Beweis eines Integrals

18.01.2007, 16:41

toasten

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Beweis eines Integrals

Hallo,

Ich habe ein Problem bei folgendem Beweis:

Seien $\begin{eqnarray*} a,b \in R \end{eqnarray*}$ mit a<b, $\begin{eqnarray*} n \in N \end{eqnarray*}$ und Funktionen $\begin{eqnarray*} f,g : [a,b] \rightarrow R \end{eqnarray*}$ gegeben. die n-mal differenzierbar sind mit stetigen n-ten Ableitungen $\begin{eqnarray*} f^{(n)} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g^{(n)} \end{eqnarray*}$ . Zeige

$\begin{eqnarray*} \int_{a}^{b}~f(x) g^{(n)}(x)~dx = \sum_{j=0}^{n-1}~(-1)^j f^{(j)}(x) g^{(n-1-j)}(x) \mid^b_a + (-1)^n \int_{a}^{b}~f^{(n)}(x) g(x)~dx \end{eqnarray*}$ .

Ich bin mir nicht ganz sicher, wie ich vorgehen soll. Ich habe mal ausprobiert $\begin{eqnarray*} \int_{a}^{b}~f(x) g^{(n)}(x)~dx = \int_{a}^{b}~ g^{(n)}(x) f(x)~dx \end{eqnarray*}$ zu setzen... und man würde auch auf die Formel kommen mittels partieller Integration. Aber ist halt irgendwie kein richtiger Beweis. Ist vollständige Induktion sinnvoll?

Danke.
Torsten

18.01.2007, 20:41

toasten

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RE: Beweis eines Integrals
was mich vor allem wundert, ist dieses (-1)^ im Integral und in der Summe... :-(

Weiß jemand, wie das zustande kommt?

Gruß. Torsten

18.01.2007, 20:45

Calvin

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Vollständige Induktion ist hier nicht verkehrt. Dann siehst du vermutlich auch, wie das (-1)^n zustande kommt. Ob es auch anders geht, weiß ich nicht.

EDIT
Müsste die Summe nicht bei j=0 losgehen?

18.01.2007, 21:28

toasten

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Stimmt, danke für den Hinweis. Habe es schnell editiert.

Wie gehe ich denn bei der vollständigen Induktion vor?

Fange ich an mit Induktionsanfang n_0=1 ... dann kommt ja exakt der Satz zur partiellen Integration raus. Ist also wahr.

Reicht es dann, wenn ich zeige, dass die Aussage für n=n_0+1=2 stimmt. D.h. ist stelle die Formel mit n=2 dar und wende parallel an einem Integral $\begin{eqnarray*} \int_{a}^{b}~g''(x) f(x)~dx \end{eqnarray*}$ zweimal partielle Integration an?!

Torsten

18.01.2007, 21:33

Calvin

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Nein, es reicht nicht n=2 zu nehmen. Du musst annehmen, dass die Aussage für ein $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ gilt. Unter dieser Annahme muss es dann auch für n+1 gelten.

Ich muss aber ehrlich zugeben, dass mir der Induktionsschritt hier auch noch nicht gelungen ist, da ich noch keine Umformung gefunden habe, so dass ich die Induktionsvoraussetzung einsetzen kann.

19.01.2007, 10:31

klarsoweit

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Also ich habe schon Probleme mit dem Induktionsanfang n=1. verwirrt

verwirrt

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19.01.2007, 10:35

n!

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der Induktionsanfang stimmt schon. Man kann ja f=u und g=v' wählen. Dann kommt das ganze hin

19.01.2007, 10:44

goldnerbagger

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Aber wie zeige man es für n+1?

19.01.2007, 10:46

klarsoweit

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RE: Beweis eines Integrals

Zitat:

Original von toasten
$\begin{eqnarray*} \int_{a}^{b}~f(x) g^{(n)}(x)~dx = \sum_{j=0}^{n-1}~(-1)^j f^{(j)}(x) g^{(n-1-j)}(x) \mid^b_a + (-1)^n \int_{a}^{b}~f^{(n)}(x) g(x)~dx \end{eqnarray*}$ .

