Fragen zum Kern von f...

26.02.2012, 12:11

martinio

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Fragen zum Kern von f...

Fragen:

Was bedeutet es, wenn der Kern von f nur aus dem Nullvektor, bzw. bei einer Gruppe, nur aus dem neutralen Element besteht. Kann er auch noch andere Elemente enthalten?
Ist die Folgerung , eine lin. Abb. ist genau dann injektiv, wenn der kern nur aus dem Nullvektor besteht, so zu verstehen, dass in diesem fall das Null-Element im Def.berreich auf die Null des Zielberreiches abbildet?

Warum ist dann dieser Fall genau nicht möglich?
[attach]23275[/attach]
In diesem Fall bildet der Ker f nur den Nullvektor, daraus kann man folgern, dass die abbildung injektiv ist... aber warum? Daher würde das Schaubild falsch sein, da zwei elemente nich auf ein ein gleiches element im zielberreich abgebildet werden können.

26.02.2012, 12:16

Mulder

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RE: Fragen zum Kern von f...
Ja, so eine lineare Abbildung, wie da in dem Bild, kann es nicht geben.

Wenn nur f(0)=0 ist, dann ist f immer injektiv. Und die Umkehrung gilt auch. Also bei einer injektiven Abbildung gilt immer nur f(0)=0. Der Beweis ist ein Einzeiler.

26.02.2012, 12:28

martinio

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RE: Fragen zum Kern von f...
ebenso ist es nicht möglich direkt die bijektivität zu folgern, da man nicht weiß, ob alle elemente im zielberreich ein urbild haben, oder?

26.02.2012, 12:30

Mulder

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RE: Fragen zum Kern von f...
Naja, wenn eine Abbildung nicht injektiv ist, kann sie ja auch nicht bijektiv sein, oder? Augenzwinkern

Augenzwinkern

Oder meinstest du eigentlich Surjektivität?

Auf dem Bild scheinen ja nur 0,4 und 6 in der Zielmenge zu liegen. So eine Abbildung an sich kann man sich ja wohl bauen. Surjektiv wäre die Abbildung. Aber wie gesagt: Linear kann sie nicht sein.

26.02.2012, 12:35

martinio

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RE: Fragen zum Kern von f...
nein, ich meinte die bijektivität: aber du hast recht... wenn der kern nur aus dem nullvektor besteht ist sie injektiv und kann nicht surjektiv sein => nicht bijektiv.

warum sollte sie nicht linear sein? könnten wir das an einem beispiel vll. mal durchgehen?

26.02.2012, 12:42

Mulder

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RE: Fragen zum Kern von f...

Zitat:

Original von martinio
warum sollte sie nicht linear sein? könnten wir das an einem beispiel vll. mal durchgehen?

Hatten wir doch schon. Bei einer linearen Abbildung gilt immer f(0)=0. Der Kern der Abbildung soll aus nur der 0 bestehen. Damit muss die Abbildung injektiv sein. Ist sie aber nicht, weil 2 und 3 beide auf die 4 abgebildet werden. Also ist das widersprüchlich.

Und das ist doch schon ein Beispiel...

Oder möchtest du das Ganze gerne beweisen?

Zitat:

wenn der kern nur aus dem nullvektor besteht ist sie injektiv und kann nicht surjektiv sein

Dieser Satz an sich stimmt natürlich nicht. Natürlich kann eine injektive Abbildung auch surjektiv sein, sonst würde es den Begriff Bijektivität ja gar nicht geben. Ich vermute, du hast etwas anderes sagen wollen.

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26.02.2012, 13:11

martinio

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RE: Fragen zum Kern von f...
Zu der Sache, dass die Abbildung nicht linear sein kann:
Sagen wir mal so, wir befinden und in einem vektorraum, d.h. die elemente mit denen wir arbeiten sind vektoren... habe das schaubild mal abgeändert:
[attach]23281[/attach]

Annahme: Wir befinden uns im $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$

Seien $\begin{eqnarray*} v_1 , ... , v_3 \in V ; b_1 , ... , b_3 \in B \end{eqnarray*}$
Die Abbildung läuft also von $\begin{eqnarray*} f: V \longrightarrow B \end{eqnarray*}$ , wobei V,B Vektorräume des $\begin{eqnarray*} \mathbb R ^2 \end{eqnarray*}$ sind.

