Extremwertaufgabe maximales Volumen einer Kugelkalotte

25.02.2012, 17:08

strafedonkey

Extremwertaufgabe maximales Volumen einer Kugelkalotte

Hi, mache grade Extremwertaufgaben in der Analysis. Folgende Aufgabe:

Eine Schale hat die Gestalt eines Kugelabschnittes. wie groß müssen radus der Kugel und höhe des Kugelabschnittes gewählt werden, dmait die Schale bei gegebener Schalenfläche das größte Volumen besitzt.

Also zunächst aml geht es a) um die Mantelfläche, also um die gesamte Oberfläche der Schale ohne die Innenfläche, also die Fläche, wo letztendlich die Suppe oder whatever später reinkommt. und b) geht es um das Volumen an Suppe, die ich letztendlich in diese Kalotte einfüllen kann. Jetzt habe ich mich aml eben bei Wiki schlau gemacht zwecks der Formel. Es geht also um die Formel der Kugelkalotte, also um die Oberfläche der Kuppe des Kugelabschnitts. Ich habe mich dazu mal bei Wiki schlau gemacht, weil in meiner Formelsammlung selbstverständlich keine Geometrie-Formeln drin stehen, warum denn auch, braucht ja keiner für die Übungsaufgaben :\. Jetzt gehen wir davon aus, dass es sich wirklich um einen Kugelabschnitt und nicht um einen Kugelausschnitt handelt, dann ist die Formel für

a) die Mantelfläche aka Oberfläche der Kugelkalotte

$\begin{eqnarray*} A=\pi r\cdot2h \end{eqnarray*}$

b) ide Formel für das Volumen der Kugelkalotte

$\begin{eqnarray*} V=\frac{h^{2}\pi}{3}(3r-h) \end{eqnarray*}$

Jetzt meine "Lösung" der Aufgabe im Extremwertweg

$\begin{eqnarray*} V=\frac{h^{2}\pi}{3}(3r-h) \end{eqnarray*}$ - Extremalbedingung

$\begin{eqnarray*} A=\pi r\cdot2h|:2\pi r \end{eqnarray*}$ - Nebenbedingung

$\begin{eqnarray*} \frac{A}{2\pi r}=h \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} V(r)=\frac{\frac{A^{2}}{4\pi^{2}r^{2}\cdot\pi}}{3}(3r-\frac{A}{2\pi r})=\frac{\frac{A^{2}}{4\pi^{3}r^{2}}}{3}(3r-\frac{A}{2\pi r})=\frac{A^{2}}{12\pi^{3}r^{2}}(3r-h)= \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\frac{3A^{2}r}{12\pi^{3}r^{2}}-\frac{A^{2}}{12\pi^{3}r^{2}}\cdot\frac{A}{2\pi r}=\frac{3A^{2}r}{12\pi^{3}r^{2}}-\frac{A^{3}}{24\pi^{4}r^{3}}=\frac{6A^{2}\pi r^{2}-A^{3}}{24\pi^{4}r^{3}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(r)=6A^{2}\pi r^{2}-A^{3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f`(r)=12A^{2}\pi r \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g(r)=24\pi^{4}r^{3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g`(r)=72\pi^{4}r^{2} \end{eqnarray*}$ Anwenden der Quotientenregel

$\begin{eqnarray*} V`(r)=\frac{f`(r)g(r)-f(r)g`(r)}{(g(r))^{2}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} V`(r)=\frac{(12A^{2}\pi r)(24\pi^{4}r^{3})-((6A^{2}\pi r^{2}-A^{3})(72\pi^{4}r^{2}))}{(24\pi^{4}r^{3})^{2}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} V`(r)=\frac{288A^{2}\pi^{5}r^{4}-(432A^{2}\pi^{5}r^{4}-72A^{3}\pi^{4}r^{2})}{576\pi^{8}r^{6}}=\frac{288A^{2}\pi^{5}r^{4}-432A^{2}\pi^{5}r^{4}+72A^{3}\pi^{4}r^{2}}{576\pi^{8}r^{6}} \end{eqnarray*}$

Extremwertbestimmung

$\begin{eqnarray*} V`(r)=\frac{-144A^{2}\pi^{5}r^{4}+72A^{3}\pi^{4}r^{2}}{576\pi^{8}r^{6}}=-\frac{A^{2}}{4\pi^{3}r^{2}}+\frac{A^{3}}{8\pi^{4}r^{4}}=\frac{2A^{2}\pi r+A^{3}}{8\pi^{4}r^{4}}=\frac{A^{2}(2\pi r+A)}{8\pi^{4}r^{4}}=0 \end{eqnarray*}$

weiter komme ich irgendwie nicht, ich wüsste jetzt nicht, wie ich da anständig auf einen Extremwert kommen sollte :\

25.02.2012, 18:06

mYthos

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Viel zu umständlich. Ich kann da gar nicht sagen, ob jetzt Rechenfehler darin sind, weil man es so nicht rechnen sollte.
Beachte erstens, dass man die Ansatzfunktion so weit wie möglich vereinfachen sollte, also konstante Faktoren wie 3 oder pi für die Ableitung weglassen kann, soferne sie die ganze Funktion betreffen.
Zweitens ist es hier günstiger, aus der Nebenbedingung das r auszurechnen und die Funktion V dann in h auszudrücken, die Funktion wird wesentlich einfacher.

