Stetigkeit

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25.02.2012, 23:40	fara	Auf diesen Beitrag antworten »
Stetigkeit Ich schreibe Montag eine Klausur "Mathe für Physiker" und hätte da eine kurze Frage zur Stetigkeit mit dem Epsilon-Delta-Kriterium. Seh ich das richtig, dass ich jederzeit das Recht habe mein x mit x0+delta nach oben abzuschätzen?! Wenn ja, warum? Gruß fara
25.02.2012, 23:52	speedyschmidt	Auf diesen Beitrag antworten »
gute frage, hier findest du die antwort: http://de.wikipedia.org/wiki/Stetigkeit
25.02.2012, 23:57	fara	Auf diesen Beitrag antworten »
Also erstmal Danke, aber da finde ich ja die stumpfen Definitionen und nicht die Anwendung. Wäre cool, wenn mir jemand sagen könnte, wie ich die x-e wegkriege, damit ich ein Delta finde.
26.02.2012, 00:14	speedyschmidt	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielleicht solltest Du uns Dein Problem ein wenig näher beschreiben. So wird Dir keiner helfen können. Wenn Du das nicht magst, kann ich Dir ruhigen Gewissens nochmal den Link empfehlen, da steht alles, was Du brauchst. Nicht nur stumpfe Definitionen, auch schöne Beispiele.
26.02.2012, 00:51	fara	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay einfaches Beispiel: f(x)=x^2. Zeigen, dass die Funktion auf ganz R stetig ist. Ich komme etwa soweit, dass ich sagen kann \|x^2-x0^2\|=\|x-x0\|\|x+x0\|<epsilon. Soweit klar, aber wie verfährt man weiter. Ich finde den Ansatz ehrlich gesagt nicht im Link...
26.02.2012, 10:30	giu	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi fara Bei Deinem Beispiel kannst Du nun die Tatsache verwenden, dass aus der Definition $\begin{eqnarray} \|x - x_0\| < \delta \end{eqnarray}$ gilt. Daraus folgt nämlich nun, dass $\begin{eqnarray} \underbrace{\|x-x_0\|}_{< \delta}\cdot\|x+x_0\| < \delta \cdot \|x+x_0\| \end{eqnarray}$ . Ich habe den Beweis mal Anfangs Semester durchgearbeitet (brauchte an vielen Stellen Hilfe), und muss Dir gestehen, dass dieser doch mit dem einen oder anderen magischen Trick gespickt ist.
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26.02.2012, 10:55	fara	Auf diesen Beitrag antworten »
Cool, bis hier hin erstmal danke. Jetzt hab ich da $\begin{eqnarray} \delta \cdot \|x+x_0\| \end{eqnarray}$ stehen. Und jetzt habe ich mir gedacht (bzw. gelesen ;-)), dass x gleichbedeutend mit $\begin{eqnarray} x_0-\delta < x < x_0+\delta \end{eqnarray}$ ist. Dem entsprechend sollte ich das x dann doch per Definition mit $\begin{eqnarray} x_0+\delta \end{eqnarray}$ nach oben abschätzen können, oder seh ich da was falsch? Ich habe auch ganz oft gelesen, dass $\begin{eqnarray} x<\frac{x_0}{2} \end{eqnarray}$ abgeschätzt wird. Wo das allerdings herkommt ist mir schleierhaft. Könnte mir da irgendjemand Licht ins Dunkel bringen? Gruß fara
26.02.2012, 15:06	fara	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich will ja nicht drängen, aber da ich morgen Klausur schreibe...^^
26.02.2012, 16:10	Valdas Ivanauskas	Auf diesen Beitrag antworten »
Also eigentlich würde man das ja - mit dem Wissen darum, dass das Produkt stetiger Funktionen stetig ist - auf die Stetigkeit von $\begin{eqnarray} f(x):=x \end{eqnarray}$ zurückführen. Wenn's aber unbedingt per EpsilonDelta sein soll, dann wähle zu beliebig vorgegebenem $\begin{eqnarray} \varepsilon>0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \delta:=\min\left\{ \frac{\varepsilon}{4x_0},~\sqrt{\frac{\varepsilon}{2}} \right\} \end{eqnarray}$ Dann gilt für alle $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \|x-x_0\|<\delta \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \|x_0^2-x^2\|=\|x_0-x\|\cdot \|x_0+x\|=\|x_0-x\|\cdot \|2x_0+(x-x_0)\| \leq \|x_0-x\|\cdot \left(2\|x_0\|+\|x-x_0\|\right) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} <\delta\cdot 2\|x_0\|+\delta^2<\frac{\varepsilon}2+\frac{\varepsilon}2=\varepsilon. \end{eqnarray}$
26.02.2012, 16:16	fara	Auf diesen Beitrag antworten »
Ahh coole Variante, werd ich mir merken. Danke! :-) Aber ganz pauschal: $\begin{eqnarray} x<x_0+/delta \end{eqnarray}$ abzuschätzen ist auch legitim, oder?

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