Tangenteneinheitsvektor

25.02.2012, 09:38	Andrea-mag-Mathe	Auf diesen Beitrag antworten »
Tangenteneinheitsvektor Meine Frage: Hallo Zusammen, ich habe eine Frage zum Tangenteneinheitsvektor. Ich hatte es eigentlich so verstanden, dass ich die erste Ableitung bilde und dann durch die Länge des Vektors teile. $\begin{eqnarray} x(t)= \begin{pmatrix} t^{3} \\ t^{2} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} -1\leq t\leq 1 \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Ich hätte jetzt einfach die Ableitung gebildet $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 3t^{2} \\ 2t \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und hätte dann die Länge des Vektors gebildet: $\begin{eqnarray} \sqrt{\begin{pmatrix} \left(3t^{2} \right) ^{2} \\ \left(2t\right) ^{2} \end{pmatrix} } \end{eqnarray}$ ähm soll natürlich + sein. Allerdings geben sie eine komplett andere Lösung an und ich überhaupt nicht was die damit zu tun hat??? In der Musterlösung ist der Tangenteneinheitsvektor folgender: $\begin{eqnarray} \frac{1}{\sqrt{\left(9t^{2} +4\right) } } \times \begin{pmatrix} 3\|t \| \\ 2sign t \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Vielleicht kann mir ja jemand einen Tipp geben, warum meine Lösung überhaupt nicht stimmt. Ich würde mich sehr freuen, die Aufgaben verstehen zu können!
25.02.2012, 10:19	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Du kommst sofort zu der Lösung, wenn du den Ableitungsvektor vorher noch durch t kürzt und dabei das mögliche Vorzeichen von t berücksichtigst: $\begin{eqnarray} x \ ' (t) = \begin{pmatrix} 3 \|t\| \\ 2 \cdot \text{sign} \ t \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Diesen kannst du nun normieren (d.h. auf die Länge 1 bringen). mY+
25.02.2012, 10:26	Andrea-mag-Mathe	Auf diesen Beitrag antworten »
DAnke für die schnelle Antwort. Das bedeutet dass ich das Signum einfüge, da mein t zwischen -1 und 1 liegen kann?
25.02.2012, 13:50	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
.. weil das t auch negativ sein kann. Deswegen kann in diesem Fall der Tangentenvektor in zwei verschiedene Richtungen hin orientiert sein, wie auch die Steigung verschieden Vorzeichen besitzen kann. mY+
25.02.2012, 13:56	lokalkompakt	Auf diesen Beitrag antworten »
Andrea dein Weg ist schon richtig. Wenn du die Länge des Vektors bildest, kommst du auf $\begin{eqnarray} \sqrt{t^2\cdot (9t^2+4)} \end{eqnarray}$ Jetzt kannst du aus $\begin{eqnarray} t^2 \end{eqnarray}$ die wurzel ziehen, da kommt dann $\begin{eqnarray} \|t\|\cdot \sqrt{9t^2+4} \end{eqnarray}$ raus . Was die in der Musterlösung gemacht haben: Durch $\begin{eqnarray} \|t\| \end{eqnarray}$ dividiert. Da kommt dann genau das raus, was da steht. Edit: Wenn du nicht siehst warum, guck dir die Def. des Signums an.
25.02.2012, 14:46	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Du erzählst hier nichts Neues. Denn das Ausklammern von t² aus der Wurzel ist nicht notwendig, wenn man dies schon vorher mit t aus dem Vektor gemacht hat. mY+
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