Logistisches Wachstum

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24.02.2012, 18:34	Lk-Mathe	Auf diesen Beitrag antworten »
Logistisches Wachstum Meine Frage: Hallo ^^ Ich soll eine Aufgabe zu logistischem Wachstum lösen, aber wir haben solch eine Aufgabe noch nicht gelöst, darum habe ich einige Schwierigkeiten.. Die Aufgabe: Logistisches Wachstum einer Population wird durch die Funktion f mit $\begin{eqnarray} f(t)= \frac{G}{1+cGe^{-rGt}} \end{eqnarray}$ beschrieben, wobei G eine obere Grenze für die Größe f(t) der Population ist, c>0 durch die Größe der Population zum Zeitpunkt t=0 festgelget ist und r>0 die Wachstumsgeschwindigkeit bestimmt. a) Berechne, welcher Zusammenhang zwischen dem Wert von c und der Größe der Population zum Zeitpunkt t=0 besteht. Also ich verstehe erst einmal nicht, was "obere Grenze für die Größe f(t)" bedeuten soll.. Und außerdem weiß ich auch nicht, mit was für einem Ansatz ich an die Aufgabe herangehen soll.. Würde mich für jede Hilfe freuen.. Lg Meine Ideen:
24.02.2012, 23:37	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Die logistische Wachstumsfunktion ist - ähnlich wie jene des begrenzten Wachstums - dadurch gekennzeichnet, dass eine bestimmte Grenzpopulation G nicht überschritten werden kann. Dies ist daran zu erkennten, dass der Grenzwert der Funktion für $\begin{eqnarray} t \to \infty \end{eqnarray}$ eben G ist, weil die e-Potenz infolge des negativen Vorzeichens des Exponenten gegen Null geht. f(0) berechnet man mittels t = 0, dann ist $\begin{eqnarray} f(0) = \frac G {1 + cG} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \ldots \end{eqnarray}$ Der gesuchte Zusammenhang ergibt sich, wenn du aus der obigen Gleichung c berechnest. mY+
24.02.2012, 23:43	Mathewolf	Auf diesen Beitrag antworten »
Betrachte dir mal f(0). Das ist der kleinste Wert von f im Intervall $\begin{eqnarray} [0,\infty[ \end{eqnarray}$ , denn es gilt $\begin{eqnarray} f(0) = \frac G{1+c\,G} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \lim_{t\to\infty} \frac{G}{1+cG\,e^{-rGt}}=G \end{eqnarray}$ Da für alle $\begin{eqnarray} t\in\mathbb R f(t)<G \end{eqnarray}$ ist, ist G obere Grenze von f. Edit: mYthos war schneller.
25.02.2012, 13:56	Lk-Mathe	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich verstehe nur noch nicht genau, wie ich c berechnen soll, damit sich der gesuchte Zusammenhang ergibt..
25.02.2012, 14:50	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Die bereits angegebene Gleichung nach c umstellen ... (hab' ich dir schon in der vorigen Antwort geschrieben!) Dann sieht man, wie c von der Anfangspopulation f(0) abhängt. mY+
25.02.2012, 15:05	Lk-Mathe	Auf diesen Beitrag antworten »
ja, ich weiß, dass ich es nach c umstellen muss.. aber meinst du diese Gleichung: [latex] 0=\frac{G}{1+c*G} [\latex] da kann die Gleichung doch gar nicht Null ergeben, weil es ein Bruch ist (außer G=0) darum bin ich etwas durcheinander gekommen..
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25.02.2012, 15:11	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Es sagt ja niemand, dass NULL herauskommen soll. f(0) ist ja (im Allgemeinen) gar nicht Null. Nochmals: Es ist c in Abhängigkeit von f(0) zu berechnen. mY+
25.02.2012, 15:18	Lk-Mathe	Auf diesen Beitrag antworten »
ja stimmt.. f(0) ist ja gar nicht null.. Aber ich weiß nicht, wie ich c berechne.. wie soll ich es denn umstellen, wenn auf der einen Seite f(0) steht?