EDIT: hatte einen Denkfehler. Also jetzt nochmal:

$\begin{eqnarray*} \int_{a}^{b}~f(x) g'(x)~dx = \sum_{j=0}^{0}~(-1)^j f^{(j)}(x) g^{(0-j)}(x) \mid^b_a + (-1)^1 \int_{a}^{b}~f'(x) g(x)~dx = f(x)g(x)\mid^b_a - \int_{a}^{b}~f'(x) g(x)~dx \end{eqnarray*}$

Ja, ok, das stimmt.

Der Induktionsschritt sollte dann auch gehen.

19.01.2007, 10:48

AD

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Manchmal hat man eben einen blinden Fleck: Deiner ist heute die Annahme $\begin{eqnarray*} f^{(1)}=f \end{eqnarray*}$ .

Tatsächlich ist $\begin{eqnarray*} f^{(1)}=f' \end{eqnarray*}$ .

19.01.2007, 11:13

klarsoweit

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RE: Beweis eines Integrals
Ja ok. Habe es selbst gemerkt und oben korrigiert.

toasten und goldnerbagger:

Für den Induktrionsschritt nimmt man am besten die linke Seite von
$\begin{eqnarray*} \int_{a}^{b}~f(x) g^{(n)}(x)~dx = \sum_{j=0}^{n-1}~(-1)^j f^{(j)}(x) g^{(n-1-j)}(x) \mid^b_a + (-1)^n \int_{a}^{b}~f^{(n)}(x) g(x)~dx \end{eqnarray*}$ .

Dann ersetzt man n durch n+1 und macht eine partielle Integration.

19.01.2007, 13:32

toasten

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RE: Beweis eines Integrals
I.S.: ...linke Seite n mit (n+1) ersetzen. Dann gilt
$\begin{eqnarray*} \int_{a}^{b}f(x)g^{(n+1)}(x) dx & = & f(x) g^{(n)}(x) |_a^b - \int_a^b f'(x) g^{(n)}(x) \\<br /> &=& f(x) g^{(n)}(x) |_a^b + \left( \sum_{j=0}^{n-1} (-1)^j f^{(j+1)} (x) g^{(n-1-j)}(x)|_a^b + (-1)^n \int_a^b f^{(n+1)}(x) g(x) dx \right) \end{eqnarray*}$

Aber hier komme ich nicht wirklich weiter unglücklich

unglücklich

19.01.2007, 13:42

klarsoweit

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RE: Beweis eines Integrals
Mache in der Summe eine Indexverschiebung, indem du j=k-1 setzst. Augenzwinkern

Augenzwinkern

19.01.2007, 17:55

goldnerbagger

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RE: Beweis eines Integrals
Wie genau stelle ich diese Indexverschiebung an? Ich hänge mit Toasten vor dem Problem? Danke

19.01.2007, 18:54

AD

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Setz einfach überall in der Summe, wo $\begin{eqnarray*} j \end{eqnarray*}$ vorkommt, den Wert $\begin{eqnarray*} (k-1) \end{eqnarray*}$ ein.

Das betrifft am Ende auch die Summation: Da läuft dann $\begin{eqnarray*} (k-1) \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ bis $\begin{eqnarray*} (n-1) \end{eqnarray*}$ . Das ist natürlich äquivalent dazu, dass $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ bis $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ läuft.

Sowas nennt man dann Indexverschiebung. Ist beim ersten Mal vielleicht ungewohnt. Augenzwinkern

Augenzwinkern

EDIT: Ach übrigens, toasten hat einen Vorzeichenfehler vor der großen Klammer:

Statt $\begin{eqnarray*} +\Big( \ldots \Big) \end{eqnarray*}$ muss da $\begin{eqnarray*} -\Big( \ldots \Big) \end{eqnarray*}$ stehen. Das werdet ihr spätestens im nächsten Schritt merken.

EDIT: Tippfehler...

19.01.2007, 18:57

goldnerbagger

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Erstmal vielen Dank. Das ich für jedes j gleich k-1 einsetze, war auch mein wille, aber danach sehe ich leider nicht wohin es führen soll. Ich sehe noch kein Licht am Ende des Tunnels.