Also:

$\begin{eqnarray*} r = \frac A {2r \pi} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} V_1 = h^2(3r - h) \end{eqnarray*}$ (pi/3 weggelassen)

Nun für r einsetzen ...

$\begin{eqnarray*} V_2 = V(h) = 3Ah - 2h^3 \pi \end{eqnarray*}$ (auf gemeins. Nenner, durch h gekürzt, 2pi im Nenner weggelassen)

Nun wird's richtig bequem Big Laugh

mY+

25.02.2012, 18:30

strafedonkey

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erstmal vielen Dank für deinen Tipp. Hast du vielleicht eine Art vorgehensweise, wie du entscheidest, welche Variable du ersetzt (substitution) und welche du beibehältst? wie du siehst, habe ich mich ja "für die falsche" entschieden, wie kann ich das künftig vermeiden?

hm, warum kann ich pi/3 weglassen? Das geht mir mathematisch gesehen irgendwie nicht in den Kopf rein, wenn ich das weglasse, verändert sich doch das Ergebnis, oder nicht?

Wenn ich nämlich mit pi/3 rechne, komm ich auf ein etwas anderes Ergebnis:

$\begin{eqnarray*} A=2h\pi r|:2\pi h \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{A}{2\pi h}=r \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} V=\frac{h^{2}\pi}{3}(3r-h) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} V(h)=\frac{h^{2}\pi}{3}(3\frac{A}{2\pi h}-h)=\frac{3Ah^{2}\pi}{6\pi h}-\frac{h^{3}\pi}{3}=\frac{3Ah^{2}\pi-2h^{4}\pi^{2}}{6\pi h}=\frac{3Ah\pi-2h^{3}\pi^{2}}{6\pi}=\frac{3Ah-2h^{3}\pi}{6} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\frac{1}{2}Ah-\frac{1}{3}2h^{3}\pi \end{eqnarray*}$
Dementsprechend anders wäre ja dann auch die Ableitung, und dementsprechend wiederum anders wäre ja dann die Stelle des Extremwerts, oder nicht?

25.02.2012, 22:37

mYthos

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Kein Wunder, denn dein letztes Resultat ist falsch, im 2. Summend hast du eine 2 zu viel. Ansonsten würde es - obwohl wieder zu umständlich gerechnet - so weit stimmen. Wie gesagt, durch rechtzeitiges Ausklammern der konstanten Faktoren und auch Kürzen kann die Rechnung noch einfacher gestaltet werden (den Ansatz habe ich dir ja geschrieben).

Bei richtiger Rechnung musst du jene Extremstelle erhalten, welche die Funktion v2(h) liefert.

Das Weglassen positiver (!) multiplikativer, die ganze Funktion betreffender Konstanten ist nur zur Bestimmung der Extremstelle mittels Nullsetzen der 1. Ableitung erlaubt. In der Nebenbedingung und beim Rückeinsetzen darf natürlich nichts weggelassen werden.

Warum man die Ansatzfunktion so vereinfachen kann, ist allgemein leicht zu erklären.
Die Funktion a * f(x) hat an derselben Stelle ihr Extremum wie f(x), wie man beim Nullsetzen der 1. Ableitung sofort erkennt

y = a * f(x), a > 0 (!)
y ' = a * f '(x)
a * f '(x) = 0
-->
f '(x) = 0

Man darf negative Vorzeichen in multiplikativen Konstanten NICHT weglassen, denn sonst würde die Auswertung der Extremwerte mittels der 2. Ableitung ein gegenteiliges Ergebnis liefern.

Es gibt noch eine 2. Vereinfachung der Ansatzfunktion:
Anstelle der Wurzel aus einer Funktion kann auch deren Quadrat, also der Ausdruck unter der Wurzel alleine abgeleitet und Null gesetzt werden.
Begründung: Das Quadrat einer Funktion hat an derselben Stelle ihr Extremum wie die Funktion selbst. Das kann man ähnlich leicht nachweisen.

Welche Variable man aus der Nebenbedingung substituiert, wird davon abhängen, wo man am wenigsten zu ersetzen hat, wo die restlichen Terme möglichst einfach werden und auch, wo die Hochzahlen möglichst gering sind. Auch Wurzeln kann man z.T. so vermeiden.

mY+

26.02.2012, 12:10

strafedonkey

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danke, das hat mir sehr geholfen. Ich werde versuchen, deine Vorgehensweisen in meinen nächsten Übungsaufgaben anzuwenden, damit ich Praxis darin finde und sie beherrschen lerne. Du bist nicht wirklich 70 Jahre alt, oder? :-)

26.02.2012, 17:42

mYthos

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Zitat:

Original von strafedonkey
... Du bist nicht wirklich 70 Jahre alt, oder? :-)

Doch. Daran kann ich leider nichts ändern Big Laugh

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