Ich ordene den Vektoren nun Werte zu , um mit deisen "rechnen" zu können... hoffentlich darf ich das machen ohne eine genauere Abbildungsvorschrift zu kennen.

$\begin{eqnarray*} v_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} ; v_2 = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} v_3 = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} v_4 = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} b_1 = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} b_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} b_3 = \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Abgesehen davon, dass die Abbildung injektiv scheint, da $\begin{eqnarray*} f(v_3) = b_2 \end{eqnarray*}$ gilt, also der ker(f) enthält nur den Nullvektor, möchte ichn nun die linearität zeigen, bzw. :

Zitat:

Surjektiv wäre die Abbildung. Aber wie gesagt: Linear kann sie nicht sein.

26.02.2012, 13:27

Mulder

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RE: Fragen zum Kern von f...
Oh je... jetzt bringst du eine Reihe neuer Probleme rein...

Zunächst: Auf deinen Bildern tauch nirgends b3 auf. Aber von diesen Elementen schreibst du im Text. Im Text ist nirgends ein b4 zu finden. Im Bild aber wohl. Ich weiß nicht, wie ich damit umgehen soll.

Des weiteren muss man, wenn man sich eine lineare Abbildung konstruieren will, höllisch aufpassen, dass man sich die Eigenschaften einer linearen Abbildung nicht verbockt. Additivität und Homogenität kann man sich schnell kaputt machen, wenn man bei linear abhängigen Vektoren ihre Bilder definiert. Wenn zum Beispiel

v1 + v2 = v3

ist, dann muss auch

f(v1) + f(v2) = f(v3)

sein. Da ist Vorsicht geboten!

Das hat jetzt mit Injektivität und Surjektivität und dem Kern erstmal nichts zu tun. Das sind jetzt andere Probleme. Es ist sogar eine typische Übungsaufgabe für Studenten, dass irgendwelche Vektoren und ihre Bilder angegeben werden und man dann schauen soll, ob es eine solche lineare Abbildung geben kann.

Da das jetzt ein anderes Thema ist, dass man wohl auch nicht in zwei Zeilen erledigt, würde ich von deinem Beispiel jetzt gerne erstmal wieder wegrücken. Konzentrieren wir uns wieder auf die Äquivalenz einer linearen Abbildung:

Kern(f) = {0} <--> f injektiv

Zum Beweis (kann man eigentlich auch überall nachschlagen).

Vorüberlegung: Wenn f linear ist, gilt IMMER f(0)=0. Egal, ob injektiv oder nicht. Jede lineare Abbildung bildet die 0 auf die 0 ab. Kurzer Beweis:

$\begin{eqnarray*} f(0)=f(0+0)=f(0)+f(0) \end{eqnarray*}$

Auf beiden Seiten der Gleichung minus f(0) rechnen liefert f(0)=0.

So, nun zu Kern und injektiv.

<-

Sei f linear und injektiv.

Es gilt, da f linear ist, f(0)=0. Da f injektiv ist, kann außer der 0 kein anderes Element im kern liegen. Das ist Definition von Injektivtät, sonst nichts.

Die andere Richtung ist interessanter.

->

Sei f linear und sei Kern(f)={0}

Wir wollen zeigen, dass f injektiv ist. Sei also

$\begin{eqnarray*} f(a)=f(b) \end{eqnarray*}$

Dann folgt:

$\begin{eqnarray*} f(a)-f(b)=0 \end{eqnarray*}$

Und damit:

$\begin{eqnarray*} f(a-b)=0 \end{eqnarray*}$

Das bedeutet, dass (a-b) im Kern liegt. Da nach Voraussetzung nur die 0 im Kern liegt, gilt also a-b=0, also a=b.

Also ist f injektiv.

Übrigens noch ein Nachtrag: Eine lineare Abbildung ist bereits durch die Bilder einer Basis eindeutig bestimmt. Hat man eine Basis und kennt ihre Bilder, kann man die Abbildungsvorschrift ermitteln.

26.02.2012, 13:44

martinio

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RE: Fragen zum Kern von f...
okay lassen wir erstmal das o.g. schaubild weg. für die verwechselung entschuldige ich mich, ich werde es dann gleich korrigieren.

lass mich bitte kurz drüber nachdenken und dann schreibe ich weiter. hoffentlich bist du dann noch da.

