Aussonderungsaxiom/ Allmenge

Neue Frage »

Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »
Aussonderungsaxiom/ Allmenge
Meine Frage:
Hallo, ich habe gerade ein paar Verständnisschwierigkeiten.

Und zwar habe ich Folgendes in meinem Skript stehen:

Falls , dann soll bedeuten

(Aussonderungsaxiom!)

Ohne diese Festsetzung:

"Allmenge"

Russellsche Antinomie!

Meine Ideen:
Ich verstehe hier den Zusammenhang nicht so genau, zwischen dem, was ich eben aufgeschrieben habe, dem Aussonderungsaxiom und der Russell-Antinomie.

Ich wusste bisher nur, daß man definiert, wenn die Teilmengen von sind.


Kann mir jemand das erklären, wie das zusammenhängt mit dem Skriptauszug?
pseudo-nym Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Aussonderungsaxiom/ Allmenge
Wenn Zitat wortgetreu. Gehe zum Dozenten.

Rege ganze Sätze an.

Sonst:
  • verwirrt
  • traurig


Zitat:
Original von Dennis2010
Falls , dann soll bedeuten

(Aussonderungsaxiom!)


Was ist A und ?

Zitat:
Original von Dennis2010
Ohne diese Festsetzung:

"Allmenge"

Russellsche Antinomie!


Für gewöhnlich definiert man und dies ist für die Allklasse V.

Das V eine echte Klasse ist kann man mit Hilfe der Russelschen Antimonie und dem Aussonderungsaxiom zeigen.
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Aber warum ist das für die Allklasse?

Was ist die Allklasse, wir hatten nur "Allmenge" als Menge aller Mengen.

----------

Und wie kommt hier das Aussonderungsaxiom ins Spiel?
pseudo-nym Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Dennis2010
Aber warum ist das für die Allklasse?

Weil für alle x wahr ist.

Zitat:
Original von Dennis2010
Was ist die Allklasse, wir hatten nur "Allmenge" als Menge aller Mengen.

Achtung! Die Klasse aller Mengen ist keine Menge.

Im Rahmen welcher Vorlesung kommt das vor? Es wundert mich gerade etwas, dass du mit dem Aussonderungsaxiom hantierst, aber scheinbar den Unterschied zwischen einer echten Klasse und einer Menge nicht kennst.

(Was ist A und ?)
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich kenne den Unterschied nicht, weil wir den Begriff "Klasse" nicht hatten.

Was ist denn eine Klasse und was eine echte Klasse?


----

Das ist "mengentheoretische Topologie".


Ich weiß nicht, was A und sein sollen, sorry.
pseudo-nym Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Dennis2010
Was ist denn eine Klasse und was eine echte Klasse?


Das kommt darauf an wie fit du in Logik bist, aber in "Fundamentals of Mathematical Logic" steht eigentlich alles was man braucht um den Begriff zu verstehen.

----
Zitat:
Original von Dennis2010
Das ist "mengentheoretische Topologie".

Dann vermute ich, dass euer Dozent nur einen Exkurs gemacht hat. Er will warscheinlich andeuten, dass es bei der Schnittdefinition für die leere Indexmenge zu mengentheoretischen Schwierigkeiten kommt. Deswegen muss die Definition modifiziert werden.

Zitat:
Original von Dennis2010
Ich weiß nicht, was A und sein sollen, sorry.


Durchsuche dein Skript nach den Definitionen. Wenn du sie wirklich nirgends findest, frage den Dozenten/Übeungsleiter.
 
 
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Also, wenn ich das jetzt richtig verstanden habe, so hat man bei dem Schnitt und der leeren Indexmenge also das Problem, dass man die Allklasse, aber keine Menge bekommt.

Deswegen setzt man das dann willkürlich anders fest?

In dem Buch, das ich habe, steht:

"Ist eine Menge und für jedes eine Teilmenge von und , gilt ."

Ist das willkürlich festgelegt und wenn ja, wieso gerade so??


Hat man bei der Vereinigung auch so ein Problem, wenn ?
pseudo-nym Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Dennis2010
Ist das willkürlich festgelegt und wenn ja, wieso gerade so??

Das weiß ich nicht. Warscheinlich ergeben sich so Vorteile bei der Formulierung einiger Erkenntnisse. (Ähnlich wie bei der Festlegung, dass 1 keine Primzahl ist.)

