Lösung der Laplacegleichung auf Kreischeibe(Seperationsansatz)

24.02.2012, 17:37

Hasselpuff

Lösung der Laplacegleichung auf Kreischeibe(Seperationsansatz)

Hallo zusammen!
In diesem Artikelabschnitt von Wikipedia
http://de.wikipedia.org/wiki/Laplace-Gle...wei_Dimensionen

steht das der Seperationsansatz auf zwei gewöhnliche Differentialgleichungen führt.
Wie das? Setze ich diesen in die Polarkoordinatenform der Laplacegleichung ein sehe ich nicht so wirklich etwas das mir das Lösen erleichtert.

Habe heir diesen Beitrag gefunden:
Dirichletproblem

Nehme also an man setzt die beiden Teile des Seperationsansatzen einzeln ein.
Aber wo kommt dann das
$\begin{eqnarray*} w'' + \lambda w = 0 \end{eqnarray*}$
her? Setze ich es hier ein:
$\begin{eqnarray*} {1 \over \rho} {\partial \over \partial \rho} \left( \rho {\partial \Phi \over \partial \rho} \right) + {1 \over \rho^2} {\partial^2 \Phi \over \partial \varphi^2} =0 \end{eqnarray*}$

kommt bei mir nur:
$\begin{eqnarray*} \frac{w''}{r^2}=0 \end{eqnarray*}$
raus.

24.02.2012, 21:20

ThomasL

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RE: Lösung der Laplacegleichung auf Kreischeibe(Seperationsansatz)
Der Ansatz $\begin{eqnarray*} \Phi(r, \phi)=v(r)w(\phi) \end{eqnarray*}$ führt (nach Ableiten der Klammer) zur Gleichung

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{r}v'(r)w(\phi)+ v''(r)w(\phi) +\frac{1}{r^2}v(r)w''(\phi)=0 \end{eqnarray*}$

jetzt noch geeignet dividieren...

24.02.2012, 21:41

Hasselpuff

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Würde aus Gewohnheit sagen das man nochmal durch den Ansatz dividiert. Sehe leider noch immer nicht wie ich damit weitermachen kann.
Kannst du mir da noch nen Hinweis geben?

24.02.2012, 22:24

ThomasL

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Zitat:

Original von Hasselpuff
Würde aus Gewohnheit sagen das man nochmal durch den Ansatz dividiert.

richtig, und anschliessend noch mit $\begin{eqnarray*} r^2 \end{eqnarray*}$ multiplizieren:

$\begin{eqnarray*} r\frac{v'(r)}{v(r)} +r^2\frac{v''(r)}{v(r)}=-\frac{w''(\phi)}{w(\phi)}=:\lambda \end{eqnarray*}$

24.02.2012, 22:48

Hasselpuff

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Ahhhh!!!
hab nicht dadrab gedacht das die zwei teile ja unabhängig voneinander sind und die Terme dann konstant sind.

Danke dir!!

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Lösung der Laplacegleichung auf Kreischeibe(Seperationsansatz)

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