aus (-2; 2) umgeben.
=> (-2; 2) ist offen. ?

25.02.2012, 00:05

SusiQuad

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Ein topologischer Raum $\begin{eqnarray*} (X, \mathcal{T} ) \end{eqnarray*}$ besteht aus einer (Grundmenge) $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ und einer Topologie $\begin{eqnarray*} \mathcal{T} \end{eqnarray*}$ , wobei man ein $\begin{eqnarray*} A \subseteq X \end{eqnarray*}$ offen in $\begin{eqnarray*} \mathcal{T} \end{eqnarray*}$ nennt, falls $\begin{eqnarray*} A \in \mathcal{T} \end{eqnarray*}$ . D.h. ausdrücklich nix anderes als die Zugehörigkeit zum Mengensystem $\begin{eqnarray*} \mathcal{T} \end{eqnarray*}$ .

In der Aufgabe (a),(c) scheint $\begin{eqnarray*} X = \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ zu sein, weil $\begin{eqnarray*} M= (-2~;~2) \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} M= [0~;~1] \end{eqnarray*}$ wie Intervalle aussehen. Bei (b) wird $\begin{eqnarray*} X = \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ sein. - Soweit, so unvollständig, denn was $\begin{eqnarray*} \mathcal{T} \end{eqnarray*}$ sein soll, darüber spricht hier niemand.

Im Fall der indiskreten Top. $\begin{eqnarray*} \mathcal{T} = \{\emptyset,X\} \end{eqnarray*}$ ist keine der Mengen M offen oder abgeschlossen, weil $\begin{eqnarray*} \emptyset \neq ~M~, ~M^c~ \neq X \end{eqnarray*}$ .

Im Fall der diskreten Top. $\begin{eqnarray*} \mathcal{T} = \mathfrak{P}(X) \} \end{eqnarray*}$ = 'Potenzmenge von X' ist jedes $\begin{eqnarray*} M \subseteq X \end{eqnarray*}$ gleichzeitig offen und abgeschlossen, da jedes $\begin{eqnarray*} M \in \mathcal{T} \end{eqnarray*}$ und damit $\begin{eqnarray*} M^c \in \mathcal{T} \end{eqnarray*}$ .

Bevor man also von offen spricht, sollte man sagen, um welche $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mathcal{T} \end{eqnarray*}$ es sich handelt.

Konstruktiv :
(a) Sei $\begin{eqnarray*} X~=~\mathbb R \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mathcal{T} \end{eqnarray*}$ die von der Euklid.Norm erzeugte Topologie, dann ist $\begin{eqnarray*} M= (-2~;~2) = B_{\epsilon}(0) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \epsilon = 2 \end{eqnarray*}$ , also "von Natur" aus offen (in $\begin{eqnarray*} \mathcal{T} \end{eqnarray*}$ ).

(b) ... blabla wie (a) ..., dann ist $\begin{eqnarray*} M= [0~;~1] = (-\infty~;~0) \cup (+1~;+\infty) \end{eqnarray*}$ Vereinigung zweier Intervalle (= offene Mengen in $\begin{eqnarray*} \mathcal{T} \end{eqnarray*}$ ).

... usw ...

25.02.2012, 00:14

SusiQuad

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Tipp (c): $\begin{eqnarray*} M = B_{5}(0) \end{eqnarray*}$ in der Euklid.Top des $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ .
..., man braucht nix mit konkretem $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ rechnen, wenn die $\begin{eqnarray*} B_{\epsilon}(x) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x \in X \end{eqnarray*}$ die Topologie erzeugen.

25.02.2012, 16:27

Alex2

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Hi SusiQuad, auf diese Weise haben wir das noch nie gemacht. Ich danke dir aber für dein Mühe. Kann ich es auf meine Weise gar nicht schaffen?

25.02.2012, 18:11

SusiQuad

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@Alex
Doch.

25.02.2012, 20:17

Alex2

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Kannst du oder auch gern jemand anders mir dann sagen, ob ich die b) richtig so gemacht habe und wenn nein, wie ich besser vorgehen sollte?

Nochmals danke für deine Mühe SusiQuad, ich wünschte so wie du es aufgeschrieben hast hätten wir es auch in der Vorlesung behandelt.

25.02.2012, 22:15

SusiQuad

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Ich hatte oben (b) und (c) vertauscht, sry.

Sei also $\begin{eqnarray*} X= \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ unsere Standardebene, versehen mit der Euklidischen Topologie, d.h. der Norm $\begin{eqnarray*} \left|\binom{x}{y} \right| = \sqrt{x^2 + y^2} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} \binom{x}{y} \in \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ , dann stelle zunächst fest, dass $\begin{eqnarray*} \left|\binom{x}{y} \right|~=~1 \end{eqnarray*}$ ein Kreis um 0 mit Radius 1 darstellt und keine Ebene oder so.

Entsprechend ist $\begin{eqnarray*} M= \lbrace \binom{x}{y} \in \mathbb{R}^2 ~:~ \left| \binom{x}{y} \right| < 5 \rbrace = B_{\sqrt{5}}(0,0) \end{eqnarray*}$ d.h. ein Kreis um Null mit Radius $\begin{eqnarray*} \sqrt{5} \end{eqnarray*}$

An dieser Stelle machst Du eine Skizze, d.h. zeichnest diesen Kreis M.
Nun lässt Du Deinen Stift zufällig in den Kreis fallen, d.h. Du hast jetzt irgendeinen Punkt $\begin{eqnarray*} \binom{x_0}{y_0} \end{eqnarray*}$ darin.
Das Bällchen $\begin{eqnarray*} B_{\epsilon}(x_0,y_0) \end{eqnarray*}$ um $\begin{eqnarray*} \binom{x_0}{y_0} \end{eqnarray*}$ muss ganz in $\begin{eqnarray*} M~=~B_{\sqrt{5}}(0,0) \end{eqnarray*}$ sein. Zeichne deshalb vom Nullpunkt durch $\begin{eqnarray*} \binom{x_0}{y_0} \end{eqnarray*}$ den Radius bis zum Rand von M.

Du suchst also nur ein geeignetes $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ , ja?
Dies hängt natürlich von diesem Zufallspunkt $\begin{eqnarray*} \binom{x_0}{y_0} \end{eqnarray*}$ ab.
An der Skizze erkennst Du:
$\begin{eqnarray*} \epsilon = \sqrt{5} - \left| \binom{x_0}{y_0} \right| = \sqrt{5} - \sqrt{{x_0}^2 + {y_0}^2} \end{eqnarray*}$ ist geeignet. Halt das übliche Puzzle-Spiel.

26.02.2012, 04:04

SusiQuad

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Korrektur:
Du hast natürlich erkannt, dass es in der Angabe von M heissen muss
$\begin{eqnarray*} \left| \binom{x}{y} \right| < \sqrt{5} \end{eqnarray*}$ und nicht $\begin{eqnarray*} < 5 \end{eqnarray*}$

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