Grenzwert berechnen

26.02.2012, 14:14

Gilbert0

Grenzwert berechnen

Hallo Leute,

Wie berechne ich folgenden Grenzwert:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{x^2 ln(1+x^3)}{\sin(x^5) } \end{eqnarray*}$

Viele Grüße,

Gilbert

26.02.2012, 14:26

Leopold

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Ich würde dir vorschlagen, das über Potenzreihen zu machen. Sofern du das kennst ...

26.02.2012, 14:29

Liberty1991

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Ich würde den L´Hospital verwenden

26.02.2012, 14:34

Mulder

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Zitat:

Original von Liberty1991
Ich würde den L´Hospital verwenden

Da würde man sich ja dumm und dämlich rechnen...

26.02.2012, 14:36

Gilbert0

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Bei der Potenzreihendarstellung müsste ich den Bruch auseinanderziehen und zuerst den Grenzwert $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{x^2}{sin(x^5)} \end{eqnarray*}$ betrachten. Es kürzt sich das $\begin{eqnarray*} x^2 \end{eqnarray*}$ raus und im Nenner steht dann was mit $\begin{eqnarray*} x^3-(x^5)/5!+(x^7)/7! ... \end{eqnarray*}$ , was ja für den Limes gegen 0 geht. Daher komm ich so nicht weiter, brauche Hilfe!

26.02.2012, 14:37

Leopold

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Man könnte auch so vorgehen:

$\begin{eqnarray*} \frac{x^2 \ln \left( 1 + x^3 \right)}{\sin \left( x^5 \right)} = \frac{1}{\frac{\sin \left( x^5 \right)}{x^5}} \cdot \frac{\ln \left( 1 + x^3 \right)}{x^3} \end{eqnarray*}$

Wenn man jetzt einmal $\begin{eqnarray*} s = x^5 \end{eqnarray*}$ und einmal $\begin{eqnarray*} t = x^3 \end{eqnarray*}$ substituiert, läuft alles auf die Untersuchung von

$\begin{eqnarray*} \frac{\sin s}{s} \, , \ \ \frac{\ln(1+t)}{t} \end{eqnarray*}$

für $\begin{eqnarray*} s \to 0 \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} t \to 0 \end{eqnarray*}$ hinaus. In den beiden Termen erkennt man aber Differenzenquotienten geeigneter Funktionen.

26.02.2012, 14:40

Leopold

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Zitat:

Original von Gilbert0
Bei der Potenzreihendarstellung müsste ich den Bruch auseinanderziehen und zuerst den Grenzwert $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{x^2}{sin(x^5)} \end{eqnarray*}$ betrachten. Es kürzt sich das $\begin{eqnarray*} x^2 \end{eqnarray*}$ raus und im Nenner steht dann was mit $\begin{eqnarray*} x^3-(x^5)/5!+(x^7)/7! ... \end{eqnarray*}$ , was ja für den Limes gegen 0 geht. Daher komm ich so nicht weiter, brauche Hilfe!

Die Idee ist richtig, die Rechnung stimmt aber ab dem zweiten Summanden nicht mehr. Für den Grenzwert spielt dieser Fehler allerdings keine Rolle.

Jetzt noch die bekannte Potenzreihe für $\begin{eqnarray*} \ln (1+t) \end{eqnarray*}$ verwenden und $\begin{eqnarray*} t=x^3 \end{eqnarray*}$ setzen.

26.02.2012, 14:46

Gilbert0

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Ja, stimmt. Müsste glaub ich beim zweiten Summanden x^13 heißen, wenn ich richtig gerechnet habe. Okay, vielen Dank für deine Hilfe. Die Reihendarstellung von ln(1+x) hatten wir in der Vorlesung nicht, aber beim Grenzwert von ln(1+x)/x^3 x gegen 0 kann ich ja L'Hospital anwenden.

26.02.2012, 14:50

Leopold

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Du kannst ja auch die Alternative probieren.

26.02.2012, 14:53

Gilbert0

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Ja die meine ich ja. Dann den ersten Term mit Sinus mit der Potenzreihendarstellung lösen, geht gegen 1 und den zweiten Term mit ln(1+t) mit L'Hospital lösen, weil wir die Potenzreihendarstellung von ln(1+t) in der Vorlesung nicht hatten, was dann auch gegen 1 geht. Also insgesamt geht das Ding gegen 1.

26.02.2012, 15:56

Leopold

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Man braucht etwas weniger als L'Hospital. Dazu betrachtet man den Differenzenquotienten der Funktion $\begin{eqnarray*} f(t) = \ln (1+t) \end{eqnarray*}$ an der Stelle $\begin{eqnarray*} t_0 = 0 \end{eqnarray*}$ , also

$\begin{eqnarray*} \frac{f(t) - f(t_0)}{t - t_0} = \frac{\ln (1+t)}{t} \end{eqnarray*}$

Und was passiert hier für $\begin{eqnarray*} t \to 0 \end{eqnarray*}$ ?

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