Definition einer Abbildung übr Skalarprodukt

26.02.2012, 10:43

Evelyn89

Definition einer Abbildung übr Skalarprodukt

Hallo,

ich beschäftige mich in letzter Zeit mit Hilberträume, Dualräume, adjungierte und duale Operatoren etc.

Dabei frage ich mich warum dort viele Abbildung implizit über das Skalarprodukt definiert werden. Hier mal einige Beispiele:

$\begin{eqnarray*} T^*: Y \to X \text{ heißt der adjungierte Operator zu } T: X \to Y \text{, falls gilt:} <br /> <br /> <Tx,y>=<x,T^*y> ~ \text{ für } x \in X, y \in Y. \end{eqnarray*}$

Oder ein anderes Beispiel:

$\begin{eqnarray*} T^{'} : Y^{'} \to X^{'} \text{ ist der duale Operator zu } T : X \to Y \text{ falls gilt :} <br /> <br /> <Tx,y^{'}>=<x, T^{'}y^{'}> ~ \text{ für } x \in X , y^{'} \in Y^{'}. \end{eqnarray*}$

Warum macht man das so, dass man die Abbildungen über ihr Skalarprodukt definiert? Hat das irgendwelche Vorteile?
Mir erscheint das auf dem ersten Blick viel unpraktischer ...

Man kann z.B. den dualen Operator auch direkt definieren über $\begin{eqnarray*} T'y' := y' \circ T \end{eqnarray*}$ .
Ich sehe gerade auch nicht wie diese beiden Definitionen zusammenhängen?

Ich würde mich über jede Hilfe sehr freuen! smile

26.02.2012, 13:18

chrizke

Auf diesen Beitrag antworten »

Hier musst du aufpassen. Die Spitzen Klammern bedeuten nämlich nicht in beiden Fällen das Skalarprodukt! Dieses verarbeitet nämlich zwei Vektoren aus dem gleichen Raum, wohingegen $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x' \end{eqnarray*}$ natürlich nicht dem gleichen Raum angehören.

Zunächst geht man nämlich erstmal auf einem allgemeinen Banachraum hin und definiert die Banachraum-Adjungierte. Das ist in deinem Fall $\begin{eqnarray*} T' \end{eqnarray*}$ .
Und hier bedeuten die spitzen Klammern eben nicht (da auf nem allgemeinen B-Raum nicht vorhanden) Skalarprodukt sondern Duale Paarung, was eine Verallgemeinung des Skalarprodukts ist und so definiert wird:

Für $\begin{eqnarray*} x\in X \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x'\in X' \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} \langle x,x'\rangle := x'(x) \end{eqnarray*}$
Somit hast du Recht, dass $\begin{eqnarray*} \langle Tx, y'\rangle = \langle x,T'y'\rangle \end{eqnarray*}$ formal das gleiche ist, wie $\begin{eqnarray*} (T'y')(x) = y'(Tx) \end{eqnarray*}$

Hat man nun allerdings einen Hilbertraum kann man mit dem dort definierten Skalarprodukt arbeiten und die Hilbertraum-Adjungierte $\begin{eqnarray*} T^* \end{eqnarray*}$ einführen, welche über den Riesz'schen Isomorphismus definiert ist, der ja gerade den Bezug zwischen Skalarprodukt und Dualer Paarung/Dualraum herstellt.
Viele Autoren bevorzugen für das Skalarprodukt die Notation der runden Klammern $\begin{eqnarray*} (\cdot , \cdot ) \end{eqnarray*}$ anstatt der spitzen, um genau den Unterschied zwischen Skalarprodukt und Dualer Paarung zu verdeutlichen.
Der Zusammenhang zwischen den beiden Adjunggierten ist wie folgt und hängt, wie schon erwähnt mit dem Riesz-Iso $\begin{eqnarray*} J \end{eqnarray*}$ zusammen:

$\begin{eqnarray*} (Tx,y) = \langle Tx, Jy\rangle = \langle x, T'Jy\rangle = (x, \underbrace{J^{-1}T'J}_{=:T^*}y) \end{eqnarray*}$

Zum Nutzen dieser Notation: Wie gerade gezeigt, kann man zwar eine Darstellung der Form $\begin{eqnarray*} (T'y')(x) = y'(Tx) \end{eqnarray*}$ auf Banachräumen nutzen, aber spätestens, wenn man konkreter in den Hilberraum geht, müsste man sehr umständliche Notationen und Umwege über den Riesz-Isomorphismus gehen.
Aus diesem Grund ist es einfacher, direkt über das Skalarprodukt zu definieren, da man dann vergleichbare Notationen hat und die meisten Sätze für Banachraum-Adjungierte auch für Hilbertraum-Adjungierte gelten, bzw. mit kleinen Änderungen (zB Komplexe Konjugation o.ä.) gerade weil man den Weg über den Riesz Isomorphismus gehen kann und sich Skalarprodukt und Duale Paarung sehr ähnlich verhalten.