25.02.2012, 15:20	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
f(0) ist als bekannt vorauszusetzen. Behandle dies wie jede andere konstante Zahl. Es geht ja wie gesagt um den Zusammenhang, WIE c von f(0) abhängt. Stelle einfach nach c um. mY+
25.02.2012, 15:22	Lk-Mathe	Auf diesen Beitrag antworten »
achso dann habe ich: c= $\begin{eqnarray} \frac{-[f(0)-G]}{Gf(0)} \end{eqnarray*}$
25.02.2012, 15:38	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, kannst doch gleich schreiben $\begin{eqnarray} c = \frac{G - f(0)}{G \cdot f(0)} \end{eqnarray}$ Wenn du das noch in zwei Brüche trennst (was nicht Bedingung ist), sieht man den Zusammenhang eventuell noch besser. mY+
25.02.2012, 15:52	Lk-Mathe	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \frac{G}{Gf(0)} -\frac{f(0)}{Gf(0)} \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \frac{1}{f(0)}-\frac{1}{G} \end{eqnarray}$ Und was könnte ich als Antwortsatz schreiben? Weil ich verstehe nicht so genau, wie ich den Zusammenhang formulieren kann..
25.02.2012, 16:18	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Das IST bereits der geforderte Zusammenhang. Was soll den noch dazu gerechnet werden? Eventuell ist der Zusammenhang auch in Worten zu beschreiben: c ist umso ... als ... statt der ... sollst du nun etwas einsetzen. Was? mY+
25.02.2012, 16:25	Lk-Mathe	Auf diesen Beitrag antworten »
Ne, ich meinte ja nicht, dass noch was dazu gerechnet werden muss.. Ich meinte so eine Formulierung, wie du sie mir auch gerade vorgegeben hast.. c ist umso kleiner als G ?
25.02.2012, 16:30	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Denke an die Frage: Es geht weniger um G als um f(0)
25.02.2012, 16:33	Lk-Mathe	Auf diesen Beitrag antworten »
c ist umso kleiner als ... ich komm irgendwie nicht drauf ^^'
25.02.2012, 16:34	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
... je größer f(0) ist.
25.02.2012, 16:35	Lk-Mathe	Auf diesen Beitrag antworten »
also je größer die Zeit wird? z.b c kleiner bei f(3) ?
25.02.2012, 16:37	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Lass' doch die Zeit! Es ist gefragt, wie sich c in Abhängigkeit von f(0) verhält und nichts weiter! mY+
25.02.2012, 16:41	Lk-Mathe	Auf diesen Beitrag antworten »
oke ^^ Ich hab noch eine Frage zu der nächsten Aufgabe: Bestimme für G=1000 und f(0)=100 den Wert von c, und untersuche dann die Funktionenschar f_r in Abhängigkeit von r = R+ Skizziere den Graphen von f_r für r=10^-4 * d^-1 Also für c habe ich 0,009 Und ich wollte nur fragen, ob ich bei der Untersuchung für G auch 1000 lassen muss, dass nur noch r als unbekannte bleibt? und d steht für Tag. aber ich weiß ja nicht, ob t in min oder stunden angegeben ist, also wie rechne ich dann mit dem tag um?
25.02.2012, 17:38	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, G = 1000 soll bleiben. Du brauchst auch nichts umrechnen, die Funktionsgleichung gilt offensichtlich für Zeiteinheiten in Tagen. Setze in die Funktion nun alle bekannten Werte ein. Bei der Schar variiere zunächst die Werte von r, bei der Skizzierung des Graphen setzt du für r dann auch noch 0,0001 mY+
25.02.2012, 18:12	Lk-Mathe	Auf diesen Beitrag antworten »
achso okay dann hab ich ja alles richtig gemacht Danke für deine Hilfe und für deine echt große Geduld ^^

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