26.02.2012, 14:10

martinio

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RE: Fragen zum Kern von f...
okay alles so weit verständlich , verstehe nun besser worum es eigentlich geht, dass man die dinge einzelnd betrachten muss und nicht direkt von der einne zur anderen sache springe darf, quasi wie bei erzeugendensystem , basis , lineare hülle und linearer unabhängigkeit und abhängigkeit.

was mir noch nicht ganz klar ist dieses hier:

Zitat:

Wir wollen zeigen, dass f injektiv ist. Sei also $\begin{eqnarray*} f(a)=f(b) \end{eqnarray*}$

dürfen wir wenn wir etwas zeigen wollen, so einfach f(a)=f(b) (def. injektivität) annehmen?

26.02.2012, 14:14

Mulder

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RE: Fragen zum Kern von f...
Das ist doch eine Standardmethode zum Nachweis von Injektivität.

So laufen Beweise doch immer ab. Man nimmt an, dass etwas gilt und folgert daraus dann etwas. Annehmen darf man, was man will. Entscheidend ist dann, ob man daraus neue Erkenntnisse gewinnen kann.

Gezeigt wurde, WENN f(a)=f(b) ist, DANN ist schon a=b. Also ist f injektiv.

26.02.2012, 14:17

martinio

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RE: Fragen zum Kern von f...
okay hast recht. verstanden. Freude

Freude

sollte man diese bweise am besten auswendig lernen? welche sind dann noch so standartbeweise?

26.02.2012, 14:19

Mulder

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RE: Fragen zum Kern von f...

Zitat:

Original von martinio
sollte man diese bweise am besten auswendig lernen?

Man sollte sie verstehen. Dann kann man sie bei Bedarf auch wieder abrufen.

Zitat:

Original von martinio
welche sind dann noch so standartbeweise?

Du wirst sicher einsehen, dass das jetzt jeden Rahmen sprengen würde. Da könnte man jetzt ganze Romane zuschreiben. Zudem ist das wohl Ansichtssache.

26.02.2012, 15:28

martinio

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okay.

Zitat:

Übrigens noch ein Nachtrag: Eine lineare Abbildung ist bereits durch die Bilder einer Basis eindeutig bestimmt. Hat man eine Basis und kennt ihre Bilder, kann man die Abbildungsvorschrift ermitteln.

Ist dies dann nicht die Darstellungsmatrix / Abbildungsmatrix , wobei die Bilder der Basisvektoren die Spalten dieser Matrix bilden?

26.02.2012, 15:41

Mulder

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Ja, wobei sich die Matrix natürlich verändert, je nachdem welche Basisvektoren man nun nimmt. Es gibt ja im Allgemeinen nicht DIE Basis, sondern unendlich viele verschiedene Basen.

Nimmt man jeweils die kanonischen Basen, dann kann man einfach die Bilder der Basisvektoren als Spalten in eine Matrix schreiben, das ist der einfache Fall. Sonst sieht es etwas anders aus.

26.02.2012, 15:44

martinio

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ja genua, dass wusste ich eig. auch. aber gut , dass du nochmal drauf hinweist.
dann noch eine andere frage: bei einem typischen basiswechsel, z.b. ich wechsel die kanonische Basis durch eine andere im Definitionsberreich brauche ich doch die Transformationsabbildung, oder?

26.02.2012, 15:51

Mulder

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Naja, kann man ja einfach nachlesen. Man stellt die "alten" Basisvektoren als Linearkombination der "neuen" Basisvektoren dar und schreibt die Koeffizienten dann als Spalten in eine Matrix.

Siehe auch hier.

Etwas weiter unten steht's für allgemeine lineare Abbildungen. Aber auch dort bildet man diese Basiswechselmatrizen analog.

26.02.2012, 16:02

martinio

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O.K. zurück zum alten Thema...
ich glaube es hat wenig sinn an meinem Schaubild weiter rumzuhantieren...

Zitat:

Des weiteren muss man, wenn man sich eine lineare Abbildung konstruieren will, höllisch aufpassen, dass man sich die Eigenschaften einer linearen Abbildung nicht verbockt. Additivität und Homogenität kann man sich schnell kaputt machen, wenn man bei linear abhängigen Vektoren ihre Bilder definiert. Wenn zum Beispiel v1 + v2 = v3 ist, dann muss auch f(v1) + f(v2) = f(v3) sein. Da ist Vorsicht geboten!