20.01.2007, 12:16

klarsoweit

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RE: Beweis eines Integrals
Heidinei. unglücklich

unglücklich

$\begin{eqnarray*} \int_{a}^{b}f(x)g^{(n+1)}(x) dx = f(x) g^{(n)}(x) |_a^b - \int_a^b f'(x) g^{(n)}(x) \\ = f(x) g^{(n)}(x) |_a^b - \left( \sum_{j=0}^{n-1} (-1)^j f^{(j+1)} (x) g^{(n-1-j)}(x)|_a^b + (-1)^n \int_a^b f^{(n+1)}(x) g(x) dx \right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = f(x) g^{(n)}(x) |_a^b - \left( \sum_{k=1}^n~(-1)^{k-1} f^{(k-1+1)} (x) g^{(n-1-(k-1))}(x)|_a^b + (-1)^n \int_a^b f^{(n+1)}(x) g(x) dx \right) \end{eqnarray*}$

Jetzt mal das Minus in die Klammer ziehen und überlegen, wie der Summand für k=0 ausschaut.

20.01.2007, 16:43

goldnerbagger

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RE: Beweis eines Integrals
$\begin{eqnarray*} = f(x)g^{n}+(\sum_{k=1}^n~(1^{k-1})(-f^{k}(x))(-g^{n-k}(x))+1^{n}\int_{b}^{a}~f^{n+1}(x)g(x)~dx \end{eqnarray*}$

So richtig! Mit Reihen hab ich es nicht so. Danach gleich k=0 setzen, müsste so klappen
$\begin{eqnarray*} = f(x)g^{n}+(\sum_{k=0}^{n-1}~(1^{k})(-f^{(k-1)}(x))(-g^{(n-k-1)}(x))+1^{(n-1)}\int_{b}^{a}~f^{n}(x)g(x)~dx \end{eqnarray*}$

20.01.2007, 16:47

AD

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Da sind aber haarsträubende Fehler beim Vorzeichenwechsel drin: Wie's aussieht, hast du

$\begin{eqnarray*} -(-1)^n \stackrel{???}{=} 1^n \end{eqnarray*}$

umgeformt. Da sag ich jetzt nichts weiter dazu als: Setz mal ein paar verschiedene Werte für $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ ein, und schaue, ob das richtig ist. geschockt

geschockt

20.01.2007, 16:53

goldnerbagger

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Upps, sorry habe die Potenzgesetze vernachlässigt. Es muss heißen
$\begin{eqnarray*} -1^{(n+1)} \end{eqnarray*}$

20.01.2007, 16:58

goldnerbagger

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Und richtig dürfte es so seien

$\begin{eqnarray*} = f(x)g^{n}+(\sum_{k=1}^n~(-1^{k})(-f^{k}(x))(-g^{n-k}(x))+(-1)^{n+1}\int_{b}^{a}~f^{n+1}(x)g(x)~dx \end{eqnarray*}$ und wenn ich k=0 setze, d.h. eine Indexverschiebung durchführe, muss

$\begin{eqnarray*} = f(x)g^{n}+(\sum_{k=0}^{n-1}~(-1)^{k-1}(f^{k-1}(x))(g^{n-1-k-1}(x))+(-1)^{n}\int_{a}^{b}~f^{n}(x)g(x)~dx \end{eqnarray*}$

21.01.2007, 11:24

klarsoweit

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Zitat:

Original von goldnerbagger
Und richtig dürfte es so seien

$\begin{eqnarray*} = f(x)g^{n}+(\sum_{k=1}^n~(-1^{k})(-f^{k}(x))(-g^{n-k}(x))+(-1)^{n+1}\int_{b}^{a}~f^{n+1}(x)g(x)~dx \end{eqnarray*}$ und wenn ich k=0 setze, d.h. eine Indexverschiebung durchführe, muss

Was hat denn das Minus vor dem f bzw. g zu suchen? Obendrein wird die Nummer der Ableitung in Klammern gesetzt, sonst könnte man meinen, es wäre ein Exponent (was ich auch schon mal dachte).

Wenn du k=0 setzst, dann ist das keine Indexverschiebung. Die sache ist doch so: die Summe läuft von k=1 bis n. Versuchsweise kann man ja mal schauen, was für ein Summand noch hinzukommt, wenn man die Summe bei k=0 beginnen läßt. kannst du sagen, was für ein Summand das ist?

21.01.2007, 11:33

goldnerbagger

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(-1)f(x)g(x)

21.01.2007, 13:47

klarsoweit

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Was soll mir das jetzt sagen? verwirrt

verwirrt

21.01.2007, 22:31

toasten

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Danke nochmal für die Hilfe ;-)

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