Theoretische Frage zur Berechnung von Fläche zwischen Parabel, Gerade und x-Achse |
| 26.02.2012, 13:01 | MathePJ | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Theoretische Frage zur Berechnung von Fläche zwischen Parabel, Gerade und x-Achse Hallo, ich habe eine Frage zur Flächeberechnung mittels Integralen. Ich habe beispielsweise eine Parabel P(x)= -x^2, die nach unten geöffnet ist. Nun habe ich noch zwei Geraden g1(x)= ax und g2(x)=-ax. Nun muss ich die Fläche bestimmen, die von der Parabel und den Geraden eingeschlossen ist. Nun die Frage: Der Flächeninhalt zwischen der Parabel und der Gerade geht durch drei der vier Quadranten. Kann man da einfach das Integral von der Parabel-Gerade in den Grenzen ausrechnen oder muss man den Flächeninhalt für jeden Quadranten einzeln bestimmen? Bitte um eine schnelle Antwort. Meine Ideen: Ich habe mir folgendes Gedacht: |INT(P(x)-g1(x)| = A zwischen P(x) und g1(x) |
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| 26.02.2012, 13:31 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Theoretische Frage zur Berechnung von Fläche zwischen Parabel, Gerade und x-Achse Wenn die Gleichung der Parabel tatäschlich f(x) = -x² ist, dann kommen sowieso nur 2 Quadranten in Frage. Ich habe mal die Geschichte für a = 2 aufgezeichnet: Du hast eine symmetrische Figur, es reicht daher, eine der beiden Flächen zu berechnen und dann für die Gesamtfläche das Ergebnis zu verdoppeln. 
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| 26.02.2012, 13:34 | MatheJP | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| schlechtes Beispiel Das war ein schlechtes Beispiel meinerseits. Wie sieht es denn bei a-x^2 aus? Dann müssten ja mehrere Quadranten betroffen sein. Kann man da einfach die Differenzfunktion erstellen und in den Grenzen die Stammfunktion integrieren? Also ohne dass man auf die Quadranten Rücksicht nehmen muss oder muss man es teilweise integrieren? |
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| 26.02.2012, 13:40 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: schlechtes Beispiel Auch hier lohnt es sich, die Aufgabe mal beispielhaft (a = 2) darzustellen: Du siehst, die Grenzen für deine Integration liegen weniger an den Grenzen der Quadranten, vielmehr musst du hier Teilflächen berechnen, die durch die Schnittpunkte der verschiedenen Graphen vorgegeben werden. Es kommt jetzt allerdings auf die genaue Aufgabenstellung an, wie die Grenzen gezogen werden.
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| 26.02.2012, 14:25 | MatheJP | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Frage Wenn ich jetzt den Flächeninhalt bestimmen soll, der von den Geraden und der Parabel eingeschlossen ist, kann ich dann folgendes machen: Stammfunktion von P(x)-g(x) bilden (g(x) ist z.B. die grüne Gerade). Dann als Grenze die Schnittpunkte der Geraden mit der Parabel ausrechnen und einsetzen. Dann müsste ich doch die Fläche zwischen Parabel und grüner Geraden haben oder? Dann würde ich die Fläche II. Quadranten zwischen Gerade, Parabel und Y-Achse berechnen, indem ich in die obere Stammfunktion die Grenzen des obereren Schnittpunktes (liegt auf dem Bild bei x ungefähr 0,75) und 0 für die y-Achse einsetze. Den Flächeninhalt ziehe ich dann vom Flächeninhalt zwischen der Gerade und Parabel ab und multipliziere diesen dann mit 2, da sonst nur die Hälfte des gesamten Flächeninhalt berechnet wäre. Ist meine Denkweise nachvollziehbar und richtig oder wo liege ich falsch? |
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| 26.02.2012, 14:49 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Frage
Du hättest dann die lila Fläche: [attach]23284[/attach] Und der Rest ist auch so machbar, deine Überlegungen sind richtig. Du könntest es dir allerdings leichter machen, indem du als linke Grenze einfach die y-Achse wählst (anstatt des Schnittpunktes von Parabel und Gerade bei x ca. 0,75 ) 
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| 26.02.2012, 15:55 | MatheJP | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Danke Danke für die Hilfe. Das ich die Y-Achse lieber wählen sollte, ist ein guter Tipp. Erspart mir eine Menge Arbeit
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| 26.02.2012, 16:13 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Danke Gern geschehen. 
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