Ich würde das ganz gerne mal machen... wie beginnt man denn nun am besten?

26.02.2012, 16:08

Mulder

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Was willst du machen? Ist mir grad nicht ganz klar...

26.02.2012, 16:21

martinio

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nun ja ich will mir einfach mal eine lineare abbildung basteln und daran sehen wie die zusammenhänge zwischen bildvektoren und vektoren des definitionsberreiches sind... wie du sagtest , man muss höllisch aufpassen!

26.02.2012, 16:32

Mulder

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Du musst nicht aufpassen, wenn die Vektoren, die du aus deinem Urbild wählst, linear unabhängig sind. Dann kann nichts schiefgehen, egal wie du die Bilder wählst.

26.02.2012, 16:38

martinio

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sondern, dass die abbildung additiv und homogen bleibt?

26.02.2012, 16:49

Mulder

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Der Satz passt jetzt (schon grammatikalisch) überhaupt nicht.

Additivität und Homogenität kannst du nicht kaputt machen, wenn deine Urbildvektoren linear unabhängig sind.

26.02.2012, 17:01

martinio

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tut mir leid - habe überlesen, dass bei linear abhängigen vektor vorsicht geboten ist...

26.02.2012, 17:30

martinio

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habe hier noch eine teilaufgabe:

V sei ein K-Vektorraum, $\begin{eqnarray*} w \in V \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} w \neq 0 \end{eqnarray*}$ . Die Abbildung $\begin{eqnarray*} f : V \longrightarrow V \end{eqnarray*}$ , defiiniert durch f(v) = w-v, für alle $\begin{eqnarray*} v \in V \end{eqnarray*}$ , ist linear. Richtig oder falsch?

Ansatz: $\begin{eqnarray*} w \neq 0 \end{eqnarray*}$ => w ist lin. unabhängig => f(w) in V ist ebenfealls lin. unabhängig, also kann w nicht der Nullvektor sein, bzw. im Kern der Abbildung liegen.

Die Abbildung kann nur dann linear sein, wenn f(v) = 0 , mit w-v =0 , d.h. v=w gilt.

Irgendwie naja...

26.02.2012, 17:43

Mulder

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Zitat:

Original von martinio
Ansatz: $\begin{eqnarray*} w \neq 0 \end{eqnarray*}$ => w ist lin. unabhängig => f(w) in V ist ebenfealls lin. unabhängig, also kann w nicht der Nullvektor sein, bzw. im Kern der Abbildung liegen.

Irgendwie ziemlich sinnlos, was du da schreibst. w ist linear unabhängig, ja. Ist ja nur ein einzelner von null verschiedener Vektor. Natürlich kann w nicht der Nullvektor sein, wenn w nach Voraussetzung schon ungleich 0 ist. Aber w liegt natürlich im Kern, denn f(w)=w-w=0. Damit ist f(w) auch linear abhängig, denn der Nullvektor ist nach Definition linear abhängig. Aber wo soll das alles hinführen?

Zitat:

Original von martinio
Die Abbildung kann nur dann linear sein, wenn f(v) = 0 , mit w-v =0 , d.h. v=w gilt.

Da komm ich jetzt gar nicht mehr mit.

Du sollst doch nur die Frage beantworten, ob f linear ist. Ist f denn additiv? Oder homogen? Mehr ist doch nicht zu prüfen.

26.02.2012, 17:55

martinio

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möglicherweise denke ich zu kompliziert... verwirrt

verwirrt

f(v) = w-v
f(w) = w-w

Jetzt ganz strikt müsste für die Additivität gelten:

f(v+w) = (w-v) + (w -w) = f(v) + f(w)

das macht doch alles schon wieder kein sinn...

26.02.2012, 17:57

Mulder

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Du denkst wirklich zu kompliziert. Nicht nur an dieser Stelle.

Zitat:

Original von martinio
Jetzt ganz strikt müsste für die Additivität gelten:

f(v+w) = (w-v) + (w -w) = f(v) + f(w)

Es ist ungeschickt, da jetzt schon wieder das w zu verwenden. Das w ist erstmal fest, ein festes Element aus V.

