Matrix und Kern

26.02.2012, 12:56	Cheftheoretiker	Auf diesen Beitrag antworten »
Matrix und Kern Hallo, ich soll den Kern folgender Matrix bestimmen, $\begin{eqnarray} A:=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Ich bin folgendermaßen vorgegangen, $\begin{eqnarray} Kern(A)=\{b\in \mathbb R^3\|A\cdot b=0\}=\begin{pmatrix} x \\ y \\z\end{pmatrix}\in \mathbb R^3\|\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & 1 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} x \\ y \\z\end{pmatrix}=\binom{0}{0}\} \end{eqnarray}$ Ich bin nun auf einen $\begin{eqnarray} Kern(A)=\{\begin{pmatrix} 0 \\ -z/2 \\ -2y\end{pmatrix}\} \end{eqnarray}$ gekommen. Laut Lösung soll für $\begin{eqnarray} y=y \end{eqnarray}$ raus kommen. Wo liegt denn mein Fehler?
26.02.2012, 13:43	chrizke	Auf diesen Beitrag antworten »
Na hast du deinen Kern-Vektor mal an deine Matrix multipliziert und geschaut was da raus kommt? Ich verstehe auch nicht so ganz, was in diesem Vektor y und z bedeuten sollen...
26.02.2012, 13:50	Cheftheoretiker	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Matrix und Kern Ich habe als erstes das Matrixprodukt gebildet $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & 1 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} x \\ y \\z\end{pmatrix}=\binom{0}{0} \end{eqnarray}$ und bin anschließend auf folgendes LGS gekommen. $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1x+2y+z \\ 2y+z \end{pmatrix}=\binom{0}{0} \end{eqnarray}$ Das habe ich umgeformt und bin auf $\begin{eqnarray} x=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} y=-\frac{z}{2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} z=-2y \end{eqnarray}$ und dachte mir nun das sei der Kern...
26.02.2012, 13:57	chrizke	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah jetzt verstehe ich das. Also du hast ausgerechnet, dass x=0 ist. Das ist ok. Dann bleibt ja $\begin{eqnarray} 2y+z=0 \end{eqnarray}$ übrig. Das ist eine Gleichung mit zwei unebkannten. Hier musst du nun eine der beiden Variablen vorwählen, sagen wir $\begin{eqnarray} y=\lambda \end{eqnarray}$ und kannst dann damit den Kern aufstellen, sodass dein Vektor nur noch von der neuen Variable $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ abhängt.
26.02.2012, 14:02	Cheftheoretiker	Auf diesen Beitrag antworten »
Kann ich nich auch einfach sagen $\begin{eqnarray} y\in \mathbb R \end{eqnarray}$ das wäre doch das selbe? Dann stimmt nämlich das mit der Lösung auch überein.
26.02.2012, 14:05	chrizke	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja kannst du auch machen. Ob du das nun $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ nennst, ist egal, das hatte ich nur zur Verdeutlichung vorgeschlagen, damit du nicht y und z als Variablen, mit der y- oder z-Position in deinem Lösungsvektor vertauschst. Wichtig ist, dass dein Lösungsvektor am Ende nur von einer Variable abhängt.
Anzeige

26.02.2012, 14:08	Cheftheoretiker	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, dass ist mir dadurch nun auch deutlich geworden. Vielen Dank!

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »