Berechnung des Abstandes von Ebene 1 bis Ebene 2

24.02.2012, 22:04	gucksi	Auf diesen Beitrag antworten »
Berechnung des Abstandes von Ebene 1 bis Ebene 2 Meine Frage: Hallo, ich habe eine gute Seite zu Abstandberechnungen gefunde, wo zu den Aufgaben auch die Lösungen sind. Aber bei der Aufgabe 2.2 habe ich leider Probleme. Hier der Link zur PDF Seite http://www.sopicki.de/download/mathematik/abstand.pdf Meine Ideen: Wie auf die vektoren von n1 und n2 ist mir klar (kann die aus den vorgegeben zwei Ebenen rauslesen). Aber was ich überhaupt nicht verstehe ist, wie die auf den Bruch n1 = -2/3 n2 Und dann steht da noch R (1 / -1/2 / 1). Leider weiss ich nicht wie ich auf diese Zahlen kommen kann, mir gelingt es nicht das von oberen Aufgaben abzuleiten. Kann mir jemand von euch bei diesen zwei Problemen helfen und mir erklären wie darauf komme??? Danke
24.02.2012, 22:20	giu	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi gucksi $\begin{eqnarray} \vec{n_1} = -\frac{2}{3} \cdot \vec{n_2} = -\frac{2}{3} \cdot \begin{pmatrix} -6 \\ 3 \\ -6\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-\frac{2}{3} \cdot -6 \\ -\frac{2}{3} \cdot 3 \\ -\frac{2}{3} \cdot -6\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ -2 \\ 4\end{pmatrix} = \vec{n_1} \end{eqnarray}$ Diese Gleichung besagt nur, dass sich der Vektor $\begin{eqnarray} \vec{n1} \end{eqnarray}$ durch den Vektor $\begin{eqnarray} \vec{n2} \end{eqnarray}$ darstellen lässt, indem man $\begin{eqnarray} \vec{n2} \end{eqnarray}$ mit dem skalaren Wert $\begin{eqnarray} -\frac{2}{3} \end{eqnarray}$ multipliziert.
24.02.2012, 22:25	gucksi	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi giu, danke für deine Antwort, jetzt weiß ich wenigstens schonmal was diese -2/3 zu bedeuten hat. Aber wie komme ich denn überhaupt aus diese -2/3 ? Wenn die da in der Lösung nicht stehen würde wüsste ich nicht wie ich auf diesen Bruch kommen kann.
24.02.2012, 23:07	giu	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi gucksi You're welcome! Beispielsweise fällt bei $\begin{eqnarray} \vec{n_2} = \begin{pmatrix}-6\\3\\-6\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ auf, dass dies das Gleiche ist wie $\begin{eqnarray} 3 \cdot \begin{pmatrix}-2\\1\\-2\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . Nun sieht man auch, dass $\begin{eqnarray} 2 \cdot \begin{pmatrix}-2\\1\\-2\end{pmatrix} =\vec{n_1} \end{eqnarray}$ ist. Also kann man folgern, dass wenn wir den Vektor $\begin{eqnarray} \vec{n_2} \end{eqnarray}$ zuerst mit den skalaren Werten $\begin{eqnarray} \frac{1}{3} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} 2 \end{eqnarray}$ multiplizieren, dass wir den Vektor $\begin{eqnarray} \vec{n_1} \end{eqnarray}$ erhalten. Leider weiss ich nicht, ob Du Dich bereits mit der Linearen Algebra und dem Gauss'schen Eliminationsverfahren befasst hast. Ansonsten kann man die lineare Abhängigkeit beider Vektoren zeigen, in dem man überprüft, ob das homogene Gleichungssystem $\begin{eqnarray} -6x_1 + 3x_2 - 6x_1 = 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 4x_1 - 2x_2 + 4x_1 = 0 \end{eqnarray}$ nur die triviale Lösung, also $\begin{eqnarray} x_1 = x_2 = x_3 = 0 \end{eqnarray}$ besitzt. In diesem Beispiel wirst Du sehen, dass wenn ich die erste Gleichung mit 3 dividiere und dann mit 2 multipliziere, und ich sie dann so von der zweiten Gleichung abziehe, dass die zweite Gleichung dann komplett verschwindet. In diesem Falle besitzt unser Gleichungssystem nicht nur die triviale Lösung. Dies bedeutet, dass die beiden Vektoren linear abhängig sind, d.h. man kann den einen Vektor durch den anderen darstellen, was dann auch tatsächlich gemacht wird mit $\begin{eqnarray} \vec{n_1} = -\frac{3}{2} \cdot \vec{n_2} \end{eqnarray}$

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