Zitat:
Original von Dennis2010
Hat man bei der Vereinigung auch so ein Problem, wenn ?

Probier' es doch einfach aus.
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich würde schon sagen, daß man da auch wieder die Problematik hat, die Allklasse vorliegen zu haben, wenn .





Und das gilt doch für alle möglichen x aus irgendwelchen Mengen A.

Also ist obige Menge identisch mit .


Kann man das so sagen oder verwende ich hier Begrifflichkeiten falsch?



Edit: Andererseits... solche i existieren ja gar nicht. Es wäre also auch denkbar, daß diese Vereinigung einfach die leere Menge ist. verwirrt
pseudo-nym Auf diesen Beitrag antworten »

Die Art und Weise wie dieser Thread läuft ist nicht akzeptabel.

Du hast dir bisher für keine Antwort mehr als zehn Minuten Zeit gelassen. Das ist extrem wenig wenn man bedenkt, dass du Fragen stellst mit denen du alleine scheibar überhaupt in angemessener Zeit klarkommst und dieser Thread nicht der einzige ist in dem du aktiv bist.
Das alles ist an sich nicht schlimm, aber es macht sich in der Qualität deiner Beiträge bemerkbar.
Im letzten Beitrag machst du z.B. etwas, dass ich schon einmal bei dir bemängelt habe.
Anstatt zu versuchen die Widersprüche in den beiden Antwortmöglichkeiten, die dir eingefallen sind, zu beseitigen, beschließt du nach wenigen Minuten aufzugeben und mir einfach beide hinzuwerfen in der Hoffnung dass ich einfach auflöse.

Ich möchte in solch einem "Quiz" nicht mitwirken.
Stattdessen hätte ich es gerne, dass du dir ein wenig mehr Zeit nimmst um über meine Hinweise nachzudenken.
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Es ist so, daß ich beide Varianten für möglich halte, aber nicht erkennen kann, wie ich herausfinden kann, welche stimmt.

Darum habe ich beide hingeschrieben, um anzudeuten, welche Gedanken ich mir mache.


Ich möchte ja keine Auflösung.
pseudo-nym Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Dennis2010


Und das gilt doch für alle möglichen x aus irgendwelchen Mengen A.


Wähle und führe einmal vor, dass ist.
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Sei . Dann müsste es doch ein geben, sodaß .

Aber es gibt kein solches i, da die leere menge ja keine Elemente enthält.


----


Hoffentlich verärgere ich Dich damit nicht wieder.
pseudo-nym Auf diesen Beitrag antworten »

Was hat das zu tun?
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Entschuldige, dann verstehe ich nicht, was Du meinst.

Könntest Du es beschreiben?
pseudo-nym Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Dennis2010
Sei .

Das ist eine Definiton. So weit, so gut.

Zitat:
Original von Dennis2010
Dann müsste es doch ein geben, sodaß .

Hä? Waurm muss das so sein?

Zitat:
Original von Dennis2010
Aber es gibt kein solches i, da die leere menge ja keine Elemente enthält.

Sowohl die Aussage als auch die Begründung stimmen.

Wie daraus folgen soll ist mir allerdings ein Rätsel.
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Kannst Du mir vllt. nochmal sagen, wieso ich das eigentlich zeigen muss?

-------------------------

Um zu zeigen, daß dachte ich mir, müsste man ein Element aus hernehmen und zeigen, daß es in der Vereinigung ist? Daher dachte ich, daß es ein geben muss, sodaß dieses Element darin enthalten ist.

Daher das mit dem, daß ein existieren muss.


Eigentliich sollte das alles zeigen, daß N nicht Element der Vereinigung ist; ich hatte das als Gegenbeispieldafür empfunden, daß es sich um die Allklasse handelt.


Aber da scheint wieder ein Denkfehler zu sein.
pseudo-nym Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Dennis2010
Kannst Du mir vllt. nochmal sagen, wieso ich das eigentlich zeigen muss?

Zitat:
Original von Dennis2010
Eigentliich sollte das alles zeigen, daß N nicht Element der Vereinigung ist; ich hatte das als Gegenbeispieldafür empfunden, daß es sich um die Allklasse handelt.

Das ist tatsächlich der Sinn dieser Übung.

Zitat:
Original von Dennis2010
Um zu zeigen, daß dachte ich mir, müsste man ein Element aus hernehmen und zeigen, daß es in der Vereinigung ist?

