Drei Normalverteilungen kombinieren -> Wahrscheinlichkeit

25.02.2012, 22:25	MichaelBx	Auf diesen Beitrag antworten »
Drei Normalverteilungen kombinieren -> Wahrscheinlichkeit Hallo, ich habe folgendes Problem: Ich möchte die Wahrscheinlichkeit für eine Kombination aus drei normalverteilten Zufallsvariablen berechnen. Beispiel Es gibt: Zufallsvariable A mit N(10,2) Zufallsvariable B mit N(4,1) Zufallsvariable C mit N(20,5) Jemand eine Idee wie ich die Wahrscheinlichkeit dafür bekomme, dass das Ergebnis A-(BC) > 0 ist? oder die Wahrscheinlichkeit, dass A/(BC) < 0,5. Ich weiß es ist wohl eine seltsame und schwierige Frage, aber ich bin für jede Idee dankbar! Grüße Michael
27.02.2012, 03:07	frank09	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Drei Normalverteilungen kombinieren -> Wahrscheinlichkeit Die Dichtefunktion des Produktes zweier ZV A und B lautet allgemein $\begin{eqnarray} f_{B\cdot C}(p)=\int_{-\infty}^{\infty}\!\frac{1}{\|x\|}f_B(\frac{p}{x})f_C(x)\, dx \end{eqnarray}$ Für deine NV-Zufallsvariablen B,C gilt folgendes (man kann den Integrationsbereich einschränken, weil außerhalb praktisch null) $\begin{eqnarray} f_{B\cdot C}(p)=\int_{-10}^{35}\!\frac{1}{10\|x\|\pi}e^{-0.5((\frac{p}{x}-4)^2+(\frac{x}{5}-4)^2)}\, dx \end{eqnarray}$ So gilt z.B. für die Wsk, dass das Produkt B mal C = 10 ist $\begin{eqnarray} f_{B\cdot C}(10)=0.000151353 \end{eqnarray}$ Es interessieren nur Werte bis ca. p=16, weil die Wsk, dass A oberhalb von 10+3s liegt, praktisch null ist. Für deine 1. Bedingung A>BC ergibt sich folgendes: Die Wsk, dass A größer x ist beträgt: $\begin{eqnarray} P(A>x)= \Phi (-\frac{x-10}{2}) \end{eqnarray}$ somit $\begin{eqnarray} P(A>B\cdot C)=\int_{-\infty}^{16}\!\Phi (\frac{10-x}{2})f_{B\cdot C}(x)\, dx \end{eqnarray}$ Für deine 2. Bedingung BC>2A Die Wsk, dass BC größer x ist, beträgt: $\begin{eqnarray} P(BC>x)= 1-F_{B\cdot C}(x) \end{eqnarray}$ somit $\begin{eqnarray} P(B\cdot C>2A)=\int_{4}^{16}\!(1-F_{B\cdot C}(2x))\varphi (\frac{10-x}{2})\, dx \end{eqnarray}$

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