für welche x konvergiert die reihe?

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26.02.2012, 15:23	bruno2	Auf diesen Beitrag antworten »
für welche x konvergiert die reihe? hallo, ich habe folgende reihe und soll herausfinden, für welche x die reihe konvergiert. $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=0}^\infty (-1)^n\frac{4x^{2n} }{4^n} \end{eqnarray}$ ich forme um in eine geometrische reihe: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=0}^\infty (-1)^n4(\frac{x^2 }{4})^n \end{eqnarray}$ dies konvergiert, wenn $\begin{eqnarray} \frac{x^2 }{4} < 1 \end{eqnarray}$ . also $\begin{eqnarray} x^2<4 \end{eqnarray}$ wurzel ziehe liefert $\begin{eqnarray} -2<x<2 \end{eqnarray}$ . kann ich das ganze auch mit der formel für den konvergenzradius berechnen? ich meine diese formel: $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty } \| \frac{a_{n} }{a_{n+1} } \| \end{eqnarray}$ , und wenn ja, wie? ich komm damit irgendwie nicht so zurecht...
26.02.2012, 16:07	Srecko	Auf diesen Beitrag antworten »
Es ist eine alternierende Reihe, deswegen, ich glaube, kann man nicht nur einfach so die Formeln anwendern.
26.02.2012, 16:20	Gilbert0	Auf diesen Beitrag antworten »
Hier bietet sich das Quotientenkriterium nicht an, am besten hier das Wurzelkriterium anwenden und davor $\begin{eqnarray} x^2=y \end{eqnarray}$ setzen.
26.02.2012, 16:28	bruno2	Auf diesen Beitrag antworten »
wie wende ich das wurzelkriterium dann richtig an? ich hab irgendwann dann dastehen: $\begin{eqnarray} -\frac{1}{2} y \end{eqnarray}$ ...
26.02.2012, 16:42	Gilbert0	Auf diesen Beitrag antworten »
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/de/math/9/0/2/9026caee3746222ff14d9c7c63976d95.png Das ist die Formel, mit der du den Konvergenzradius bestimmen kannst. Mit der von dir im ersten Beitrag angegebenen Formel geht das natürlich auch, aber für dieses Beispiel bietet sich die Formel in dem Link besser an.
26.02.2012, 16:50	bruno2	Auf diesen Beitrag antworten »
danke, aber mit der formel kann ich nichts anfangen die tauscht auch nicht im meinem skript auf
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26.02.2012, 17:15	Gilbert0	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \sqrt[n]{\| a_{n} \| } = \sqrt[n]{\| (-1)^n\frac{4}{4^n} \| } \to \frac{1}{4} (n \to \infty) \end{eqnarray*}$ Daraus folgt, dass die Reihe für (-4) < y < 4 konvergiert, also für (-2) < x < 2. Nun die Randwerte x=-2 und x=2 untersuchen, dann bist du fertig.
26.02.2012, 17:28	SusiQuad	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Formel von Gilbert IST das Wurzelkriterium. Bei genauem Hinsehen besagt sie, dass eine Pot.Reihe innerhalb ihres Kon.Radius ABSOLUT konvergiert. $\begin{eqnarray} \|a_n\| = \frac{\|x\|^{2n}}{4^{n-1}} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \sqrt[2n] {\|a_n\|} = \|x\| \cdot ( \frac{1}{4} )^\frac{n-1}{2n} \rightarrow 2\|x\| \end{eqnarray}$
26.02.2012, 17:48	SusiQuad	Auf diesen Beitrag antworten »
Korrektur: $\begin{eqnarray} \|x\| \cdot ( \frac{1}{4} )^\frac{n-1}{2n} \rightarrow \frac{\|x\|}{ \color{red} 2 \color{black}} \end{eqnarray}$
26.02.2012, 17:49	bruno2	Auf diesen Beitrag antworten »
ich versteh eure umformungen nicht. die version von gilbert leuchtet mir allerdings am meisten noch ein. das einzige was ich nicht versteh: wo kommt das y her? und wie kommst du nun auf -4 und 4?
26.02.2012, 18:03	Gilbert0	Auf diesen Beitrag antworten »
Achso, ja bei dem oberen Beitrag von mir siehst du, dass ich für $\begin{eqnarray} x^2=y \end{eqnarray}$ eingesetzt habe, damit die Reihe in Form der Potenzreihe vorliegt, also folgendes dasteht: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=0}^\infty (-1)^n \frac{4}{4^n}y^n \end{eqnarray}$ Danach habe ich mit dem Wurzelkriterium die Reihe untersucht, siehe meinen vorigen Beitrag. Mit dem Wurzelkriterium kam ich auf den Grenzwert 1/4. Daraus folgt, dass der Konvergenzradius 4 ist für y=x^2, schau dir meine Formel für den Konvergenzradius an, dann wirst du diesen Schritt nachvollziehen können. Und am Ende habe ich wieder rücksubstituiert und habe $\begin{eqnarray} y=x^2 \end{eqnarray}$ eingesetzt.
26.02.2012, 18:19	bruno2	Auf diesen Beitrag antworten »
ok vielen dank an euch beide!

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