Integration schwierige Funktion

25.02.2012, 13:14

zunku

Integration schwierige Funktion

Meine Frage:
Die Funktion:

\int_a^b \! \frac{1}{1 + 2\cos(x) } \, dx

Wolfram löst das mit Substitution von u = tan(x/2) aber das ist doch ein sehr schwieriger weg, geht das eventuell einfacher?

Meine Ideen:
Substituion

25.02.2012, 13:16

zunku

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RE: Integration schwierige Funktion
sorry tab latex vergessen

$\begin{eqnarray*} \int_a^b \! \frac{1}{1 + 2\cos(x) } \, dx \end{eqnarray*}$

25.02.2012, 13:32

Mulder

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RE: Integration schwierige Funktion
Wenn es noch einen anderen Weg gibt, glaube ich nicht, dass der einfacher ist.

Was findest du an der Substitution denn schwierig? verwirrt

Ist doch bloß stures runterrechnen, wenn man die zielführende Substitution schon kennt.

Das Ding nennt sich Generalsubstitution und ist ein sehr gängiger Lösungsweg für Integrale dieser Bauart.

25.02.2012, 13:42

zunku

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coole Sache wusste garnicht dass das so ein "Algorithmus" ist mit tan(x/2).. den sollte man sich also als Substitution merken und auch die definition von sin und cos über diese Substitution .. ich probier mich gleich ma an die Aufgabe ran und versuch es dann zu posten.. danke smile

25.02.2012, 14:15

zunku

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einsetzen der terme führt mich auf

integral: 4t^2 / (1+t^2) ^ 2 .. die partialbruchzerlegung ist hier etwas schwer, da eine nullstelle i ist also komplex und es ja iwie schwer ist da ne polynom division zur partialbruchzerlegung durchzuführen

25.02.2012, 14:18

zunku

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vorher war es übrigens:

$\begin{eqnarray*} \int_a^b \! (\frac{2t}{1+t^2})^2 \, dx \end{eqnarray*}$

25.02.2012, 14:29

Mulder

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Es sollte so aussehen:

$\begin{eqnarray*} \cos(x) = \frac{1-t^2}{1+t^2} \quad , \quad \dd x = \frac{2}{1+t^2} \end{eqnarray*}$

Liefert eingesetzt:

$\begin{eqnarray*} \int \frac{1}{1+ 2 \frac{1-t^2}{1+t^2}} \, \frac{2}{1+t^2} \, \dd t = \int \frac{1}{\frac{1+t^2+2-2t^2}{1+t^2 } } \, \frac{2}{1+t^2} \, \dd t \end{eqnarray*}$

Da kürzt sich nun eine ganze Menge weg (beachte den Doppelbruch, das 1+t² wandert in den Zähler, wenn du den auflöst).

Edit: Korrigiert, hatte statt (1+2cos(x)) hier (2+cos(x)) gelesen... Forum Kloppe

25.02.2012, 14:41

zunku

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am ende lande ich bei

integral:
2 * integral über 1/(3- t^2) was irgendwie einfach aussieht aber ich sehe irgendwie keine gute Substitution :S

25.02.2012, 14:46

Mulder

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Substitution ist ja auch nicht nötig (hatte ich zwar vorhin geschrieben, aber wie gesagt, ich hatte ein anderes Integral gelesen, als du tatsächlich angegeben hast, sorry).

Jetzt geht's doch mit Partialbruchzerlegung. Wenn du willst, kannst du ja vorher noch

$\begin{eqnarray*} t = \sqrt{3}\, u \end{eqnarray*}$

substituieren.

25.02.2012, 15:20

zunku

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soo jetzt habe ich es ^^ danke dir..

hast du die Substitution am ende angeboten damit die nullstellen des Nenners einfacher werden und man dann einfacher zerlegen kann?
ich habs ohne gemach was mit nullstellen von wurzel3 und minus wurzel 3 schon anstrengend war..

könntest du abschließend nochmal sagen wo die generalsubstituion hilfreich ist und wo man sie eher nicht anwenden sollte obwohl sin und cos vorkommen?

25.02.2012, 16:02

Mulder

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Zitat:

Original von zunku
hast du die Substitution am ende angeboten damit die nullstellen des Nenners einfacher werden und man dann einfacher zerlegen kann?

Ja. Ist aber nicht zwingend notwendig.

Zitat:

Original von zunku
könntest du abschließend nochmal sagen wo die generalsubstituion hilfreich ist und wo man sie eher nicht anwenden sollte obwohl sin und cos vorkommen?

Tut mir leid, aber allgemeine Aussagen sind beim Integrieren kaum möglich. In dem Link steht ja genau drin, bei welcher Form von Integralen man die Generalsubstitution verwenden kann.

Letztlich ist Integrieren eben Übungssache.

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