Basen / VR

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26.02.2012, 13:36	martinio	Auf diesen Beitrag antworten »
Basen / VR Wahr oder falsch? Begründen sie ihre Antwort: Es sei U ein Unterraum von V. Dann gilt dim U kleiner gleich dim V. Wahr. Man muss hier unterscheiden zwischen endlichen und unednlcihen Basen. Ein Vektorraum V beiinhaltet sowohl endliche als auch unendliche Basen. Die Dimension einer endlichen Basis richtiet sich nach der Anzahl ihrer Basisvektoren: dimBasis=n . bei einer unendlichen Basis ist die dimension = unendlich. Zusätzlich gilt nach Austauschsatz von Steinitz, dass alle endlichen Basen die gleiche Länge haben. Falls der Unterraum von einer unendlichen Basis aufgespannt und V ebenfalls von einer unendlichen Basis aufgespannt wird gilt: dim U = dim V , falls der Unterraum von einer endlicben Basis aufgespannt wird und der Vektorraum ebenfalls gilt auch hier dimU = dim V. Für Unterraum endlich dim. erzeugt und Vektorraum unendlich dim. erzeigt gitl dann dim U < dim V. ISt die begründung so in ordnung? quasi eine fallunterscheidung mit 3 Fällen.
26.02.2012, 15:24	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Ist sie leider nicht. Zum einen beziehst Du Dich nirgends auf die Tatsache, dass U ein UVR ist, sondern gehst von Gleichheit aus, zum anderen behauptest Du, dass aus $\begin{eqnarray} dim~ U=\infty \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} dim~V=\infty \end{eqnarray}$ die Gleichheit der Dimensionen folgt. Das muss aber nicht zwingend so sein. Für die Begründung benötigt man aber auch gar keine Fallunterscheidung, sondern einfach nur die Tatsache, dass ein UVR einen Teilmenge ist.
26.02.2012, 15:27	martinio	Auf diesen Beitrag antworten »
wie müsste man es dann machen? U ist UVR von V. V sei endlich-dimensional, dann ist auch U endlich-demiensinal, da nach Austauschsatz von Steinitz alle Basen die gleiche Länge habe?
26.02.2012, 15:40	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich würde mir erst einmal eine Basis von U angucken und überlegen, wie sich diese zu einer Basis von V verhält.
26.02.2012, 16:00	martinio	Auf diesen Beitrag antworten »
Nehme mir die Standartbasis des $\begin{eqnarray} \mathbb R^3 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} E := \left\{ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} ,\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} ,\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \right\} \end{eqnarray}$ . Nehme mir eine Basis des Untervektorraums U : $\begin{eqnarray} A := \left\{ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} ,\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} ,\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \right\} \end{eqnarray}$ Dann würde aber gelten, dass U = $\begin{eqnarray} \mathbb R^3 \end{eqnarray}$ da beide den gleichen Span haben... foglich dimU=dimR^3=3 Nehme mir eine Basis des UVK P $\begin{eqnarray} B := \left\{ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \right\} \end{eqnarray}$ , welche den UVR der Vektoren der Form $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} a \\ b \\ a \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ aufspannt. (Abgeschlossenheit bzgl. Addition und Multiplikation stimmen) Die Dimension von B ist dann: dimB=2 ... daran sieht man , dass gilt: $\begin{eqnarray} dim(UVR) \leq dim (V) \end{eqnarray}$ So O.K. ?
26.02.2012, 16:07	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Das sind zwei Beispiele, aber nichts allgemeines. Nehmen wir erstmal vereinfacht an, wir haben eine endliche Basis $\begin{eqnarray} \{u_1,...u_r\} \end{eqnarray}$ . Was gilt dann für alle $\begin{eqnarray} u_i \end{eqnarray}$ im Bezug auf V?
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26.02.2012, 16:18	martinio	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} u_i \end{eqnarray}$ kann als Linearkombination durch die Vektoren von V dargestellt werden, d.h. $\begin{eqnarray} u_i = \sum\limits_{i=1}^n \lambda_i \cdot v_i \end{eqnarray}$
26.02.2012, 16:37	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Richtig, also sind sie gleichzeitig auch Elemente von?
26.02.2012, 16:39	martinio	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} u_i = \sum\limits_{i=1}^n \lambda_i \cdot v_i \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \in V \end{eqnarray}$
26.02.2012, 17:35	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Richtig. Es sind linear unabhängige Vektoren in V. Und was kannst Du mit denen anstellen?
26.02.2012, 17:47	martinio	Auf diesen Beitrag antworten »
man kann sie in einer Menge zusammenfassen, per Basisergänzungssatz , ergibt sich dann dort eine neue Basis.
26.02.2012, 17:49	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
richtig und zwar eine Basis von V, die die Basis von U enthält. Wenn Du Dir dann noch überlgst, wie die Dimension eines VR definiert ist, sollte die Aussage klar sein.
26.02.2012, 17:59	martinio	Auf diesen Beitrag antworten »
die Basis von V enthält daher mehr Elemente. Die Dimension des Vektorraums richted sich nach der Anzahl der Basisvektoren. Da die Basis von V gerade mehr ELement enthält als die Basis von U, gilt für die Dimension: dim U $\begin{eqnarray} \leq \end{eqnarray}$ dim V. so o.k.?
26.02.2012, 18:04	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Fast: Eine Basis von V muss ja nicht mehr Vektoren enthalten, sondern könnte auch genau so viele haben. Gleichheit der Räume ist ja nicht ausgeschlossen. Ansonste würde ja auch dim U< dim V gelten.
26.02.2012, 18:15	martinio	Auf diesen Beitrag antworten »
okay, dann habe ich ein grundsätzliches problem... der austauschsatz von steinitz besagt, dass alle basen in einem vektorraum die gleiche länge haben.... damit wäre es doch unmöglich, dass ein unterraum eine kleinere dimension besitzt.
26.02.2012, 18:26	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Nö, es geht ja um die Basen des Gesamtraums und die haben immer dieselbe Anzahl an Vektoren. Beispiel: Jede Basis des $\begin{eqnarray} \mathbb{R}^2 \end{eqnarray}$ besteht (über $\begin{eqnarray} \mathbb{R} \end{eqnarray}$ ) aus zwei linear unabhängige Vektoren. Betrachte ich aber die erste Winkelhalbierende (nebst ihrer Verlängerung in den dritten Qudranten), so erhalte ich einen eindimensionalen Unterraum.
26.02.2012, 18:36	martinio	Auf diesen Beitrag antworten »
Der R^1 ist auch ein Vektorraum, bei dem es ja nur um Punkte geht. Eine Basis ist dann einfach nur der Punkt 1 oder? Wären dann die Menge {2,+,*} ein Unterraum?
26.02.2012, 18:58	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, $\begin{eqnarray} \mathbb{R} \end{eqnarray}$ ist ein eindimensionaler Vektorraum, der nur zwei Teilräume hat, nämlich den Nullraum und sich selbst. Wobei ich wieder davon ausgehe, dass wir als zugehörigen Körper IR selbst nehmen.

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