Frage zum Leibnitzkriterium

25.02.2012, 21:13	Thomas 00	Auf diesen Beitrag antworten »
Frage zum Leibnitzkriterium Also ich weiss, dass das Kriterium für alternierende Reihen gilt. Eine Reihe ist genau dann konvergent, wenn sie Betragsmäßig eine monoton fallende Nullfolge ist. In meinen Buch steht noch, dass die monotonie unentberlich ist. Denn für c2n:= $\begin{eqnarray} -\frac{1}{2^{n}} \end{eqnarray}$ und c2n-1:= $\begin{eqnarray} \frac{1}{n} \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} \sum\limits cn \end{eqnarray}$ eine Reihe, die divergiert obwohl ihre Summanden eine Nullfolge bilden. Okay es wird hier also argumentiert, das die Folge nicht monoton fallend ist. Aber es gilt doch $\begin{eqnarray} \frac{1}{n} > \frac{1}{2^{n}} \end{eqnarray}$ Man könnte ja auch Äquivalent dazu sagen, dass $\begin{eqnarray} \frac{1}{n} > \frac{1}{2^{n}} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{1}{n} - \frac{1}{2^{n}} \geq 0 \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} 2^{n} - n \geq 0 \end{eqnarray}$ Was ja ebenfalls gilt. Also ist es eine monoton fallende Folge oder etwa nicht ?
25.02.2012, 21:21	Thomas 00	Auf diesen Beitrag antworten »
Ach ich seh grade, dass sie doch nicht monoton ist, da es ja für grade, und ungrade zahlen, immer zwischen den beiden hin und herspringt. Schon gut. Dann hab ich nur noch eine Frage, die mir noch nichts beantwortet hat. Eigentlich bedeutet absolute konvergenz doch, dass die beträge konvergieren. Nun benutzt man bei Leibnitz auch beträge, dennoch ist niergends von einer absouluten konvergenz die Rede. Also ziehe ich daraus den schluß, dass das Leibnitzkriterium nicht dazu dient, die absolute konvergenz einer Reihe zu beweisen, sondern nur ihre konvergenz.
25.02.2012, 21:33	hotsizzle	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi Das ist richtig. Reihen der Form $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^n (-1)^n a_n \end{eqnarray}$ konvergieren nicht absolut und das Leibnizkriterium prüft lediglich auf "normale" konvergenz. Aber jetzt kommt mir eine Frage: Stellt das Leibnizkriterium nicht weniger bedingungen? Also die Partialsummen alternieren und a_n ist eine monoton fallende nullfolge, dann konvergiert die Reihe? Mit Beträgen ist mir nichts bekannt.
25.02.2012, 21:40	thk	Auf diesen Beitrag antworten »
Eine Reihe konvergiert, wenn ihre Glieder alternieren und eine monotone Nullfolge bilden. Sie erfüllt das Leibniz (bitte ohne t)-Kriterium. Edit: Eine absolute Konvergenz ist damit nicht gegeben. Die Monotonie reicht nicht aus: Die Glieder der harmonische Reihe $\begin{eqnarray} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n} \end{eqnarray}$ sind zwar eine monotone Nullfolge, verletzt aber das Cauchysche Konvergenzkriterium. Geometrische Reihen konvergieren innerhalb ihres Konvergenzkreises.
25.02.2012, 21:51	Thomas 00	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja, wenn man in Büchern wie Harro Häuser oder Forster nachschlägt steht da sowas nicht. Es stand komischerweise so im Skript, deswegen die Verwirrung. Damit sollte halt nur ausgedrückt werden, das die (-1)^n nicht zu beachten sind, sondern nur der rest halt. @thk danke aber das weiss ich. Ich hatte nur nicht verstanden warum das beispiel nicht konvergent nach dem LK. sein solte, da ich dachte es wäre monoton. Das war aber ja nicht der Fall, wie ich selbst bemerkt habe. Da war ein kurzer denkfehler.

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