Rang einer Bewegung mit Fixpunkt

26.02.2012, 11:46	bennb	Auf diesen Beitrag antworten »
Rang einer Bewegung mit Fixpunkt Meine Frage: Hallo zusammen, mir stellt sich eine Frage zu etwas, das ich gelesen habe. Hat man eine Bewegung $\begin{eqnarray} \beta : E^{n} -> E^{n} \end{eqnarray}$ repräsentiert durch $\begin{eqnarray} \vec{x}' = A\vec{x} + \vec{b} \end{eqnarray}$ (also A orthogonal) mit einem Fixpunkt, so gilt angeblich folgendes: $\begin{eqnarray} \beta \end{eqnarray}$ besitzt einen Fixpunkt genau dann, wenn $\begin{eqnarray} Rang(A-E,\vec{b})= Rang(A-E) \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Habe zunächst von links nach rechts probiert. Also ich weiß schon, dass $\begin{eqnarray} \vec{x} \end{eqnarray}$ genau dann ein Fixpunkt von $\begin{eqnarray} \beta \end{eqnarray}$ ist, wenn $\begin{eqnarray} \vec{x} = A\vec{x} + \vec{b} \end{eqnarray}$ . Damit muss $\begin{eqnarray} (A-E)\vec{x} = -\vec{b} \end{eqnarray}$ . Weiter bin ich leider nicht gekommen. Wäre über Hilfe sehr dankbar. Viele Grüße, Benni
28.02.2012, 12:21	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Rang einer Bewegung mit Fixpunkt Hallo Benni, Wenn Du (A-E)x berechnest, erhältst Du letztlich eine Linearkombination der Spalten von A-E. Nämlich: $\begin{eqnarray} x_1 \end{eqnarray}$ mal erste Spalte + $\begin{eqnarray} x_2 \end{eqnarray}$ mal zweite Spalte + ... + $\begin{eqnarray} x_n \end{eqnarray}$ mal n-te Spalte von A-E (Die $\begin{eqnarray} x_i \end{eqnarray}$ sind die Komponenten von $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ ) Also ist (A-E)x=-b gleichbedeutend damit, dass b eine Linearkombination der Spalten von A-E ist. Gruß, Rubiksilat.
29.02.2012, 01:37	bennib	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank Rubiksilat für die Hilfe, nun ist der Groschen gefallen! Beste Grüße, Benni

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