ln Gleichung mit Lösungsweg - wo ist der Wurm?

25.02.2012, 23:08

KUCHENMANN

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ln Gleichung mit Lösungsweg - wo ist der Wurm?

Hallo Leute,

ich habe die folgende Gleichung gelöst. Allerdings komme ich nicht auf die "Musterlösung", sondern erhalte ein anderes Ergebnis. Beim einsetzen welches stimmt habe ich feststellen müssen das wohl beide falsch sind?? Ich hoffe ihr könnt mir den Lösungsweg aufzeigen. Anbei findet ihr meine gesamte Berechnung, Schritt für Schritt. Aufgelöst soll nach der Variablen t werden:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{2\pi } } e^{-t^{2} } = \frac{1}{8} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 8e^{-2t} = \sqrt{2\pi } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (8e^{-2t}) ^{2} = 2\pi \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (64e^{-4t} = 2\pi \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} e^{-4t} = \frac{1}{32} \pi \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} e^{4t} = \frac{32}{\pi } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 4t = ln(\frac{32}{\pi } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} t = \frac{(ln32 - ln\pi )}{4} \end{eqnarray*}$

Die Musterlösung soll allerdings sein:

$\begin{eqnarray*} t = \pm \sqrt{ln(\frac{32}{\pi }) } \end{eqnarray*}$

Wenn ich meine Lösung einsetze stimmt die Gleichung nicht. Wenn ich die Musterlösung einsetze auch nicht. Ich hoffe ihr könnt mir helfen herauszufinden was ich falsch mache. Vielen Dank!!

25.02.2012, 23:34

Gast11022013

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Wieso machst du aus dem $\begin{eqnarray*} -t^2 \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} -2t \end{eqnarray*}$ im erstem zum zweitem Schritt??

Ich glaube du hast einfach einen Abschreibfehler drin, weil du aus dem hoch 2 ausversehen ein mal 2 gemacht hast.

25.02.2012, 23:39

Dopap

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auch die Musterlösung scheint falsch zu sein. verwirrt

verwirrt

25.02.2012, 23:40

Gast11022013

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Ich komme auf das Ergebnis der Musterlösung. verwirrt

verwirrt

Obwohl ich komme auf $\begin{eqnarray*} t=\pm\sqrt[4]{ln(\frac{32}{\pi}}) \end{eqnarray*}$

25.02.2012, 23:47

Helferlein

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Dann steuere ich mal die korrekte Lösung bei:

$\begin{eqnarray*} t=\pm\sqrt{\frac 12 \cdot ln(\frac{32}{\pi}}) \end{eqnarray*}$

25.02.2012, 23:49

Dopap

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$\begin{eqnarray*} x=\pm\frac {\sqrt{2\ln( \frac {32}{\pi})}}{2} \end{eqnarray*}$

mein Vorschlag. Aber aufpassen mit Hoch 1/4 und oder 2 unter der Wurzel oder 4 im Nenner...

edit: dasselbe wie Helferlein

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25.02.2012, 23:53

mYthos

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Komisch: ICH erhalte nach kurzer Rechnung die Musterlösung! verwirrt

verwirrt

verwirrt

mY+

25.02.2012, 23:55

KUCHENMANN

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Super, vielen Dank für die Antworten!

@Gmasterflash

Ich bin der Potenzregel gefolgt :

$\begin{eqnarray*} (a^{m)^{n} } = a^{n \cdot m} \end{eqnarray*}$

Ist das nicht korrekt in diesem Fall? Wann wendet man die Regel sonst an?

25.02.2012, 23:58

Gast11022013

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Edit: Um das Chaos zu glätten habe ich meinen Beitrag entfernt.

Danke Mythos das du meinen Fehler gefunden hast, aber so komme ich nun auf die Lösung von Dopap und Helferlein. verwirrt

verwirrt

26.02.2012, 00:02

mYthos

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Leider entsteht jetzt ein Chaos!
$\begin{eqnarray*} (e^{t^2})^2 \ \text{ist NICHT} \ e^{t^4} \ \text{!} \end{eqnarray*}$

Die Angabe stimmt übrigens.

@Kuchenmann
Bei dieser Gleichung kommt diese Regel nicht zur Anwendung.

Forme die Gleichung im 1. Schritt so um:

$\begin{eqnarray*} e^{-t^2} = \frac {\sqrt{2 \pi}} 8 \end{eqnarray*}$

Und dann logarithmiere:

$\begin{eqnarray*} t^2 = \ln \frac 8 {\sqrt{2 \pi}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \ldots \end{eqnarray*}$

26.02.2012, 00:17

KUCHENMANN

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Ok, ich hab das so gemacht. Ich komme dann auf:

t = $\begin{eqnarray*} ln\sqrt{\frac{8}{\sqrt{2\pi } } } \end{eqnarray*}$

Wie komme ich jetzt davon auf die Musterlösung? Was ist der nächste Schritt?

