Konvergenzradius berechnen

25.02.2012, 17:05

Srecko

Konvergenzradius berechnen

Meine Frage:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty n! (\frac{z^{n}}{n^{n}})^{n} \end{eqnarray*}$

Ich muss den Konvergenzradius dieser Reihe finden.

Meine Ideen:
Natürlich gibt es Formeln dafür, aber ich kann keine anwenden, da die Reihe nicht die Form: $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty a_{n}z^{n} \end{eqnarray*}$ hat.

Ich habe dann versucht irgendwie das Wurzelkriterium anzuwenden. Daraus habe ich bekommen, dass die Reihe für alle z konvergiert. Ist das richtig?

25.02.2012, 20:35

SusiQuad

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Zitat:

... dass die Reihe für alle z konvergiert. Ist das richtig?

Ja.

Setze gedanklich $\begin{eqnarray*} x = z^n \end{eqnarray*}$ und rechne mit dem Quot.Krit.
$\begin{eqnarray*} \frac{a_{n+1}}{a_n} ~=~\frac{1}{ (n+1)^{2n} \cdot (1 + \frac{1}{n}) \cdots (1 + \frac{1}{n}) } \end{eqnarray*}$

Die $\begin{eqnarray*} n^2 \end{eqnarray*}$ Terme $\begin{eqnarray*} (1 + \frac{1}{n}) \end{eqnarray*}$ im Nenner sind $\begin{eqnarray*} \geq 1 \end{eqnarray*}$ , sodass ich abschätzen kann...
$\begin{eqnarray*} \frac{a_{n+1}}{a_n} \leq \left( \frac{1}{n+1} \right)^{2n} \end{eqnarray*}$

Damit: $\begin{eqnarray*} \frac{a_{n+1}}{a_n} \cdot |z|^{2n+1} = \left( \frac{|z|}{n+1} \right)^{2n} \cdot |z| < 1 \end{eqnarray*}$ für hinr. grosses $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ .

25.02.2012, 21:46

Gilbert0

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Wie berechnet man den Konvergenzradius mit dem Wurzelkriterium? Ich komme auf $\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{|a_{n}|} = \frac{\sqrt[n]{n!}}{n^{n} } * z^{n} \end{eqnarray*}$ und weiß nicht weiter. Der erste Term geht gegen 0, doch der zweite gegen unendlich, somit ist keine Aussage möglich.

26.02.2012, 03:49

SusiQuad

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@Gilbert

Die Idee beim Wurzelkrit. ist der Vgl. mit einer geom. Reihe.
Hierzu zieht man (hier) die ( $\begin{eqnarray*} n^2 \end{eqnarray*}$ )-te Wurzel, um eine Aussage der Form $\begin{eqnarray*} z < \frac{1}{a} \end{eqnarray*}$ bzw. allg. $\begin{eqnarray*} z \cdot a < 1 \end{eqnarray*}$ machen zu können.

Ich brauche 3 Aussagen *urggh* für den Nachweis, dass obige Pot.Reihe konv. für $\begin{eqnarray*} |z| < \infty \end{eqnarray*}$ .

(1) $\begin{eqnarray*} n+1 \leq 2^{2n+1} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$

(2) $\begin{eqnarray*} \sqrt[n^2]{n!} \leq 2 \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} n! \leq 2^{n^2} \end{eqnarray*}$

(3) $\begin{eqnarray*} \sqrt[n^2]{ \frac{n!}{n^{n^2}}} \leq \frac{2}{n} \end{eqnarray*}$

Denn aus (3) erkennt man unmittelbar:
$\begin{eqnarray*} \sqrt[n^2]{n! \cdot \left(\frac{z^n}{n^n}\right)^n } \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} =~ \frac{z}{n} \cdot \sqrt[n^2]{n!} \leq \frac{2z}{n} \end{eqnarray*}$
... und damit die obige Konv.Aussage.

Beweise :
(1)
$\begin{eqnarray*} n+1 ~\leq~ 2n+2 ~=~ 1 + \sum_{k=0}^{2n} {1} ~\leq 1 + \sum_{k=0}^{2n} {2^k} ~=~ 1 + \frac{2^{2n+1} -1}{2 - 1} \end{eqnarray*}$

(2)
IA mit n=1: ok wegen $\begin{eqnarray*} 1 \leq 2 \end{eqnarray*}$
IV Es gelte: $\begin{eqnarray*} n! \leq 2^{n^2} \end{eqnarray*}$
IS $\begin{eqnarray*} (n+1)! ~=~ (n+1)\cdot n! \leq (n+1) \cdot 2^{n^2} \end{eqnarray*}$ : IV ausgenutzt
$\begin{eqnarray*} \leq 2^{2n +1} \cdot 2^{n^2} \end{eqnarray*}$ : aus (1)
$\begin{eqnarray*} ~= 2^{{(n+1)}^2} \end{eqnarray*}$

(3) trivial ... $\begin{eqnarray*} n^n \end{eqnarray*}$ ausklammern und (2) benutzen

26.02.2012, 15:51

Srecko

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Vielen Dank fur deine Hilfe, ich habe es ähnlich zwar mit dem Wurzelkriterium gemacht.

smile

Ich mag dieses Forum, alle sind wirlklich hilfreich.

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