Mengenlehre/ Teilmengen/ Abbildung

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Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »
Mengenlehre/ Teilmengen/ Abbildung
Meine Frage:
Sei eine Abbildung, .

Man zeige:

(i)

(ii)

Meine Ideen:
Hallo, ich hab mal die Beweise versucht, auch, wenn ich mir nicht so sicher bin.

Zu (i):

Sei , dann gilt , da .

Außerdem:

Zu (ii):

"": Angenommen, f ist nicht injektiv. Dann ex. .

Da n.V. , folgt dann . Widerspruch.

"": Da f injektiv ist, gilt , da das Bild von A ja eindeutig ist. Weiß nicht, ob man das so begründen kann.

Kann man das so beweisen? Ein Feedback wäre toll.
Math1986 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Mengenlehre/ Teilmengen/ Abbildung
1) Die Gleichung ist im Allgemeinen falsch, diese gilt genau dann, wenn f injektiv ist, wie auch in der Aufgabe 2) zu sehen ist.
Du verwendest hier in Aufgabe 1 das, was du in Aufgabe 2 zeigen sollst Augenzwinkern
Hier musst du schon mit der Definition von (Urbild) rechnen.

2) bezeichnet hier die Urbildmenge, nicht die Umkehrfunktion! Die Gleichung ist daher formal falsch.
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Mengenlehre/ Teilmengen/ Abbildung
Okay.

Dann muss ich bei (i) zeigen:

, oder?


Wie macht man das? Hast Du einen Tipp für mich?

Edit: Ich meine das ist ja eigentlich trivial...

Wenn , so ist natürlich auch in der Menge derjenigen Elemente aus A, deren Bild in f(E) liegt.
Math1986 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Mengenlehre/ Teilmengen/ Abbildung
Das stimmt schonmal. Zu zeigen ist also, dass . Das gilt aber gerade nach Definition Augenzwinkern
Zitat:

Wenn , so ist natürlich auch in der Menge derjenigen Elemente aus A, deren Bild in f(E) liegt.
Ja smile
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Mengenlehre/ Teilmengen/ Abbildung
In Ordnung, dann habe ich (i) ja fertig.

Bleibt noch (ii). Die Beweisrichtung "" stimmte, wenn ich Dich richtig verstanden habe, jedenfalls hattest Du dazu nichts geschrieben.


Bleibt also noch die Rückrichtung zu zeigen.

Sei f injektiv. Zu zeigen ist doch eigentlich nur noch

, denn die andere Inklusion gilt ja bereits wegen (i).


Sei , also . Ich muss jetzt irgendwie die Injektivität verwenden, um zu zeigen, daß .

Das Bild von x ist also im Bild der Menge E enthalten.

Kann man dann sagen:



Die Injektivität braucht man doch dafür, damit man weiß, daß x das Urbild ist.
verwirrt
Math1986 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Mengenlehre/ Teilmengen/ Abbildung
Zitat:
Original von Dennis2010

Du machst schon wieder den Fehler, den du auch in der Hinrichtung gemacht hast: ist eine Menge, kein Element!
 
 
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Mengenlehre/ Teilmengen/ Abbildung
Ja, stimmt...



.


Nun ist ja .


Aber wie macht man weiter und wo nutzt man die Injektivität..


Sorry, ich komme da echt nicht weiter.
Math1986 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Mengenlehre/ Teilmengen/ Abbildung
Zu :
Es sei f injektiv.
Zu zeigen ist:


Zeige also
Dann ist also

heißt nun, dass es ein gibt mit .
Auf Grund der Injektivität ist nun .

Die Rückrichtung geht ähnlich

PS: Zum Verständnis: Kannst du denn ein einfaches Gegenbeispiel angeben um zu zeigen, dass die Aussage für nicht-injektives f falsch ist?
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Mengenlehre/ Teilmengen/ Abbildung
Zur Rückrichtung:

Ich bekomme sie nicht hin.

Es gelte also

.

Zeigen muss man, daß f injektiv ist.

Also seien . Zeigen muss man, daß x=x'.