Soweit ich sehen kann haben diese zwei Dinge nichts miteinander zu tun.
Überlege dir lieber folgendes:
Sei A eine Aussage. Was muss ich tun um zu zeigen?
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Dann muss man zeigen, daß x die Eigenschaft A erfüllt.


Übertragen auf die Übung heißt das:

Zeigen, daß die Eigenschaft "" erfüllt.


Auch hier komme ich nur wieder zu dem Argument, daß es so ein i nicht gibt.
pseudo-nym Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Dennis2010
Dann muss man zeigen, daß x die Eigenschaft A erfüllt.


Übertragen auf die Übung heißt das:

Zeigen, daß die Eigenschaft "" erfüllt.


Das stimmt.
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Aber wie zeigt man das bzw. widerlegt man das?

Anscheinend reicht es ja nicht aus, zu sagen: So ein i gibts nicht.

Tut mir leid, ich komme nicht drauf.
pseudo-nym Auf diesen Beitrag antworten »

Also das Problem ist folgendes. Wenn ich dich nach einem Beweis frage, möchte ich eine vollständig ausgearbeitete Argumentation, in der kein Schritt ausgelassen wird.
Um 21:48 hast du so eine Arumentation geliefert.
Wenn ich dann die Fehler beanstande, erwarte ich wieder eine vollständige Argumentation die die ursprüngliche Frage löst (ohne den Teil den ich beanstandet habe natürlich).
Momentan versuchst du immer nur genau die Passage zu verbessern, die ich bemängelt habe. Das führt zum einen dazu, dass ich nicht mehr nachvollziehen kann was du meinst und außerdem haben Fehler meist Implikationen, die du erstmal selber finden und beheben sollst.

Deswegen poste bitte eine ganze Argumentation, die die Frage
"Gilt ?" beantwortet.
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich versuche es. Aber ich fürchte, daß ich mich wiederhole.

Die Aussage gilt nicht, denn damit sie gelten würde, müsste gelten:




Und so ein i existiert nicht.




Ein anderes Argument habe ich nicht parat.
pseudo-nym Auf diesen Beitrag antworten »

Sehr gut, mit dieser Erkenntnis solltest du jetzt deine Frage von heute Nachmittag benatworten können.

Zitat:
Original von Dennis2010
Also, wenn ich das jetzt richtig verstanden habe, so hat man bei dem Schnitt und der leeren Indexmenge also das Problem, dass man die Allklasse, aber keine Menge bekommt.
[...]
Hat man bei der Vereinigung auch so ein Problem, wenn ?
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Meine Antwort lautet:

Die Vereinigung bei leerer Indexmenge ist die leere Menge.

war ja nur eine beliebige Menge und ebenso gilt ja dann auch für alle anderen x, daß sie nicht Element sind. Also ist die Vereinigung die leere Menge.




-----

Bleibt für mich nur noch die Frage, wieso man bei dem Durchschnitt ausgerechnet A setzt. Du sagtest, das habe vielleicht spezielle Gründe (z.B. der Einfachheit wegen). Aber fest steht jedenfalls, daß der Durchschnitt bei leerer Indexmenge keine Menge ist.
pseudo-nym Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Dennis2010
Die Vereinigung bei leerer Indexmenge ist die leere Menge.

war ja nur eine beliebige Menge und ebenso gilt ja dann auch für alle anderen x, daß sie nicht Element sind. Also ist die Vereinigung die leere Menge.

Das stimmt.
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, dann ist die Vereinigung bei leerer Indexmenge also die leere Menge (hier sorgt

doch das Aussonderungsaxiom dafür, daß es sich überhaupt um eine Menge handelt?)

und der Durchschnitt bei leerer Menge ist keine Menge.
pseudo-nym Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Dennis2010
hier sorgt doch das Aussonderungsaxiom dafür, daß es sich überhaupt um eine Menge handelt?

Damit ich dazu eine sinnvolle Antwort geben kann musst du das ausführen.
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich kann das schwer ausdrücken.

Ich meinte einfach, daß doch

(zum Beispiel bei eben die leere Menge) eine Menge ist, weil das Aussonderungsaxiom "es behauptet".
pseudo-nym Auf diesen Beitrag antworten »

Das Aussonderungsaxiom behauptet nicht, dass jede Klasse der Form eine Menge ist, (sonst wäre die Russelsche Antinomie ja auch eine Menge).
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Stimmt, das macht Sinn.