Nun nehmen wir uns für die Additivität zwei beliebige Elemente aus V. Nennen wir die v1 und v2 meinetwegen. Gilt denn nun

$\begin{eqnarray*} f(v_1+v_2) =f(v_1)+f(v_2) \end{eqnarray*}$

oder gilt das nicht?

26.02.2012, 18:07

SusiQuad

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Für die Abb. $\begin{eqnarray*} f(v) = w - v \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} f(0) = w \neq 0 \end{eqnarray*}$ und damit ist f NIEMALS linear.
Weil lineares f ergibt: $\begin{eqnarray*} f(0) = f(0 + 0)= f(0) + f(0) \end{eqnarray*}$ also $\begin{eqnarray*} \color{red}f(0)=0\color{black} \end{eqnarray*}$

26.02.2012, 18:09

martinio

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ich glaube der kern meines problems liegt einfach darain, dass ich nicht wieß, wie ich das

Zitat:

$\begin{eqnarray*} f(v_1+v_2) =f(v_1)+f(v_2) \end{eqnarray*}$

nun umzusetzen habe. Hier ein neuer Versuch:

$\begin{eqnarray*} f(v_1+v_2) =w-v_1 + w-v_2 = 2w - v1 - v2 \end{eqnarray*}$

irgendwie nicht wirklich linear...

Du sagst, w sei ein festes Element,
1. woher sollte ich nun wissen, dass dem so ist? Für die Klausur kann das auch ganz schön nach hinten los gehen.
2. Oben habe ich nun unter der Annahme, dass w "fest" sei als ein konstantes Element gewählt, für mich nun wieder ratestunde, ob dem so ist oder nicht...

Gibt es nicht da irgendwie ein Faustregel für solche Aufgaben?

26.02.2012, 18:13

Mulder

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Zitat:

Original von martinio
1. woher sollte ich nun wissen, dass dem so ist? Für die Klausur kann das auch ganz schön nach hinten los gehen.

Es steht so in der Aufgabe. Ìch meine, du kannst doch wohl lesen! Da steht "sei w aus V".

Edit: Das klang jetzt wieder barscher als eigentlich gedacht. Letztlich sollte das keine Probleme machen. Aufgabenstellung genau lesen, dann passt das schon.

Also:

$\begin{eqnarray*} f(v_1+v_2) = w-(v_1+v_2) =w-v_1-v_2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(v_1)+f(v_2) = (w-v_1) + (w-v_2) = 2w-v_1-v_2 \end{eqnarray*}$

Da das offensichtlich nicht dasselbe ist, ist die Abbildung auch nicht linear.

Sie ist auch nicht homogen, wie du analog nachrechnen kannst.

Und ja, man sieht es auch daran, dass die 0 nicht im Kern liegt. Dass das bei einer linearen Abbildung IMMER so sein muss, hatte ich auf Seite 1 dieses Threads ja auch schon geschrieben, scheinbar hast du auch das aber schon wieder verdrängt.

26.02.2012, 19:34

Mulder

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Mir ist noch was eingefallen, was eventuell helfen könnte. Aus der Schule (Analysis) müsstest du doch noch diese Funktionenscharen kennen, mit denen hat man ja rauf und runter gerechnet (Kurvendiskussion und der ganze Käse). Da hatte man dann irgendwie sowas wie

$\begin{eqnarray*} f_a(x) = e^{ax} \end{eqnarray*}$

mit einem Parameter a € R. Auch da musste man sich den Unterschied zwischen a und x klar machen: Das x war die Variable und das a ein zwar beliebiger, aber trotzdem fester Wert. Auch beim Ableiten z.B. behandelt man das a ja wie eine normale Zahl.

Genau das gleiche hat man hier eigentlich auch; es ist eine "Abbildungsschar", wenn man so will. Man könnte auch schreiben

$\begin{eqnarray*} f_w(v) = w-v \end{eqnarray*}$

Nur dass du anstelle einer Kurvendiskussion nun eben auf Linearität untersuchen sollst. Das v ist die Variable. w hingegen ist fest.

26.02.2012, 23:54

martinio

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passt jetzt allles... ich brauchte mal ne pause Augenzwinkern

Augenzwinkern

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