26.02.2012, 00:19

KUCHENMANN

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Jetzt ist das auch noch falsch geworden, die Wurzel ist ganz außen, dann kommt das ln. smile

smile

26.02.2012, 00:27

mYthos

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Also so:

$\begin{eqnarray*} t = \sqrt{\ln \frac 8 {\sqrt{2 \pi}}} \end{eqnarray*}$

?

mY+

26.02.2012, 00:29

KUCHENMANN

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Ach, ich war jetzt so verwirrt, dass ich es nicht gesehen habe. Ich bin auf die Lösung gekommen. Ich danke euch für die Hilfe!

Ich hätte aber noch eine Verständnisfrage. Ich habe ja fälschlicherweise mit der Regel (a^n)^m = a^n*m gerechnet. Diese kam hier nicht zur Anwendung. Woran erkennt man das sie in diesem Falle falsch ist? Gilt diese Regel nicht für e oder hat dies einen anderen Hintergrund?

Nochmals vielen Dank!

26.02.2012, 00:40

Dopap

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falsch, weil die notwendige Klammer nicht vorhanden war.

Noch eines: auch die Schreibfigur (a^n)^m = a^n*m ist falsch.

richtig: (a^n)^m = a^(n*m).

Wenn die Regel schon falsch geschrieben wird, dann kann der andere Fehler auch nicht verwundern.

26.02.2012, 00:49

KUCHENMANN

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Danke für die Antwort Dopap, aber mYthos hat in seinem Beitrag geschrieben:

$\begin{eqnarray*} (e^{t^{2} } )^{2} \end{eqnarray*}$ ist NICHT $\begin{eqnarray*} e^{t^{4} } \end{eqnarray*}$

Ich frage mich die ganze Zeit, wie man hätte die Klammern setzen müssen, damit die Regel Anwendung findet. Wäre es dann folgendes?

$\begin{eqnarray*} (e^{(t^{2} )} )^{2} \end{eqnarray*}$

26.02.2012, 00:50

mYthos

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Die Regel an sich ist ja nicht falsch, sie hat ja ihre Berechtigung, auch wenn sie nicht immer zur Anwendung kommt.
Wenn man die Gleichung wirklich quadrieren will, dann ist

$\begin{eqnarray*} (e^{-t^2})^2 = e^{-2t^2} \ \text{und NICHT} \ e^{t^4} \end{eqnarray*}$

wie man vielleicht annehmen könnte. Allerdings ist die besagte Regel nun doch angewandt worden, weil ja der Exponent wegen des Quadrierens mit 2 zu multiplizieren war.
___________________

Zur Lösung:

Wie geht das jetzt weiter? Man kann ja noch $\begin{eqnarray*} \frac 8 {\sqrt{2 \pi}} \end{eqnarray*}$ umformen zu $\begin{eqnarray*} \sqrt{\frac {32}{\pi}} \end{eqnarray*}$ .
So.

Nun, wie ich es jetzt sehe, muss ich Helferlein und Dopap bezüglich der Musterlösung Recht geben, denn die richtige Lösung unterscheidet sich von ihr noch um den Faktor 1/2 unter der Wurzel. Weshalb?

Hinweis: $\begin{eqnarray*} \ln \sqrt a = \frac 1 2 \ln a \end{eqnarray*}$

mY+

26.02.2012, 01:17

KUCHENMANN

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Ok, der Idee mit der Potenzregel kann ich nun folgen. Den letzten Lösungsschritt kann ich allerdings noch nicht nachvollziehen. Hier ist meine Idee, ich komme aber erst auf die falsche "Musterlösung".

$\begin{eqnarray*} t^{2} = ln\frac{8}{\sqrt{2\pi } } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} t^{2} = ln\frac{64}{2\pi } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} t^{2} = ln\frac{32}{\pi } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} t = \sqrt{ln\frac{32}{\pi } } \end{eqnarray*}$

Ich verstehe, deinen Tipp. $\begin{eqnarray*} ln\sqrt{2\pi } = ln\pi^{0.5} = 0.5 \cdot ln\pi \end{eqnarray*}$

Aber ich habe doch die Wurzel schon vorher aufgelöst, als ich den Bruch potenziert habe. Wann soll ich die Regel anwenden?

Danke euch!

26.02.2012, 01:41

mYthos

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Zitat:

Original von KUCHENMANN
...
$\begin{eqnarray*} t^{2} = ln\frac{8}{\sqrt{2\pi } } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} t^{2} = ln\frac{64}{2\pi } \end{eqnarray*}$
...

HIER ist der Fehler! Wo ist die Wurzel hingekommen? Dir ist derselbe Fehler wie anfangs auch mir und vermutlich auch dem Autor der Musterlösung passiert (vorbehaltlich einer ev. falschen Angabe).