Ich hatte auch schon ein ungutes Gefühl, als ich das geschrieben hatte, denn sonst wäre es ja völlig überflüssig gewesen, herauszufinden, daß bei dem Schnitt bei leerer Indexmenge keine Menge vorliegt.


-------

Ich versuche krampfhaft hier irgendwie das Aussonderungsaxiom unterzubringen. Big Laugh

---------


Nochmal zurück zum Anfang dieses Threads.

Da hatte ich ja etwas geschrieben von und einer gewissen Menge A, zu der ich aber nicht genau sagen konnte, was das alles eigentlich bedeuten soll.

Kann es sein, daß man in dem Fall, daß man den Schnitt bei leerer Indexmenge bilden soll, einfach vereinbart, daß man sich dann auf eine Menge beziehen soll, damit man nicht die Allklasse herausbekommt, sondern eben die Menge?

Ich weiß nicht, ob ich das gut ausgedrückt habe...

Aber wenn man statt

vereinbart, daß man sich immer auf eine Menge A beziehen muss, deren Teilmengen die Mengen sind, käme man dann nicht darauf, daß dieser Schnitt die Menge A ist? Und hätte man so nicht verhindert, daß man die Allklasse herausbekommt, denn in Frage kommen ja jetzt nicht mehr ALLE x, sondern nur noch die aus der Menge A:

.

Und da hätte man doch jetzt aber das Aussonderungsaxiom, das garantiert, dass es sich um eine Menge handelt?


(Vielleicht ist so der Skriptauszug, den ich zuitiert hatte, zu verstehen.)
pseudo-nym Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Dennis2010
vereinbart, daß man sich immer auf eine Menge A beziehen muss, deren Teilmengen die Mengen sind, käme man dann nicht darauf, daß dieser Schnitt die Menge A ist? Und hätte man so nicht verhindert, daß man die Allklasse herausbekommt, denn in Frage kommen ja jetzt nicht mehr ALLE x, sondern nur noch die aus der Menge A:

.

Und da hätte man doch jetzt aber das Aussonderungsaxiom, das garantiert, dass es sich um eine Menge handelt?


(Vielleicht ist so der Skriptauszug, den ich zuitiert hatte, zu verstehen.)


Kann man so machen bis auf die Tatsache, dass du erst die Existenz eines A mit zeigen müsstest.
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Kann man die Existenz nicht wegen des Potenzmengenaxioms behaupten?
pseudo-nym Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von pseudo-nym
Also das Problem ist folgendes. Wenn ich dich nach einem Beweis frage, möchte ich eine vollständig ausgearbeitete Argumentation, in der kein Schritt ausgelassen wird.


Edit: Schreibfehler im letzen Post behoben. Es ist ein A gesucht.
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn A eine Menge ist, folgt die Existent von aufgrund des Potenzmengenaxioms.


Aber wie man zeigt, daß es so ein A gibt?... verwirrt ist mir leider unklar.
pseudo-nym Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Dennis2010
Wenn A eine Menge ist, folgt die Existent von aufgrund des Potenzmengenaxioms.


Das Potenzmengenaxiom sagt, dass eine Menge ist, aber es sagt nichts über dessen Gestalt aus.

Zitat:
Original von Dennis2010
Aber wie man zeigt, daß es so ein A gibt?... verwirrt ist mir leider unklar.

Bau mal ein Beispiel und schau was passiert.
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich fürchte, ich verstehe schon wieder nicht genau, was gemeint ist:

Gesucht ist eine Menge A, deren Potenzmenge gerade aus den Mengen besteht.
pseudo-nym Auf diesen Beitrag antworten »

Ja
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Edit: Korrektur

Mir fällt das sehr schwer.

Zuerst dachte ich an .

Dann hat man ja aber nur .

Und wenn speziell gilt, ist .



Das bedeutet jetzt was?
Daß man so eine Menge A nicht finden kann?

Und wenn man es abschwächt, indem man nicht von A verlangt, daß deren Teilmengen die sind, sondern da0 die Teilmengen von A für jedes sind (es also durchaus noch weitere geben kann)?
pseudo-nym Auf diesen Beitrag antworten »

Der Trick ist A nicht über eine Eigenschaft der Potenzmenge zu charakterisieren, sondern explizit als . Dann funktioniert dein Vorgehen.
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »