Mengenlehre/ Teilmengen/ Abbildung |
25.02.2012, 16:25 | Gast11022013 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Mengenlehre/ Teilmengen/ Abbildung Sei eine Abbildung, . Man zeige: (i) (ii) Meine Ideen: Hallo, ich hab mal die Beweise versucht, auch, wenn ich mir nicht so sicher bin. Zu (i): Sei , dann gilt , da . Außerdem: Zu (ii): "": Angenommen, f ist nicht injektiv. Dann ex. . Da n.V. , folgt dann . Widerspruch. "": Da f injektiv ist, gilt , da das Bild von A ja eindeutig ist. Weiß nicht, ob man das so begründen kann. Kann man das so beweisen? Ein Feedback wäre toll. |
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25.02.2012, 17:22 | Math1986 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Mengenlehre/ Teilmengen/ Abbildung 1) Die Gleichung ist im Allgemeinen falsch, diese gilt genau dann, wenn f injektiv ist, wie auch in der Aufgabe 2) zu sehen ist. Du verwendest hier in Aufgabe 1 das, was du in Aufgabe 2 zeigen sollst Hier musst du schon mit der Definition von (Urbild) rechnen. 2) bezeichnet hier die Urbildmenge, nicht die Umkehrfunktion! Die Gleichung ist daher formal falsch. |
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25.02.2012, 17:38 | Gast11022013 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Mengenlehre/ Teilmengen/ Abbildung Okay. Dann muss ich bei (i) zeigen: , oder? Wie macht man das? Hast Du einen Tipp für mich? Edit: Ich meine das ist ja eigentlich trivial... Wenn , so ist natürlich auch in der Menge derjenigen Elemente aus A, deren Bild in f(E) liegt. |
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25.02.2012, 17:44 | Math1986 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Mengenlehre/ Teilmengen/ Abbildung Das stimmt schonmal. Zu zeigen ist also, dass . Das gilt aber gerade nach Definition
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25.02.2012, 18:31 | Gast11022013 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Mengenlehre/ Teilmengen/ Abbildung In Ordnung, dann habe ich (i) ja fertig. Bleibt noch (ii). Die Beweisrichtung "" stimmte, wenn ich Dich richtig verstanden habe, jedenfalls hattest Du dazu nichts geschrieben. Bleibt also noch die Rückrichtung zu zeigen. Sei f injektiv. Zu zeigen ist doch eigentlich nur noch , denn die andere Inklusion gilt ja bereits wegen (i). Sei , also . Ich muss jetzt irgendwie die Injektivität verwenden, um zu zeigen, daß . Das Bild von x ist also im Bild der Menge E enthalten. Kann man dann sagen: Die Injektivität braucht man doch dafür, damit man weiß, daß x das Urbild ist. |
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25.02.2012, 19:00 | Math1986 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Mengenlehre/ Teilmengen/ Abbildung
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25.02.2012, 19:08 | Gast11022013 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Mengenlehre/ Teilmengen/ Abbildung Ja, stimmt... . Nun ist ja . Aber wie macht man weiter und wo nutzt man die Injektivität.. Sorry, ich komme da echt nicht weiter. |
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25.02.2012, 19:31 | Math1986 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Mengenlehre/ Teilmengen/ Abbildung Zu : Es sei f injektiv. Zu zeigen ist: Zeige also Dann ist also heißt nun, dass es ein gibt mit . Auf Grund der Injektivität ist nun . Die Rückrichtung geht ähnlich PS: Zum Verständnis: Kannst du denn ein einfaches Gegenbeispiel angeben um zu zeigen, dass die Aussage für nicht-injektives f falsch ist? |
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25.02.2012, 20:22 | Gast11022013 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Mengenlehre/ Teilmengen/ Abbildung Zur Rückrichtung: Ich bekomme sie nicht hin. Es gelte also . Zeigen muss man, daß f injektiv ist. Also seien . Zeigen muss man, daß x=x'. Nur: Wie? Edit: Eine Idee: , d.h. es gibt ein . , d.h. es gibt ein . Wenn jetzt f nicht injektiv wäre, so würde gelten (bei f(h)=f(k)). Aber man kann doch das so wählen, dass . Was heißt wählen... in beiden Fällen ist es eben das Element h aus E, für das gilt f(h)=f(x)=f(x'). Demnach ist f injektiv. (Nur ein Versuch!) ___________________ das mit dem Beispiel: Also als nicht-injektive Fkt. fällt mir als erstes ein. Kann man damit irgendwas anfangen? |
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26.02.2012, 12:05 | Math1986 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Mengenlehre/ Teilmengen/ Abbildung Was den Beweis angeht: Die Aussage soll für alle Mengen E gelten, versuch mal, das über einen Widerspruchsbeweis zu zeigen
Nun musst du nur noch deine Menge E geschickt wählen |
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26.02.2012, 12:10 | Gast11022013 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Mengenlehre/ Teilmengen/ Abbildung
Du meinst, ich sollte eine Menge E annehmen, für die die Identität nicht gilt? |
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26.02.2012, 12:19 | Math1986 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Mengenlehre/ Teilmengen/ Abbildung
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26.02.2012, 12:30 | Gast11022013 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Mengenlehre/ Teilmengen/ Abbildung Okay, ich versuch's. Sei f nicht injektiv. Es gibt dann . Ich habe keine Ahnung, ob das geht, aber kann man dann wählen? Dann gilt also ex. ein x in E, sodaß f(x)=f(y) und x muss dann ja gleich y sein, da E nur ein Element hat? Edit: Zu dem Beispiel: Was meinst Du mit: "Es eignet sich jede Funktion, sonst wäre es nicht äquivalent." Also mein Vorschlag wäre |
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26.02.2012, 17:15 | Math1986 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Mengenlehre/ Teilmengen/ Abbildung
Wie sieht nun aus? Bitte noch etwas ausformulieren. |
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26.02.2012, 17:27 | Gast11022013 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Mengenlehre/ Teilmengen/ Abbildung Zunächst zu dem Beispiel dafür, daß f injektiv sein muss. Betrachte (nicht injektiv) und außerdem . Dann ist . Die andere Inklusion gilt natürlich nicht. ----------------------------------------------------- |
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26.02.2012, 18:01 | Math1986 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Mengenlehre/ Teilmengen/ Abbildung Ja, das stimmt |
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