Supremums-Norm

04.07.2004, 18:15

Katrin_

Supremums-Norm

Hallo, ich soll folgende Aufgabe rechnen, aber irgendwie komme ich nicht damit zurecht, vielleicht kann von euch jemand weiterhelfen, das wäre super:

Sei f:[0,1] -> IR, x -> x

$\begin{align*} \gamma (x)=\frac{j}{n} \end{align*}$ für $\begin{align*} x \in [\frac{j-1}{n}, \frac{j}{n}[, j=1,...,n \end{align*}$
und
$\begin{align*} \gamma (x)=1 \end{align*}$ für x=1

Zeigen Sie:
$\begin{align*} ||\gamma n - f||oo --> 0 \end{align*}$ und
$\begin{align*} \lim_{n \to oo} \Bigint_{0}^1~ \gamma n = \frac{1}{2} \end{align*}$ .
Geben Sie eine geometrische Interpretation an.

04.07.2004, 20:47

Wolfskehl

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RE: Supremums-Norm
das sieht mir nach einer treppenfunktion aus. am anfang der integralrechnung verwendet man die ja um eine fläche anzunähern indem man die streifen dann immer dünner macht, also n immer größer. macht man sie unendlich dünn, so erhält man die fläche, in diesem fall wohl die eines dreiecks, das die halbierung des quadrats mit der länge 1 darstellt, das also 0,0 bis 1,1 geht.

als funktionswert wird in den betreffenden intervallen jeweils das supremum genommen.

was mich etwas irritiert ist das n hinter hinter dem integralzeichen...ist das richtig so?

04.07.2004, 21:35

Katrin_

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RE: Supremums-Norm
Das n hinter dem $\begin{align*} \gamma \end{align*}$ ist jeweils als Index gemeint - also als kleines n ... Wußte nicht wie ich es darstellen sollte.

Hilft das weiter?

04.07.2004, 21:38

SirJective

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RE: Supremums-Norm
Ich denke, die Formulierung ist so gemeint (den Index bekommst du mit Unterstrich, unendlich mit \infty):

Zitat:

$\begin{align*} \gamma_n (x)=\frac{j}{n} \end{align*}$ für $\begin{align*} x \in [\frac{j-1}{n}, \frac{j}{n}[, j=1,...,n \end{align*}$
und
$\begin{align*} \gamma_n (x)=1 \end{align*}$ für x=1

Zeigen Sie:
$\begin{align*} ||\gamma_n - f||_\infty \rightarrow 0 \end{align*}$ und
$\begin{align*} \lim_{n \to \infty} \Bigint_{0}^1~ \gamma_n = \frac{1}{2} \end{align*}$ .
Geben Sie eine geometrische Interpretation an.

04.07.2004, 21:44

Katrin_

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RE: Supremums-Norm
Genau so ist es gemeint, vielen Dank Augenzwinkern

04.07.2004, 21:51

SirJective

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Um nun das Supremum zu bestimmen, nimmst du dir ein x aus [0, 1], und bestimmst, in welchem Teilintervall es liegt. Da brauchen wir gar nicht rechnen, wir nenen das Intervall, in dem es liegt, einfach das j-te.
x=1 rechnen wir separat, ansonsten haben wir also ein j mit (j-1)/n <= x < j/n.
Diese Informationen setzen wir in die beiden Funktionen ein, und bestimmen den Betrag der Differenz.

04.07.2004, 22:23

Wolfskehl

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RE: Supremums-Norm
da man die summe 'in' einem integral auseinander ziehen darf, könntest du für jede 'treppenstufe' ein eigenes integral berechnen und das dann addieren. du brauchst dann lediglich noch die formel für $\begin{align*} \Bigsum_{j=1}^n~j \end{align*}$

05.07.2004, 15:36

Katrin_

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Hilfe
Hallo danke für eurer Hilfe das Integral beweisen können nur das mit der Supremumsnorm bekomm ich nicht auf die Reihe.

Vielleicht ist ja einer von euch so nett und kann mal sowas wie ne kleine Lösung reinschreiben, weil ich muss das morgen abgeben ... smile

Die geom. Interpretation ist doch einfach, dass sich die zweite Funktion mit zunehmend großem n immer mehr der ersten annähert?!

Liebe Grüße

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