Nur: Wie?

Edit:

Eine Idee:

, d.h. es gibt ein .

, d.h. es gibt ein .


Wenn jetzt f nicht injektiv wäre, so würde gelten (bei f(h)=f(k)). Aber man kann doch das so wählen, dass . Was heißt wählen... in beiden Fällen ist es eben das Element h aus E, für das gilt f(h)=f(x)=f(x').

Demnach ist f injektiv.

(Nur ein Versuch!)



___________________

das mit dem Beispiel:


Also als nicht-injektive Fkt. fällt mir als erstes ein. Kann man damit irgendwas anfangen?
Math1986 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Mengenlehre/ Teilmengen/ Abbildung
Was den Beweis angeht: Die Aussage soll für alle Mengen E gelten, versuch mal, das über einen Widerspruchsbeweis zu zeigen

Zitat:
Original von Dennis2010
das mit dem Beispiel:


Also als nicht-injektive Fkt. fällt mir als erstes ein. Kann man damit irgendwas anfangen?
Da eignet sich jede Funktion, sonst wäre es nicht äquivalent Augenzwinkern
Nun musst du nur noch deine Menge E geschickt wählen Augenzwinkern
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Mengenlehre/ Teilmengen/ Abbildung
Zitat:
Original von Math1986
Was den Beweis angeht: Die Aussage soll für alle Mengen E gelten, versuch mal, das über einen Widerspruchsbeweis zu zeigen



Du meinst, ich sollte eine Menge E annehmen, für die die Identität nicht gilt?
Math1986 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Mengenlehre/ Teilmengen/ Abbildung
Zitat:
Original von Dennis2010
Zitat:
Original von Math1986
Was den Beweis angeht: Die Aussage soll für alle Mengen E gelten, versuch mal, das über einen Widerspruchsbeweis zu zeigen



Du meinst, ich sollte eine Menge E annehmen, für die die Identität nicht gilt?
Nein, du sollst annehmen, dass f nicht injektiv ist, d.h. es gibt mit und
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Mengenlehre/ Teilmengen/ Abbildung
Okay, ich versuch's.

Sei f nicht injektiv.

Es gibt dann .


Ich habe keine Ahnung, ob das geht, aber kann man dann wählen? Dann gilt also ex. ein x in E, sodaß f(x)=f(y) und x muss dann ja gleich y sein, da E nur ein Element hat?



verwirrt


Edit: Zu dem Beispiel:

Was meinst Du mit: "Es eignet sich jede Funktion, sonst wäre es nicht äquivalent."


Also mein Vorschlag wäre

Math1986 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Mengenlehre/ Teilmengen/ Abbildung
Zitat:
Original von Dennis2010
Okay, ich versuch's.

Sei f nicht injektiv.

Es gibt dann .


Ich habe keine Ahnung, ob das geht, aber kann man dann wählen? Dann gilt also ex. ein x in E, sodaß f(x)=f(y) und x muss dann ja gleich y sein, da E nur ein Element hat?
Du solltest das noch ein wenig ausformulieren, aber die Grundidee ist richtig. Freude


Zitat:
Original von Dennis2010
Edit: Zu dem Beispiel:

Was meinst Du mit: "Es eignet sich jede Funktion, sonst wäre es nicht äquivalent."
Die Aussage in 2) ist eine Äquivalenz, du kannst also jede nicht-injektive Funktion nehmen, um zu zeigen, dass die Äquivalenz sonst falsch ist.

Zitat:
Original von Dennis2010
Also mein Vorschlag wäre

Ja, das kannst du nehmen.
Wie sieht nun aus?
Bitte noch etwas ausformulieren.
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Mengenlehre/ Teilmengen/ Abbildung
Zunächst zu dem Beispiel dafür, daß f injektiv sein muss.

Betrachte (nicht injektiv) und außerdem .

Dann ist .

Die andere Inklusion gilt natürlich nicht.

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Math1986 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Mengenlehre/ Teilmengen/ Abbildung
Ja, das stimmt Freude
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