27.02.2012, 11:20

Evelyn89

Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank für deine Antwort. Das war sehr hilfreich und mir erscheint nun vieles klarer. Einige Fragen hätte ich dennoch.

Zitat:

Original von chrizke
Hier musst du aufpassen. Die Spitzen Klammern bedeuten nämlich nicht in beiden Fällen das Skalarprodukt! Dieses verarbeitet nämlich zwei Vektoren aus dem gleichen Raum, wohingegen $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x' \end{eqnarray*}$ natürlich nicht dem gleichen Raum angehören.

Natürlich! Das hatte ich vergessen zu erwähnen.

Zunächst geht man nämlich erstmal auf einem allgemeinen Banachraum hin und definiert die Banachraum-Adjungierte. Das ist in deinem Fall $\begin{eqnarray*} T' \end{eqnarray*}$ .
Und hier bedeuten die spitzen Klammern eben nicht (da auf nem allgemeinen B-Raum nicht vorhanden) Skalarprodukt sondern Duale Paarung, was eine Verallgemeinung des Skalarprodukts ist und so definiert wird:

Für $\begin{eqnarray*} x\in X \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x'\in X' \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} \langle x,x'\rangle := x'(x) \end{eqnarray*}$
Somit hast du Recht, dass $\begin{eqnarray*} \langle Tx, y'\rangle = \langle x,T'y'\rangle \end{eqnarray*}$ formal das gleiche ist, wie $\begin{eqnarray*} (T'y')(x) = y'(Tx) \end{eqnarray*}$

Ich sehe gerade nicht warum es das gleiche ist.... Kannst du das vielleicht erläutern?

Hat man nun allerdings einen Hilbertraum kann man mit dem dort definierten Skalarprodukt arbeiten und die Hilbertraum-Adjungierte $\begin{eqnarray*} T^* \end{eqnarray*}$ einführen, welche über den Riesz'schen Isomorphismus definiert ist, der ja gerade den Bezug zwischen Skalarprodukt und Dualer Paarung/Dualraum herstellt.

Was genau meinst du miet Rieszschen Isomorphismus?Höre den Begriff zum ersten Mal. Hat es was mit dem Darstellungssatz von Riesz zu tun oder vielleicht mit der kanonischen Einbettung?

Viele Autoren bevorzugen für das Skalarprodukt die Notation der runden Klammern $\begin{eqnarray*} (\cdot , \cdot ) \end{eqnarray*}$ anstatt der spitzen, um genau den Unterschied zwischen Skalarprodukt und Dualer Paarung zu verdeutlichen.
Der Zusammenhang zwischen den beiden Adjunggierten ist wie folgt und hängt, wie schon erwähnt mit dem Riesz-Iso $\begin{eqnarray*} J \end{eqnarray*}$ zusammen:

$\begin{eqnarray*} (Tx,y) = \langle Tx, Jy\rangle = \langle x, T'Jy\rangle = (x, \underbrace{J^{-1}T'J}_{=:T^*}y) \end{eqnarray*}$

Zum Nutzen dieser Notation: Wie gerade gezeigt, kann man zwar eine Darstellung der Form $\begin{eqnarray*} (T'y')(x) = y'(Tx) \end{eqnarray*}$ auf Banachräumen nutzen, aber spätestens, wenn man konkreter in den Hilberraum geht, müsste man sehr umständliche Notationen und Umwege über den Riesz-Isomorphismus gehen.
Aus diesem Grund ist es einfacher, direkt über das Skalarprodukt zu definieren, da man dann vergleichbare Notationen hat und die meisten Sätze für Banachraum-Adjungierte auch für Hilbertraum-Adjungierte gelten, bzw. mit kleinen Änderungen (zB Komplexe Konjugation o.ä.) gerade weil man den Weg über den Riesz Isomorphismus gehen kann und sich Skalarprodukt und Duale Paarung sehr ähnlich verhalten.

Ich denke ich verstehe den Sinn dahinter, aber für ein konkretes Verständnis müsste ich wohl noch herausfinden was mit Riesz-Isomorphismus gemeint ist.

27.02.2012, 13:57

chrizke

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja der Riesz-Isomorphismus ist der Isomorphismus, der sich aus dem Riesz'schen Darstellungssatz ergibt.

Neue Frage »

Antworten »

Definition einer Abbildung übr Skalarprodukt

Verwandte Themen