Richtig ist

$\begin{eqnarray*} t^{2} = \ln \sqrt{\frac{64}{2\pi}}=\frac 1 2 \cdot \ln \frac {32}{\pi} \end{eqnarray*}$

Und eben wegen dieser Wurzel innerhalb des Logarithmus muss man diese mit (1/2)*ln ... auflösen! War dies nun für dich verständlich?

mY+

26.02.2012, 02:00

KUCHENMANN

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Den Schritt verstehe ich nicht, hier fehlt mir anscheinend das mathematische Verständnis. Meiner (falschen) "Logik" nach habe ich folgendes gemacht.

Ich wollte die Wurzel aus dem Nenner wegkriegen. Hierzu potenziere ich den Nenner. Damit der Bruch sich nicht ändert potenziere ich auch den Zähler. Dann komme ich auf 64/2pi

Wenn ich es mit der anderen Regel mache müsste es meinem Verständnis nach so lauten:

$\begin{eqnarray*} ln\frac{8}{\sqrt{2\pi } } = ln\frac{8}{(2\pi )^{0.5} } = \frac{1}{2} ln\frac{4}{\pi } \end{eqnarray*}$

Mir ist bewusst, dass deine Lösung die korrekte ist. Aber ich verstehe nicht so genau, warum meines falsch ist. unglücklich

unglücklich

26.02.2012, 02:01

KUCHENMANN

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Ich verstehe insbesondere nicht, wie aus der Wurzel im Nenner eine Wurzel über den gesamten Bruch geworden ist.

26.02.2012, 02:23

Dopap

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Zitat:

Original von KUCHENMANN

... Ich wollte die Wurzel aus dem Nenner wegkriegen. Hierzu potenziere ich den Nenner. Damit der Bruch sich nicht ändert potenziere ich auch den Zähler...

unglücklich

Schwerer Fehler!! du kannst 'ne Gleichung Quadrieren, nicht aber einen Bruch!!

Weiter hab ich nicht gelesen...

26.02.2012, 12:34

KUCHENMANN

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Danke für deine Hilfe Dopap, jetzt verstehe ich die Wurzel denke ich. Ich konnte es zu Ende rechnen, aber bin nicht sicher ob ich nicht evtl. wieder gegen eine Regel verstoßen habe. Könnte einer von euch geschwind drüber schauen, das wäre nett! Ich bin mir insbesondere bei meiner Umformung von der Wurzel im Zähler zur Gesamtwurzel nicht sicher.

$\begin{eqnarray*} t^{2} = ln\frac{8}{\sqrt{2\pi } } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (t^{2})^{2} = ln\frac{8^{2} }{2\pi } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} t^{2} = ln\sqrt{\frac{64}{2\pi } } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} t^{2} = ln\sqrt{\frac{32}{\pi } } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} t^{2} = ln (\frac{32}{\pi } )^{0.5} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} t^{2} = 0.5 \cdot ln\frac{32}{\pi } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} t = \sqrt{ 0.5 \cdot ln\frac{32}{\pi } } \end{eqnarray*}$

26.02.2012, 13:07

Dopap

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Zitat:

Original von KUCHENMANN

$\begin{eqnarray*} t^{2} = ln\frac{8}{\sqrt{2\pi } } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (t^{2})^{2} = \color{red}ln\frac{8^{2} }{2\pi }\color{black}=(\ln\frac 8 {\sqrt{2\pi}})^2 \end{eqnarray*}$

die ganzen Terme quadrieren nicht nur das Argument des ln !

--------------------------------------------
Ausserdem: warum Quadrieren, wen stört der Ausdruck $\begin{eqnarray*} \sqrt {2\pi} \end{eqnarray*}$
und man soll bei der Jagd nach der "schönsten" Schreibfigur nicht übertreiben, sonst stellt man sich selbst ein Bein.
Und: Quadrieren ist keine Äquivalenzumformung!

26.02.2012, 13:21

KUCHENMANN

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Aber wie kommt man denn jetzt von

$\begin{eqnarray*} (ln\frac{8}{\sqrt{2\pi } } )^{2} \end{eqnarray*}$

zu

$\begin{eqnarray*} ln\frac{64}{2\pi } \end{eqnarray*}$

Das hört sich für euch jetzt bestimmt sau dumm an, aber ich komme da wirklich nicht drauf unglücklich

unglücklich

26.02.2012, 14:51

KUCHENMANN

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Nachdem ich schon fast einen Tag daran sitze, bin ich glaub ich drauf gekommen.

Zähler und Nenner werden separat quadriert. Damit sich der Bruch nicht ändert zieht man aus dem gesamten Bruch die Wurzel.

Also z.B. $\begin{eqnarray*} \frac{4}{9} = \sqrt{\frac{4^{2} }{9^{2} } } \end{eqnarray*}$

Richtig?

26.02.2012, 14:53

Dopap

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bei positiven Grössen ja.

26.02.2012, 15:01

KUCHENMANN

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Ich danke euch vielmals für eure Hilfe und Geduld! smile

smile

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